Wyk³ad z klasycznej teorii pola

Wykład z klasycznej teorii pola.
(semestr letni 2004/2005)
Wykład : piątki, godz. 1015 - 12, sala 403
A. Ogólna teoria klasycznych pól relatywistycznych.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Sformułowanie Lagranżowskie i Hamiltonowskie klasycznej mechaniki.
Nawiasy Poissona.
Pochodna funkcjonalna. Funkcjonalne nawiasy Poissona dla funkcjonałów
opisujących teorio-polową przestrzeń fazową.
Symetrie globalne (grupy Lie'go) i symetrie infinitezymalne (algebry
Lie'go). Generatory algebry Lie'go. Tożsamości Jacobiego i operatory
Casimira.
Grupy ortogonalne, symplektyczne i unitarne. Grupa Lorentza 0(3,1) ~
Sl(2;C).
Reprezentacje macierzowe algebr Lie'go na przestrzeniach skończeniewymiarowych i reprezentacje różniczkowe algebr Lie'go na przestrzeni pól
klasycznych.
Przykład algebry momentu pędu SO(3) – reprezentacja macierzowa i
różniczkowa. Równoważność algebr oraz grup SU(2) ~ SO(3).
Przekształcenia czasu i przestrzeni: grupa Galileusza
- grupa
trójwymiarowych ruchów nierelatywistycznych oraz opis układów
inercjalnych. Absolutny czas i algebra Lie'go dla grupy Galileusza.
Przestrzeń Minkowskiego: grupa Lorentza oraz jej związek z grupą
Galileusza. Rola prędkości światła. Równoważność układów
relatywistycznych. Algebra Lorentza.
Przekształcenia
czasoprzestrzeni:
grupa
i
algebra
Poincaré.
Czasoprzestrzeń (przestrzeń Minkowskiego). Casimir masowy i spinowy
algebry Poincaré.
Symetrie wewnętrzne i multiplety pól relatywistycznych. Przekształcenia
relatywistyczne pól na przestrzeni Minkowskiego z uwzględnieniem
symetrii wewnętrznych. Przekształcenia liniowe – przykład przekształceń
konforemnych.
Wyprowadzenie równań Lagrange’a z zasady wariacyjnej w mechanice
teoretycznej i teorii pola.
Prawa zachowania (twierdzenie Noether) dla symetrii wewnętrznych.
Symetrie wewnętrzne abelowe i nie abelowe.
Prawa zachowania (twierdzenie Noether) dla symetrii czasoprzestrzennych.
Relatywistyczny czteropęd i relatywistyczny moment pędu. Spin
relatywistyczny.
Tenzory i spinory: nierelatywistyczne oraz relatywistyczne. Pola bozonowe
komutujące i pola fermionowe antykomutujące. Algebra Grassmanna.
Supersymetrie i multiplety supersymetryczne. Superprzestrzeń i superpola.
1
B. Swobodne klasyczne pola relatywistyczne.
16. Równanie Kleina-Gordona dla pola skalarnego, rzeczywistego i
zespolonego. Rozwiązania równania Kleina-Gordona. Tenzor energii-pędu,
wzór na prąd elektryczny dla pól zespolonych.
17. Nierelatywistyczna granica pola Kleina-Gordona: równanie Schrödingera.
Klasyczna teoria pola jako relatywistyczna mechanika kwantowa.
18. Równanie Diraca: macierze gamma Diraca jako czterowymiarowa
reprezentacja algebry Clifforda C(3,1), rozwiązania równania Diraca.
19. Twierdzenie Noether dla pola Diraca – tenzor energii-pędu i prąd
tenzorowy opisujący relatywistyczny moment pędu. Pola Diraca dla
kwarków.
20. Spinory Diraca, spinory Majorany i spinory Weyla. Opis cząstek
bezmasowych ze spinem. Równanie Weyla. Niezmienniczość względem
odbić przestrzeni i czasu, symetria CPT.
21. Pole wektorowe z masą – równanie Proca. Rozkład pól tenzorowych na
pola o określonym spinie.
22. Pole wektorowe rzeczywiste bezmasowe jako potencjał elektromagnetyczny – równanie Maxwella. Natężenie pola elektromagnetycznego.
Warunek Lorentza i prawo zachowania pędu elektrycznego.
23. Tenzorowe pole grawitacyjne jako prepotencjał grawitacyjny – swobodne
równanie Einsteina. Symbole Christoffela jako potencjały grawitacyjne i
tenzor natężenia pola grawitacyjnego jako tenzor krzywizny.
C. Oddziałujące klasyczne pola relatywistyczne.
24. Oddziałujące pola skalarne – teoria – modele sigma.
25. Oddziaływanie Yukawy pomiędzy polami skalarnymi i spinorowymi.
26. Oddziałujące pole elektromagnetyczne z polem spinorowym i skalarnym.
Przekształcenia cechowania i wprowadzanie oddziaływania przy pomocy
pochodnej kowariantnej.
27. Nieabelowe przekształcenia cechowania i samooddziałujące pole YangaMillsa. Nieabelowe pochodne kowariantne.
28. Oddziałujące pola Yanga-Millsa z polami spinorowymi i skalarnymi.
Chromodynamika, kwarki i gluony.
29. Oddziałujące grawitacyjne z polami materii – tenzor energii-pędu jako prąd
grawitacyjny. Równanie Einsteina jako równanie teorio-polowe;
równoważność opisu geometrycznego i teoriopolowego.
30. Model standardowy z symetrią wewnętrzną SU(3)xSU(2)xU(1) jako teoria
pola opisująca oddziaływania silne, elektromagnetyczne i słabe cząstek
elementarnych. Problem unifikacji symetrii wewnętrznych (modele
wielkiej unifikacji). Co to jest Teoria Wszystkiego?
2