Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach - darmowy e

Transkrypt

Odejmowanie ułamków i liczb mieszanych
o różnych mianownikach
Przedmowa
To opracowanie jest napisane z myślą o uczniach klas 4 szkół podstawowych którzy po raz pierwszy spotykają się z odejmowaniem ułamków o różnych mianownikach. Osoby które wiedzą już co to są liczby
ujemne i potrafią wykonywać podstawowe działania na nich, znajdą tu dodatkowo odejmowanie liczb
mieszanych z uwzględnieniem liczb ujemnych. Opracowanie to pisałem tak, by dosłownie każdy mógł
zrozumieć tę część matematyki.
Spis tematów
1. Jak odejmować ułamki zwykłe o różnych mianownikach? ................................................................... 2
— Jedna z liczb pod kreską ułamkową wymaga pomnożenia. ........................................................... 2
— Obie liczby pod kreską ułamkową wymagają pomnożenia. .......................................................... 3
— Jednoczesne odejmowanie kilku ułamków. .................................................................................. 5
2. Jak odejmować liczby mieszane? ......................................................................................................... 6
— Ułamek pierwszej liczby mieszanej jest większy od ułamka drugiej liczby mieszanej. ................. 6
— Pierwsza liczba nie zawiera ułamka (jest liczbą naturalną). Rozmienianie całości. ...................... 7
— Ułamek pierwszej liczby mieszanej jest mniejszy od ułamka drugiej liczby mieszanej. ................ 8
— Odejmowanie liczb mieszanych z uwzględnieniem liczb ujemnych. ........................................... 10
3. Przydatne linki. ................................................................................................................................... 12
Wersja z dnia 12.03.2011
http://matematyka.strefa.pl
Strona 1
Jak odejmować ułamki i liczby mieszane o róznych mianownikach? Co to jest sprowadzanie do wspólnego mianownika? Jak znajduje się najmniejszy wspólny mianownik? Odejmowanie ułamków o róznych mianownikach. Dowiesz się tego czytając ten darmowy e-book pdf. Rozwiązane przykłady, zadania i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. Odejmowanie ułamków stanie się banalne. Opracowanie bardzo dobrze
przygotowuje uczniów szkoły podstawowej do sprawdzianu i pracy klasowej z matematyki w klasie 4 i 5. Download go. To jest część opracowania omawiającego działania na ułamkach zwykłych.
Temat: Jak odejmować ułamki zwykłe o różnych mianownikach?
a) Jedna z liczb pod kreską ułamkową wymaga pomnożenia
Przypuśćmy, że masz wykonać działanie: − . Patrzysz na liczby znajdujące się w mianownikach obu ułamków, czyli na liczby pod kreskami ułamkowymi i zastanawiasz się, przez ile trzeba pomnożyć mniejszą z nich
(w tym przypadku liczbę 4) by otrzymać większą z nich (by otrzymać liczbę 8). W oparciu o tabliczkę mnożenia
wiesz, że liczbę 4 musisz pomnożyć przez 2.
1. Mnożysz więc licznik pierwszego ułamka przez 2 i mianownik również przez 2.
2. Przepisujesz znak odejmowania który był między ułamkami.
3. Przepisujesz drugi ułamek, bo z nim nic nie było robione.
Masz więc:
3⋅2 1
3 1
− =
− =
4 8
4ถ
⋅2 8
ᇣᇧᇤᇧᇥ
ł
ą ć
ᇩᇪᇫ
6 1
−
ᇣᇤᇥ
8 8
=
5
8
Odejmowanie ułamków można wykonywać tylko wtedy, gdy są te same liczby pod kreskami ułamkowymi np.:
−
.
Jeśli
pod
kreskami
ułamkowymi
nie
ma
tych
samych
liczb
np.:
−
, to ułamki te trzeba tak przekształcić
⋅
by pojawiły się te same liczby pod kreskami ułamkowymi: − ⋅ = − = . Łatwe, prawda?
Prześledź inne już rozwiązane przykłady.
− =
⋅
− =
⋅
−
=
Licznik i mianownik pierwszego ułamka został pomnożony przez 5. Zostało to zrobione po to, by
w obu ułamkach była taka sama liczba pod kreską ułamkową (w tym przypadku 15).
⋅
⋅
− = −
= − =
Licznik i mianownik drugiego ułamka został pomnożony przez 3. Ponieważ otrzymany wynik jest
ułamkiem skracalnym (liczbę 2 można podzielić przez 2 i liczbę 6 również można podzielić przez 2),
