Ekonometria – ćwiczenia 2

Ekonometria – ćwiczenia 2
Prowadzący:
Sebastian Czarnota
Strona - niezbędnik
●
http://sebastianczarnota.com/sgh/
Metoda najmniejszych kwadratów
●
Metoda estymacji nieznanych parametrów β
●
Własności estymatorów MNK:
–
Zgodny
–
Nieobciążony
–
Najefektywniejszy – najmniejsza wariancja w klasie
–
Liniowy – każda składowa wektora β jest liniową
funkcją składowych wektora zmiennej losowej
Reszta modelu
●
●
Różnica między wartością empiryczną a
teoretyczną
Zapis macierzowy:
Twierdzenie Gaussa-Markowa
●
●
Jeżeli
–
(Z1) rz(X) = k + 1 ≤ n
–
(Z2) Zmienne objaśniające Xj są nielosowe
–
(Z3)
–
(Z4)
–
(Z5*)
… to estymator wyznaczony MNK jest
estymatorem zgodnym, nieobciążonym i
najefektywniejszym w klasie liniowych
estymatorów wektora parametrów modelu.
Zasada ceteris paribus
●
●
●
●
Zasada interpretacji oszacowanych wartości
parametrów
Pochodzi z łaciny i oznacza
przy pozostałych warunkach równych
Albo
przy tych samych okolicznościach
W szczególności, dla modeli o wielu zmiennych
objaśniających oznacza, że wartość jednego
współczynnika ma pewną interpretację, przy
pozostałych czynnikach niezmienionych
Macierz kowariancji
●
Uogólnienie pojęcia wariancji na przypadek
wielowymiarowy
●
●
●
- nieobserwowalna wartość wariancji składnika
losowego
Gdzie:
- wariancja zmiennej
- kowariancja między
i
.
Błąd standardowy
●
Estymator wariancji
składnika losowego:
●
Estymator macierzy kowariancji
●
Błąd standardowy regresji (składnika losowego):
Błąd szacunku parametru
●
●
●
Średni błąd szacunku parametru
Gdzie
oznacza element przekątnej estymowanej
macierzy kowariancji
Określa poziom przeciętnych wachań, którym
podlegałaby wartość oszacowania parametru , jeśli
istniałaby możliwość pobrania z populacji innych prób
o tej samej liczebności
Względny błąd szacunku parametru
●
Średni błąd względny parametru
●
Przyjmuje się, że wartość >50% jest niedopuszczalna
Współczynnik determinacji
●
●
●
●
Współczynnik wyrażający stosunek zmienności
wyjaśnionej do zmienności ogółem
Wartość należy do przeciału <0, 1>
Im wyższy, tym model dokładniej tłumaczy
zmienność zmiennej objaśnianej
Niescentrowany wsp. determinacji
●
●
Miara jakości dopasowania modelu
oszacowanego bez wyrazu wolnego
Wartość również należy do przedziału <0;1>
Skorygowany wsp. determinacji
●
●
Współczynnik determinacji rośnie (lub pozostaje bez
zmian) gdy dodajemy kolejne zmienne objaśniające,
nawet mało istotne
Skorygowany wsp. determinacji nakłada karę za
każdą dodatkową zmienną objaśniającę
●
Może przyjmować ujemne wartości
●
Nie można go interpretować jako wyjaśnionej wariancji
Kryterium informacyjne
●
●
●
●
Kryterium Akaike'a (AIC – Akaike Information
Criterion)
Kryterium Schwarza (BIC – Bayesian I.C.)
Kryterium Hannana-Quinna (HQC – HannanQuinn Criterion)
Im mniejsza wartość, tym model lepiej
tłumaczy modelowane zjawisko
Test istotności
●
●
Pozwala zbadać, na ile istotna jest zmienna
objaśniająca w modelu
Przyjmuje postać testu statystycznego
●
●
●
●
Przyjęcie hipotezy zerowej oznacza, że zmienna
wartość
ma
Statystyka ma rozkład t-Studenta o df = n – (k + 1)
stopniach swobody
Będziemy przyjmować poziom istotności
Stosowanie testu istotności
●
●
●
●
●
Jeśli wyznaczona dla parametru wartość statystyki
jest większa co do modułu od wartości krytycznej na
ustalonym poziomie istotności , czyli:
To hipotezę zerową odrzucamy.
W przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do jej
odrzucenia
Wartości
są stablicowane
Nas interesuje, czy wartość parametru jest istotnie
różna od zera, bo jeśli nie, to możemy taką zmienną
wyeliminować z modelu, gdyż nic nie wnosi, jest
nieistotna
Empiryczny poziom istotności
●
●
●
●
●
Oznaczana „wartość p” albo „p-value”
Wyraża prawdopodobieństwo popełnienia błędu I
rodzaju w przypadku rozważanej statystyki testowej
Błąd I rodzaju – odrzucenie prawdziwej hipotezy
zerowej
Jest to najniższy poziom istotności, przy którym
należy odrzucić hipotezę zerową
Wygodny w stosowaniu sposób oceny istotności
parametrów modelu:
p-value ≤ 0,05 - odrzucamy hipotezę zerową
Test RESET
●
●
●
●
●
Regression Specification Error Test
Test polega na dodaniu dodatkowych zmiennych i
weryfikacji hipotezy zerowej, że współczynniki przy
dodanych zmiennych są równe 0
Hipoteza zerowa zakłada poprawność funkcyjną
modelu (tzn. współczynniki przy dodanych zmiennych
są równe 0)
Weryfikacji hipotezy dokonuje się za pomocą
statystyki testu Walda o rozkładzie F-Snedecora
Odrzucenie hipotezy zerowej może świadczyć
zarówno o błędzie doboru postaci funkcyjnej jak i
pominięciu ważnej zmiennej objaśniającej
Współczynnik korelacji liniowej
●
●
Miara siły z jaką dwie zmienne są od siebie
liniowo zależne
Zależność między kowariancją a
współczynnikiem korelacji liniowej:
Autokorelacja dodatnia i ujemna
●
●
●
Z4 – macierz kowariancji składnika losowego
jest macierzą skalarną
Tzn. kowariancja poszczególnych składników
losowych jest równa 0
Z tego wynika, że korelacja czynnika losowego
jest równa 0 (korelacja to iloraz kowariancji i
iloczynu odchyleń standardowych)
Proces autokorelacji
●
●
●
Proces autokorelacji pierwszego rzędu
Autokorelacje badamy testem mnożnika Lagrange'a
(w gretlu oznaczny LMF)
Jeśli > 0 to mówimy o dodatniej autokorelacji, a
gdy < 0 o ujemnej autokorelacji
Test mnożnika Lagrange'a
●
●
●
●
Test przebiega dwuetapowo:
1) szacujemy model i wyznaczamy jego reszty
2) następnie dołączamy p ostatnich reszt do
modelu
Hipoteza zerowa zakłada brak autokorelacji
składnika losowego rzędu od 1 do p
Statystyka testu ma rozkład
swobody
z 1 stopniem
Test ma charakter asymptotyczny i sprawdza
się najlepiej dla modeli o df>30
Heteroskedastyczność
●
●
●
Różna wariancja składników losowych modelu
Sprawia, że estymatory MNK przestają być
najefektywniejsze
Do badania heteroskedastyczności będziemy
wykorzytywać test White'a
Test White'a
●
●
●
Również jest testem dwuetapowym:
1) szacujemy podstawowy model
2) szacujemy model z dodanymi kwadratami
zmiennych i iloczynami wszystkich par, a zmienną
objaśnianą są podniesione do kwadratu reszty
wyjściowego modelu
Hipotezą zerową jest założenie o
homoskedastyczności składnika losowego
Statystyka testu ma rozkład o liczbie stopni
swobody równej liczbie zmiennych objaśniających
równania testowego (z dołączonymi zmiennymi)
HAC
●
●
Heteroskedasticity and Autocorrelation
Consistent
Szacowanie modelu z uwzględnieniem
heteroskedastyczności i autokorelacji składnika
losowego
●
Oszacowania pozostają bez zmian
●
Korekcie ulega estymator macierzy kowariancji
●
W efekcie zmienione zostaną oszacowania
błędów