ଵ
więc powinien zostać jeszcze dopisany znak równości, a za nim ułamek nieskracalny . Cały przykład
ଷ
powinien więc wyglądać tak:
5 1 5 1⋅3 5 3 2 1
− = −
= − = =
6 2 6 2⋅3 6 6 6 3
Teraz spróbuj coś policzyć bez mojej pomocy. Napiszę Ci tylko odpowiedzi jakie powinny wyjść. Na razie nie
wymagam zapisywania otrzymanego wyniku w postaci ułamka nieskracalnego.
a) − =
[Odp. a)
ହ
ଵ଺
b)
ଵ
ଵ଴
c)
ଵଶ
ଶ଴
d)
b) − =
ଵ
ଵଶ
e)
ଷ
c) − =
d) − =
e) − =
.]
ଷ଴
No i jak? Wyszło Ci tyle co w odpowiedziach? Jeśli nie, to poszukaj błędów. Może licznik w jednym z ułamków
nie został pomnożony przez tę samą liczbę co mianownik, a może jest gdzieś błąd w zakresie tabliczki mnożenia. Odpowiedzi są na pewno poprawne. Jeśli zaś masz wszystkie wyniki zgodne z odpowiedziami, to teraz zapisz je w postaci ułamków nieskracalnych. Pamiętaj, że niektóre już są ułamkami nieskracalnymi i nic z nimi nie
zrobisz. Zajmij się tylko tymi, które dadzą się jeszcze skrócić.
[Odp. Ułamki skracalne wyszły tylko w podpunktach: c)
ଵଶ
ଶ଴
ଷ
ଷ
ହ
ଷ଴
= (liczbę 12 podzieliłem przez 4 i liczbę 20 również przez 4), e)
=
ଵ
ଵ଴
(liczbę 3 podzieliłem przez 3 i liczbę 30 też przez 3).]
Strona 2
Ćwiczenie:
Wykonaj wskazane działanie i otrzymany wynik zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.
3 3
−
=
5 15
2 7
−
=
3 21
ଶ
ଵ
ଵ
ହ
ଷ
ଷଶ
[Odp. a) b) c)
6 1
− =
8 2
25 3
− =
32 4
ଵ
ଵ
ସ
ସ
ହ
ଶହ
d) e) f) 0 g)
1 3
−
=
2 10
5 1
− =
20 4
14 2
− =
25 5
12 5
− =
16 8
ଵ
h) .]
଼
W niektórych przykładach obliczenia można było sobie ułatwić zauważając, że jeden z dwóch danych ułamków jest skracalny.
a) Licznik drugiego ułamka tj. liczbę 3 można było podzielić przez 3 i mianownik tj. liczbę 15 również można było podzielić przez 3. Zamiast
ଷ
ଵ
ułamka pojawiłby się ułamek i oba ułamki miałyby już te same (wspólne) mianowniki. Nie byłoby konieczności mnożenia jednego z nich,
ଵହ
ହ
a potem skracania otrzymanego wyniku.
b) Licznik drugiego ułamka tj. liczbę 7 można było podzielić przez 7 i mianownik tj. liczbę 21 również można było podzielić przez 7. Zamiast
଻
ଵ
ułamka pojawiłby się ułamek i oba ułamki miałyby już te same (wspólne) mianowniki. Nie byłoby konieczności mnożenia jednego z nich,
ଶଵ
ଷ
a potem skracania otrzymanego wyniku.
d) Licznik pierwszego ułamka tj. liczbę 6 można było podzielić przez 2 i mianownik tj. liczbę 8 również można było podzielić przez 2. Zamiast
଺
ଷ
ułamka pojawiłby się ułamek i drugi z ułamków wystarczyłoby rozszerzyć przez 2 a nie przez 4 (wyszłyby mniejsze liczby). [Sformułowa଼
ସ
nie rozszerzyć ułamek przez 2 oznacza, że jego licznik trzeba pomnożyć przez 2 i mianownik także przez 2.]
f)
Licznik pierwszego ułamka tj. liczbę 5 można było podzielić przez 5 i mianownik tj. liczbę 20 również można było podzielić przez 5. Zamiast
ହ
ଵ
଴
ułamka pojawiłby się ułamek . Wówczas bez obliczeń byłoby widać, że wynikiem będzie 0. Zapis również jest poprawny, ale nie wyଶ଴
ସ
ସ
gląda ładnie z punktu widzenia matematyki.
h) Licznik pierwszego ułamka tj. liczbę 12 można było podzielić przez 2 i mianownik tj. liczbę 16 również można było podzielić przez 2. Zamiast
ଵଶ
଺
ułamka pojawiłby się ułamek .
ଵ଺
଼
Pamiętaj!
W wyniku końcowym nie powinien występować ułamek skracalny.
b) Obie liczby pod kreską ułamkową wymagają pomnożenia
No dobra. Już coś umiesz. Wiesz, że by móc odjąć 2 ułamki zwykłe musisz w nich obu mieć ten sam mianownik
(tę samą liczbę pod kreską ułamkową). Wiedz jednak, że czasami pomnożenie licznika i mianownika jednego
ułamka nie wystarczy by otrzymać 2 ułamki o tych samych mianownikach. Zobacz. Jeśli będziesz mieć np. do
obliczenia takie działanie:
7 5
−
8 12
to nie znajdziesz takiej liczby która pomnożona przez 8 da 12. W takim przypadku musisz w oparciu o tabliczkę
mnożenia zastanowić się, przez ile trzeba pomnożyć liczbę 8, a przez ile liczbę 12 by dostać tę samą liczbę? Zauważasz więc, że mnożąc liczbę 8 przez 3 oraz liczbę 12 przez 2 dostaniesz w obu przypadkach liczbę 24. Masz
więc:
7 5
7⋅3 5⋅2
21 10 11
−
=
−
=
−
=
8 12 8ถ
⋅ 3 ᇣᇤᇥ
12 ⋅ 2 24 24 24
Zapamiętaj
Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika (powyżej jest nim liczba 24) polega na tym, by we
wszystkich ułamkach otrzymać te same liczby pod kreską ułamkową.
Prześledź teraz te działania:
7 5 7 ⋅ 3 5 ⋅ 2 21 10 11
− =
−
=
−
=
6 9 6ถ
⋅ 3 9ถ
⋅ 2 18 18 18
Tu trzeba było się zastanowić przez ile trzeba pomnożyć liczbę 6
(jest ona pod kreską pierwszego ułamka), a przez ile liczbę 9 (jest
ona pod kreską drugiego ułamka), by dostać tę samą liczbę.
7
5
7⋅5
5⋅4
35 20 15
−
=
−
=
−
=
16 20 ᇣᇤᇥ
16 ⋅ 5 ᇣᇤᇥ
20 ⋅ 4 80 80 80
Zalecane jest tu jeszcze skrócenie otrzymanego wyniku przez 5 tj.
podzielenie liczby 15 przez 5 i dodatkowo liczby 80 także przez 5.
Wyjdzie wówczas, że = .
Strona 3
i na ich podstawie spróbuj samodzielnie obliczyć:
a) − =
[Odp. a)
ଵ
ଵଶ
ଵ
଻
଺
ଶ଴
b) c)
d)
b) − =
ଵ
ଷ଴
e)
ଶସ
c) − =
. Wynik z podpunktu e) można jeszcze skrócić przez 24. Wyjdzie wówczas, że
ଵଶ଴
d)
ଶସ
ଵଶ଴
−
=
e)
−
=
ଵ
= .]
ହ
No dobra. Umiesz już co raz więcej. Zerknij teraz na odpowiedź w podpunkcie b). Spójrz się na mianownik. Zobacz, że jest on równy 6 i że można go było wyliczyć mnożąc mianowniki obu ułamków z tego podpunktu. No
i co w tym dziwnego? Przecież tak miało być. No teraz se spójrz na wynik z podpunktu c). W mianowniku wyszła liczba 20 i tak samo jak w podpunkcie b) można ją było obliczyć mnożąc mianowniki obu ułamków. Stawiam więc pytanie, czy wspólny mianownik można zawsze znaleźć mnożąc liczby z mianowników danych
ułamków? Okazuje się że tak. Można zawsze tak robić, ale na ogół nie jest to wygodne i nie polecam tego ro
bić. Oto dlaczego. Przypuśćmy że masz działanie: − i w myślach nie możesz znaleźć wspólnego mianow
nika. Mnożysz więc oba te mianowniki, czyli liczbę 24 przez 32 otrzymując liczbę 768. Wnioskujesz więc, że:
— mianownik pierwszego ułamka został pomnożony przez 32, więc i jego licznik też mnożysz przez 32
— mianownik drugiego ułamka został pomnożony przez 24, więc i licznik drugiego ułamka mnożysz przez 24.
Masz więc:
7 ⋅ 32
9 ⋅ 24
224 216
8
4
2
1
−
=
−
=
=
=
=
24 ⋅ 32 32 ⋅ 24 768 768 768 384 192 96
Wynik jest O.K. ale przyznasz, że przykład trudno się liczył i ciężko było określić przez ile można maksymalnie
skrócić ułamek . Przyznasz, że takie obliczanie ułamków zniechęca on do dalszej pracy, prawda? Zobacz co
jednak by się stało gdyby zauważyć, że licznik i mianownik pierwszego ułamka wystarczy pomnożyć przez 4,
a licznik i mianownik drugiego ułamka przez 3. Wówczas obliczenia byłyby tylko takie:
7⋅4
9⋅3
28 27
1
−
=
−
=
24 ⋅ 4 32 ⋅ 3 96 96 96
czyli krótsze (oszczędność czasu) i na mniejszych liczbach (mniejsze prawdopodobieństwo błędu).
Pewnie się teraz zastanawiasz, skąd wiedziałem lub jak obliczyłem, że pierwszy ułamek można było rozszerzyć
przez 4, a drugi przez 3. Nie zgadywałem tego. Po prostu:
— spojrzałem na oba mianowniki i zobaczyłem że każdy z nich dzieli się przez 8 i że większej liczby nie ma
— podzieliłem w myślach każdy z nich przez 8 dostając odpowiednio liczby 3 i 4
— mniejszy mianownik pomnożyłem przez większą z obliczonych liczb, czyli przez 4
— większy mianownik pomnożyłem przez mniejszą z obliczonych liczb, czyli przez 3.
Ot cała filozofia.
Zadanie: Oblicz
− znajdując najmniejszy wspólny mianownik.
Rozwiązanie
W oparciu o tabliczkę mnożenia wiem, że liczby z obu mianowników tj. 72 i 56 dzielą się przez 8.
Dzielę więc liczbę 72 przez 8 otrzymując liczbę 9, a następnie liczbę 56 także przez 8 otrzymując
liczbę 7. Teraz większy z mianowników czyli liczbę 72 mnożę przez mniejszą z otrzymanych liczb
(przez 7), a mniejszy z mianowników przez liczbę 9. Mam więc:
11 7
11 ⋅ 7 7 ⋅ 9
77
63
14
7
1
−
=
+
=
−
=
=
=
72 56 72 ⋅ 7 56 ⋅ 9 504 504 504 252 36
Strona 4
Teraz Ty tak spróbuj.
Ćwiczenie:
Znajdując najmniejszy wspólny mianownik dla podanych ułamków, oblicz:
7
3
−
=
15 10
11 6
− =
12 9
ଵ
ଵ
ଶଷ
ଶ
ସ
ଷ଴
[Odp. a) b) c)
5 1
−
=
6 15
.]
A co z odejmowaniem ułamków o dużych mianownikach, np.:
−
? W oparciu o tabliczkę mnożenia
nie widać nawet czy istnieje jakaś liczba, przez którą można by podzielić zarówno 24939 jak i 16218 a co dopiero mówić o jakichś tam obliczeniach. Czy więc jedynym wyjściem jest pomnożenie tych mianowników i babranie się w jeszcze większych liczbach? Otóż nie. Można sprawdzić czyli liczby 24939 i 16218 podzielą się
przez jakąś liczbę rozkładając każdą z nich na iloczyn liczb pierwszych lub wykonując algorytym Euklidesa dla
obu tych liczb jednocześnie (omówiony on jest w osobnym opracowaniu). Co to jest liczba pierwsza, dowiesz
się z innego opracowania.
Podsumowanie
1. Aby odjąć dwa ułamki zwykłe trzeba sprawić by pod ich kreskami ułamkowymi były te same liczby.
2. Mając już te same liczby w mianownikach (pod kreskami ułamkowymi) wystarczy od licznika pierwszego ułamka odjąć licznik drugiego ułamka, a mianownik przepisać.
3. Jeśli wynik końcowy wyjdzie ułamkiem skracalnym, to dodatkowo należy go skrócić przez największą
możliwą liczbę. Innymi słowy trzeba go zapisać w postaci ułamka nieskracalnego.
4. Jeśli wynik końcowy będzie ułamkiem niewłaściwym (liczba nad kreską ułamkową większa od liczby
pod kreską ułamkową), to dodatkowo należy ten ułamek zamienić na liczbę mieszaną, czyli wyciągnąć
z niego całości.
c) Jednoczesne odejmowanie kilku ułamków
Przypuśćmy, że masz do obliczenia takie działanie:
7 3 1
− −
=
8 4 12
Patrzysz na liczby jakie są pod kreskami ułamkowymi: 8, 4, 6 i zastanawiasz się przez ile trzeba pomnożyć liczbę 8, przez ile liczbę 4, a przez ile liczbę 12 by dostać tę samą liczbę — tzw. wspólny mianownik. Jeśli dobrze
znasz tabliczkę mnożenia to bez problemu zauważysz, że poszukiwanym wspólnym mianownikiem jest liczba
24. Zatem:
— pierwszy ułamek rozszerzasz przez 3 (licznik mnożysz przez 3 i mianownik również przez 3)
— drugi z ułamków rozszerzasz przez 6 (licznik mnożysz przez 6 i mianownik również przez 6)
— trzeci z ułamków rozszerzasz przez 2 (licznik mnożysz przez 2 i mianownik również przez 2)
Masz więc:
7⋅3 3⋅6 1⋅2
21 18 2
1
−
−
=
−
−
=
8 ⋅ 3 4 ⋅ 6 12 ⋅ 2 24 24 24 24
Pewnie się zastanawiasz co by było, gdyby nad kreską ułamkową ostatniego ułamka była na przykład liczba 4.
Otóż w takim przypadku wynik końcowy byłby mniejszy od 0, ale to już nie jest zakres klasy 4.
Podsumowanie
Aby wykonać jednoczesne odejmowanie kilku ułamków, trzeba znaleźć wspólny mianownik dla wszystkich danych ułamków.
Strona 5
Temat: Jak odejmować liczby mieszane?
a) Ułamek pierwszej liczby mieszanej jest większy od ułamka drugiej liczby mieszanej
Odejmowanie liczb mieszanych jest bardzo podobne do ich dodawania. Mianowicie najpierw odejmuje się całości drugiej liczby od całości liczby pierwszej, a potem ułamki zwykłe które przy nich stoją.
Przykłady:
6
− 2 = 4
Od dużej liczby 6 została odjęta duża liczba 2. Potem zostało wykonane odejmowanie ułamków.
18
− 5
= 13
Od dużej liczby 18 została odjęta duża liczba 5. Potem zostało wykonane odejmowanie ułamków.
8
− =
8ด
= 8
Jeśli przy drugiej liczbie nie jest napisana duża liczba, to wyobraź sobie, że jest tam duże czerwone 0 i postępuj
jak wyżej. Innymi słowy w myślach miej, że Twój przykład wygląda tak:
ł
ż" óć 8
− 0
=
Przypominam, że sformułowanie skrócić ułamek oznacza, że liczbę która jest nad i pod kreską ułamkową trzeba podzielić przez tę samą liczbę (większą od 1).
4
− 1 = 4
− ᇧᇥ
1
=
ᇣᇧ
ᇧᇤᇧ
ł
ó ó$
3ด
= 3
ł
óć Jeśli ułamki mają różne mianowniki (liczby pod kreską ułamkową), to najpierw trzeba je doprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika, a dopiero potem wykonać odejmowanie
jak wyżej.
W tym przykładzie licznik i mianownik drugiego ułamka został pomnożony przez 2. Zostało to
zrobione po to, by otrzymać 2 ułamki o mianowniku 10. Dopuszczalne jest także podzielenie
licznika i mianownika danego ułamka przez tę samą liczbę (większą od 1).
Przypominam, że sformułowanie rozszerzyć ułamek oznacza, że liczbę która jest nad i pod kreską ułamkową trzeba pomnożyć przez tę samą liczbę (większą od 1).
10 − 7
=
10
− 7
ᇣᇧᇤᇧᇥ
= 17
= 17
ó
$ ł
" "
ć
ł
Ćwiczenie:
Tu także są dwa ułamki o różnych mianownikach, ale tym razem nie ma przymusu rozszerzania
jednego z nich. Wystarczy wykonać skrócenie pierwszego ułamka przez 2.
Zauważ, że przy odejmowaniu tych liczb mieszanych powstał ułamek mający w liczniku 0. Ponieważ kreska ułamkowa zastępuje dzielenie, więc wynikiem działania 0 : 4 jest 0. Oznacza to,
że liczbę mieszaną 17బర należy traktować jako równoważny zapis liczby 17.
Pamiętaj, że chcąc odjąć dwa ułamki muszą one mieć ten sam mianownik (tę samą liczbę pod
kreską ułamkową), ale nie ma przymusu stosowania rozszerzania ułamków. Dopuszczalne jest
także skracanie, a nawet rozszerzenie jednego ułamka i skracanie drugiego.
Wykonaj podane działania.
Oblicz:
Podpowiedź:
Odp.
10 − 7 =
Od dużej czerwonej liczby odejmij drugą dużą czerwoną liczbę. Potem odejmij ułamki. Masz już te same mianowniki, więc
zajmij się tylko ich licznikami, a mianownik przepisz.
3మఱ
ళ
మ
9భభ
− 1భభ
=
W obu mianownikach masz już liczbę 11, więc postępuj jak wyżej.
ఱ
8భభ
4ళఴ − మఴ =
Wyobraź sobie, że przed drugim ułamkiem stoi duże czerwone zero.
4ఱఴ
య
భ
1భఱ
− భఱ
=
Wyobraź sobie, że przed drugim ułamkiem stoi duże czerwone zero.
మ
1భఱ
య
8భబ
− 3భఱ =
Rozszerz drugi ułamek przez 2, czyli pomnóż jego licznik przez 2 i mianownik także przez 2. Pamiętaj, że przy odejmowaniu
ułamków obie liczby pod kreską muszą być takie same (czyli równe).
భ
5భబ
య
14భఱ
− 2భఱ =
Skróć pierwszy ułamek przez 3, czyli podziel jego licznik przez 3 i mianownik także przez 3. Zamiast skracać pierwszy ułamek,
możesz rozszerzyć drugi ułamek przez 3, a potem otrzymany wynik z odejmowania tych liczb mieszanych skrócić przez 3.
భ
12భఱ
ర
ఱ
3భల
− 2మబ
=
Skróć pierwszy ułamek przez 4, a drugi przez 5. Pamiętaj też, że kreska ułamkowa zastępuje dzielenie, oraz to, że dzieląc liczbę 0 przez liczbę różną od 0, zawsze dostaniesz 0. Zamiast skracać te ułamki, możesz zastosować rozszerzanie pierwszego z
nich przez 5, a drugiego przez 4.
1
య
భ
9భర
− 9భర
=
Pamiętaj, że jeśli z odjęcia dużych czerwonych liczb wychodzi 0, to tego zera się nie pisze. Pamiętaj również, że jeśli w liczniku
i w mianowniku wyjdzie liczba parzysta, to dany ułamek można jeszcze skrócić co najmniej przez 2.
ଵ
଻
ల
23భఴ
− 23భల =
Skróć pierwszy ułamek przez 3 (nie przez 6), bo wtedy dostaniesz 2 ułamki o tych samych mianownikach.
భ
ల
ఴ
య
17భర
− 15భబ
=
Najpierw doprowadź oba ułamki do mianownika 70, bo to najmniejszy ich wspólny mianownik. Doprowadzenie tych ułamków do mianownika 140 również byłoby poprawne, ale potem wynik końcowy trzeba byłoby jeszcze skracać przez 2.
54ఱవ − 16భల =
Najpierw doprowadź oba ułamki do mianownika 18.
ళ
య
23భఱ
− 23భబ
=
Najmniejszy wspólny mianownik dla liczb 15 i 10 to 30. Poprawne będą również mianowniki: 60, 90, 120, 150, 180, …
భ
10యఴ − భఴ
=
Jeśli nie wiesz jak znaleźć najmniejszy wspólny mianownik dla liczb 8 i 18, to pomnóż te liczby przez siebie. Nie zapomnij
o tym, że wynik końcowy powinien być zawsze zapisany w postaci ułamka nieskracalnego.
య
ఱ
భ
ఱ
2భవ
ళబ
ళ
38భఴ
భ
మ
10మయ
ళమ
Strona 6
b) Pierwsza liczba nie zawiera ułamka (jest liczbą naturalną). Rozmienianie całości.
Nim zacznę omawiać następne przypadki jakie mogą się zdarzyć przy odejmowaniu liczb mieszanych, wcześniej pokrótce omówię rozmienianie jednej całości w liczbach mieszanych. Na początek przypomnę, że w matematyce poprzez słowo całość rozumie się pojedynczą rzecz np. jedną figurę geometryczną. Mając więc 7
identycznych figur geometrycznych, możesz powiedzieć, że masz 7 całości. Sformułowanie rozmienić całość
oznacza, że jedną z tych figur co masz, musisz podzielić na mniejsze identyczne części.
Spójrz teraz na poniższy rysunek:
Widzisz, że przedstawia on 4 w pełni zamalowane kwadraty, czyli 4 całości. Gdy jeden z tych kwadratów (np. ostatni) podzielisz przypuśćmy
na 6 równych części, to pozostaną Ci 3 całości i następnej całości. Po
nieważ obszar zamalowany się nie zmienił, więc wnioskujesz, że 4 to tyle samo co 3. Matematycznie zapisuje się to tak:
4 = 3
Aby lepiej to zrozumieć, wyobraź sobie, że masz 5 zł i idziesz do sklepu by rozmienić je na 2 monety po 2 zł
i 100 monet po 1 groszu. Gdy to zrobisz i ktoś Cię zapyta ile masz pieniędzy powiesz mu, że 4 zł i 100 groszy
czyli 4 zł i zł, prawda? A przecież wartość tych pieniędzy jest nadal taka sama i wynosi 5 zł. Zatem:
5 zł = 4 zł
Rozmieniając więc całość, pomniejszasz daną liczbę (powyżej było to 5 zł) o 1 i do tej pomniejszonej liczby dopisujesz ułamek mający w liczniku i mianowniku tę samą liczbę. Zobacz przykłady:
4 = 3
Ćwiczenie:
7 = 6
1=
9=8
2 = 1
9 = 8
2 = 1
6 = 5
8 = 7
4 = 3
Rozmień jedną całość w każdej podanej liczbie: 8, 10, 11, 53, 46, 97 na ułamek o mianowniku 5.
[Odp. a) 7ఱఱ, b) 9ఱఱ, c) 10ఱఱ, d) 52ఱఱ, e) 45ఱఱ, f) 96ఱఱ.]
Ćwiczenie:
Rozmień jedną całość w każdej podanej liczbie: 28, 37, 54 na ułamek o mianowniku innym niż 5.
[Przykładowe odpowiedzi: a) 27భబ
, b) 36యయ, c) 53భరమ
. Nie można używać tylko ułamka o mianowniku 0. Ułamek o mianowniku 1 niby może być, ale
భబ
భరమ
się go nie stosuje w matematyce.]
No dobra. To teraz się wracamy do odejmowania liczb mieszanych. Rozpatrzmy taki przypadek:
5−
3
=
8
Widzisz, że pierwsza liczba nie ma ułamka, więc pomniejszasz ją o 1 (zabierasz 1 całość) i tę zabraną całość,
zamieniasz na ułamek o takim samym mianowniku jak ten napisany za znakiem odejmowania. Innymi słowy
robisz tak:
5−
3
3
= 4ณ − = 4
8
8
Dlaczego zabrana całość została zamieniona na ułamek a nie na jakiś inny? Bo drugi ułamek (ten za znakiem
minus) miał w mianowniku (pod kreską ułamkową) liczbę 8. Chodzi o to, by mieć 2 ułamki mające pod kreską
tę samą liczbę. Zobacz inne przykłady:
Strona 7
Niebieska liczba jest zawsze o 1 mniejsza od liczby czerwonej.
Zabrana całość z liczby czerwonej jest zastąpiona ułamkiem
5
5
178 −
= 177 −
= 177
19 ᇣᇤᇥ
19
ଵଽ
ଵଽ
bo drugi ułamek miał pod kreską ułamkową liczbę 19.
Pamiętaj także, że jeśli przed drugim ułamkiem nie ma napisanych całości (nie ma napisanej dużej liczby), to w myślach wyobraź sobie, że jest tam napisane duże zero. Zatem:
5
ଵଽ
ଵଽ
ହ
177ଵଽ −
= 177ଵଽ − 0ଵଽ
19
7
7
60 −
= 59 −
= 59
32 ถ
32
ଵ଼
ଵ଼
Niebieska liczba jest zawsze o 1 mniejsza od liczby czerwonej. Zabrana całość z liczby czerwonej jest zastąpiona ułam଼
kiem bo drugi ułamek miał pod kreską ułamkową liczbę 8. Druga liczba jest przepisana, bo nic z nią nie było robione.
25 − 4 = 24
ต − 4 = 20
଼
Ćwiczenie:
9 − 3 = 8ด
− 3 = 5
ଷଶ
Pamiętaj, że jeśli przed drugim ułamkiem nie ma napisanych całości (nie ma napisanej dużej liczby), to w myślach wyobraź sobie, że jest tam napisane duże zero.
ଷଶ
Oblicz:
12 − =
37 − =
5 − 3 =
5 − 4 =
26 − 14 =
75 − 25 =
8 − 1 =
10 − =
ల
ళ
[Odp. a) 11ఱఴ b) 36భభ
c) 1ఱళ d) భయ
e) 11యఴ f) 49భభ
g) 6మయ h) 9వఴ
.]
భఱ
వవ
c) Ułamek pierwszej liczby mieszanej jest mniejszy od ułamka drugiej liczby mieszanej
Zbliżamy się powoli do końca. Został już tylko jeden typ odejmowania liczb mieszanych. Jest to coś podobnego
do tego wyżej (trzeba będzie rozmienić jedną całość w pierwszej liczbie), ale dodatkowo ta pierwsza liczba będzie miała jeszcze ułamek mniejszy od ułamka drugiej liczby. Zobacz przykład:
25
ด − 4 = 24 − 4 = 24 = 24
ఴ
ถ
ఴ
వ
ఴ
Nim zaczniesz coś liczyć, najpierw spójrz na poniższy rysunek:
Zobacz, że przedstawia on 4 w pełni zamalowane kwadraty i jeszcze kwadra
tu następnego. Gdy jeden z kwadratów który jest cały zamalowany podzielisz
na tyle samo części co ostatni kwadrat, to zostaną Ci 3 kwadraty w pełni zamalowane i jeszcze 11 paseczków pionowych. A przecież zamalowana powierzchnia się nie zmieniła, prawda? Zatem matematycznie możesz napisać,
że:
4 = 3 Teraz zauważ, że żółta liczba 11 jest wynikiem dodania do siebie filoletowej liczby 5 i zielonej liczby 6, a duża niebieska 3-jka, jest
liczbą o jednej mniejszą od dużej czerwonej 4-ki. Mianowniki się nie zmieniły. Wnioskujesz więc, że nie trzeba za każdym razem wykonywać rysunku, by móc rozmienić jedną całość w danej liczbie mieszanej. Zobacz rozmienianie całości w innych liczbach mieszanych:
8 = 7 Ćwiczenie:
3 = 2
1 = 16 = 15
100 = 99
4 = 3
4 = 3 13 = 12
Rozmień jedną całość w podanych liczbach mieszanych.
6 =
2 =
81 =
32 =
43 =
5 =
4 =
1 =
[Odp. a) 5భళ
b) 1భమ
c) 80ళర d) 31భయ
e) 42భఴ
f) 4ఱయ g) 3మయ
h) మఱ
.]
భయ
ళ
భబ
భభ
మభ
భవ
Strona 8
Wcześniej w tym opracowaniu wykonywane były np. takie działania:
4
− 1 = 4
− ᇧᇥ
1
=
ᇣᇧ
ᇧᇤᇧ
3ด
= 3
ł
óć ł
ó ó$
Z odejmowaniem nie było problemów, bo ułamek drugi bez problemów się odejmował od ułamka pierwszego.
− 1
(zmieniła się tylko jedna cyferZobacz jednak co by się stało, gdyby trzeba było obliczyć taki przykład: 4
ka w stosunku do tego co jest wyżej napisane). Wówczas było by:
4
− 1
= 4
− 1
=?
Duże czerwone liczby dałyby się odjąć, ale czy od ułamka
moglibyśmy odjąć ułamek
? Zmieniać kolejności
tych ułamków nie wolno. Nie można też pisać, że z odejmowania tych ułamków wyjdzie bo odejmowanie
nie jest przemienne. W takiej sytuacji tj. gdy ułamek przy pierwszej liczbie mieszanej jest mniejszy od ułamka
przy drugiej liczbie mieszanej, trzeba w pierwszej liczbie mieszanej rozmienić jedną całość, tak jak to było robione w powyższym ćwiczeniu. Obliczenia więc powinny być takie:
4
− 1
=
3ด
−
1ด
= 2
ż
ż ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ
ł łść
ą "ć Prześledź inne rozwiązane przykłady wraz z opisem do nich.
య
ర
6 −2 =5 −2 =3 =3
Ponieważ ułamków które stoją przy dużych czerwonych liczbach 6 i 2 nie da się odjąć,
więc w pierwszej liczbie mieszanej rozmieniono jedną całość. W otrzymanym wyniku dodatkowo skrócono ułamek przez 2 (jego licznik podzielno przez 2 i mianownik także
przez 2).
మ
ళ
ళ
ల
10భభ
− 4భభ
= 9భయ
− 4భభ
= 5భభ
భభ
Ponieważ ułamków które stoją przy dużych czerwonych liczbach 10 i 4 nie da się odjąć,
więc w pierwszej liczbie mieszanej rozmieniono jedną całość. Drugą liczbę przepisano, bo
z nią nic nie było robione.
మ
ళ
ళ
ల
10భభ
− భభ
= 9భయ
− భభ
= 9భభ
భభ
Tu jest coś podobnego jak wyżej. Trzeba było tylko pamiętać, że jak przy drugim ułamku
nie ma napisanej dużej liczby (całości), to w myślach trzeba wyobrazić sobie że jest tam 0.
భ
ఴ
య
ఴ
వ
ఴ
య
ఴ
ల
ఴ
ళ
ళ
ఴ
4భబ
− 1రఱ = 4
− ᇧᇥ
1భబ
=
ᇣᇧ
ᇧᇤᇧ
భబ
భళ
3ด
భబ
"# #
%łść
వ
= 2భబ
Jeśli ułamki w liczbach mieszanych mają różne mianowniki, to warto je najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika. Chodzi o to, że dopiero po sprowadzeniu ułamków do
wspólnego mianownika widać, czy potrzebne będzie rozmienianie całości w pierwszej
liczbie mieszanej. W tym przypadku okazało się że tak, bo ułamków nie dało się odjąć.
భళ
ఴ
వ
= 3
− ᇧᇥ
1భబ
= 2భబ
ᇣᇧ
ᇧᇤᇧ
భబ
W tym przykładzie najpierw rozmieniono całość w pierwszej liczbie mieszanej, a dopiero
potem sprowadzono oba ułamki do wspólnego mianownika. Ja jednak polecam najpierw
sprowadzać ułamki do wspólnego mianownika, a dopiero potem oceniać, czy trzeba rozmieniać jedną całość w pierwszej liczbie. Wynik końcowy oczywiście wyjdzie ten sam.
−
"# #
%łść
ó !
"##$
ళ
4భబ
− 1రఱ =
భళ
3ด
భబ
1ณరఱ
−
#
) "#
ఴ
1ด
భబ
#
) "#
ó !
"##$
Strona 9
Ćwiczenie:
Doprowadź ułamki w podanych liczbach mieszanych do wspólnego mianownika i oceń w którym
z podpunktów trzeba będzie rozmienić jedną całość w pierwszej liczbie mieszanej.
[Podpowiedź: Rozmienić całość trzeba będzie w tych podpunktach, w których pierwszy ułamek jest mniejszy od drugiego. Najpierw sprowadź
ułamki do wspólnego mianownika. Nie musi to być mianownik najmniejszy. Wystarczy że będzie taki sam w obu ułamkach.]
a) 8యర − 2ఱల =
b) 7ఱవ − 6యఴ =
c) 16భమవ − 9భభ
భల =
d) 5భరయ − 1మభఴ =
[Odp. a) Najmniejszy wspólny mianownik: 12. Trzeba rozmienić jedną całość. b) Najmniejszy wspólny mianownik: 72. Nie trzeba rozmieniać całości. c) Najmniejszy wspólny mianownik: 48. Nie trzeba rozmieniać całości w pierwszej liczbie. d) Najmniejszy wspólny mianownik: 42. Trzeba rozmienić jedną całość w pierwszej liczbie.]
Ćwiczenie:
Oblicz.
a) 8యర − 2ఱల =
b) 7ఱవ − 6యఴ =
c) 16భమవ − 9భభ
భల =
d) 5భరయ − 1మభఴ =
య
[Odp. a) 5భభ
b) 1భయ
c) 7భల
d) 3యఱ
.]
భమ
ళమ
రమ
d) Odejmowanie liczb mieszanych z uwzględnieniem liczb ujemnych
Załóżmy, że masz do obliczenia takie działanie:
5 − 15 =
Na pierwszy rzut oka nie różni się ono zbytnio od tego co było robione do tej pory w tym opracowaniu. Jest
jednak w nim pewien haczyk, w który wpada bardzo wielu uczniów (nawet piątkowych). Haczyk o którym myślę wymienię poniżej w punkcie 3. Teraz zaś napiszę w punktach co musisz wykonać krok po kroku by dojść do
wyniku końcowego w powyższym przykładzie.
1. Aby odjąć 2 liczby mieszane, musisz mieć te same liczby pod kreskami ułamkowymi (w mianownikach).
By to osiągnąć rozszerzasz ułamek drugiej liczby przez 2 (liczbę 4 mnożysz przez 2 i dodatkowo liczbę 1
mnożysz przez 2). Dzięki temu z ułamka o mianowniku 4 dostajesz ułamek o mianowniku 8.
⋅
5
− 15ᇧᇥ
ᇣᇧ
ᇧᇤᇧ
⋅
= 5 − 15 =
"
ć
2. Mając już 2 ułamki o tym samym mianowniku, odejmujesz całości od całości, czyli od liczby 5 odejmujesz liczbę 15 (nie odwrotnie). Otrzymujesz w tym przypadku liczbę −10.
⋅
5 ᇧᇤᇧ
− 15ᇧᇥ
ᇣᇧ
⋅
= 5 − 15 = −10 …
"
ć
3. Patrzysz czy po odjęciu ułamków które stoją przy liczbach: 5 i 15 dostaniesz wynik dodatni czy ujemny.
Jeśli pierwszy ułamek jest większy od drugiego, to do liczby otrzymanej w punkcie powyższym (w tym
przypadku do liczby −10) dopisujesz znak +, jeśli nie, to −.
⋅
5
− 15ᇧᇥ
ᇣᇧ
ᇧᇤᇧ
⋅
= 5 − 15 = −10 + . ..
"
ć
4. Odejmujesz dane ułamki.
⋅
5
− 15ᇧᇥ
ᇣᇧ
⋅
ᇧᇤᇧ
= 5 − 15 = −10 +
5
=
8
"
ć
Strona 10
5. Wykonujesz wskazane działanie.
⋅
5
− 15ᇧᇥ
ᇣᇧ
ᇧᇤᇧ
⋅
= 5 − 15 = −10 +
5
5
3
= −9 + = −9 − = −9
8
8
8
"
ć
Trudne, prawda? To teraz przeanalizuj sobie poniższe już rozwiązane przykłady. Może stanie się to trochę bardziej zrozumiałe.
⋅
⋅
8
− 10⋅
ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ
⋅
* ) *+"ć
* " "##$#
Ćwiczenie:
7
−2 +
ᇣᇧ
ᇧᇤᇧ
ᇧᇥ
12
= 8 − 10 =
7
ฏ +
−1
ᇧᇥ
ᇣᇧᇧᇤᇧ
12
=
$ , - * * !
ż +#$ #ł#
/ - * #%)ą *#ą
5
ฏ−
−1
ᇣᇧᇤᇧᇥ
12
=
# - #%)#
"# # %łść
) #%)+ ą
%#+%1 $ó
= −1
"#ę+ #%)"# - *
"#, ) +#$ #ł#
/3 - * #%)ą ,- "ą
(+# /)
Oblicz.
a) 8యర − 12మయ =
b) 7ఴవ − 16యఴ =
c) 16భమవ − 19యఱ =
ఴ
d) 5భయ
భర − 14మభ =
[Odp. a) −3భభ
b) −8యఱ
c) −2ఱభ
d) −8భవ
.]
భమ
ళమ
లబ
రమ
⋅
⋅
−8ᇧ
+ 10
= −8 + 10 =
ᇣᇧ
ᇧᇤᇧ
ᇧᇧᇥ
⋅
⋅
* ) *+"ć
* " "##$#
⋅
⋅
−8
+ᇧ2ᇧᇥ
ᇣᇧᇧ
ᇧᇤᇧ
⋅
⋅
⋅
* ) *+"ć
* " "##$#
⋅
⋅
= −6
$ "#, "#ę+ #%)"#
- * * !
ż +#$ #ł#
/3 - * #%)ą ,- "ą
−8ᇧ
− 10
= −8 − 10 =
ᇣᇧ
ᇧᇤᇧ
ᇧᇧᇥ
⋅
⋅
8
+ 10⋅
⋅
= 1
# - #%)#
"# # %łść
) #%)+ ą
%#+%1 $ó
7
−6 −
ᇣᇧ
ᇧᇤᇧ
ᇧᇥ
12
= −8 + 2 =
7
1 −
ᇣᇧᇤᇧᇥ
12
=
$ "#, - * * !
ż +#$ #ł#
/3 - * #%)ą ,- "ą
* ) *+"ć
* " "##$#
⋅
7
2−
ᇣᇧᇤᇧ
ᇥ
12
11
−18 −
12
= −18
$ "#, "#ę+ #%)"#
- * * !, ż +#$
#ł# // - * #%)ą
,- "ą
= 8 + 10 =
* ) *+"ć
* " "##$#
11
18 +
ᇣᇧ
ᇧᇤᇧ
ᇧᇥ
12
= 18
$ , - * * !
ż +#$ #ł#
3 - * #%)ą *#ą
Strona 11
Temat: Przydatne linki.
1.
Dodawanie ułamków i liczb mieszanych o różnych mianownikach.
http://matematyka.strefa.pl/dodawanie_ulamkow_o_roznych_mianownikach.pdf
2.
Co to jest ułamek zwykły?
http://zdamy.pl/data/materialy/matematyka/ulamkizywkle/ulamkizwykle.pdf
3.
Działania na ułamkach zwykłych on-line.
http://www.matzoo.pl/klasa4/skracanie-u%C5%82amkow-zwyk%C5%82ych_21_74.html
Strona 12

Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach - darmowy e

Transkrypt

Podobne dokumenty

Ułamek dziesiętny → zapis liczby rzeczywistej w postaci ułamka

Upraszczanie ułamków

Uporządkować ułamki to znaczy ustawić je rosnąco, czyli - pi

ulamki zwykle-powtorka

Matematyka etap I

Dodawanie ułamków

zadania_utrwalajace_poznane_55189

Algebra Liniowa

Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej

CIĄGI FAREYA