4. Wartość bezwzględna – odpowiedzi

Wrześniowy kurs wyrównawczy z MATEMATYKI
4. Wartość bezwzględna – odpowiedzi
√
b) 2 3 − 3
4.1 a) π − 3, 14
√
4.2 a) 3 − 2 2
b) 2, 625 −
2
3
5
· 2 14
4.3 a) x + 6
b) 6
4.4 a) 6 − x
b) −3x + 11
√
c) − 1−2
5
−
1√
1+ 5
c) x + 10
c) −3x + 17
4.5 Funkcje y = |x| (niebieska), y = |x| − 1 (czerwona), y = |x| + 1 (fioletowa)
Funkcje y = |x| (niebieska), y = |x − 1| (czerwona), y = |x + 1| (fioletowa)
Funkcje y = |x + 1| − 1 (niebieska), y = ||x + 1| − 1| (czerwona) - uwaga: wykresy częśćiowo pokrywają się
4.6 Funkcje: y = |x − 2| (niebieska), y = |x + 2| (czerwona)
Funkcje y = |x| − 2 (niebieska), y = |x| + 2 (czerwona)
Funkcje y = |x + 2| − 3 (niebieska), y = ||x + 3| − 2| (czerwona)
4.7 a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
4.8 a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
4.9 Funkcja jest malejąca w przedziale (−∞, −1i zaś rosnąca w przedziale h−1, +∞). Dla m ∈ (−∞, −2) równanie
nie ma rozwiązań; dla m = −2 równanie ma jedno rozwiązanie, natomiast dla m ∈ (−2, +∞) równanie ma dwa
rozwiązania.
4.10 a) Funkcja jest rosnąca w przedziale h−3, −1i oraz w przedziale h1, +∞). Funkcja jest malejąca w przedziale
(−∞, −3i oraz w przedziale h−1, 1i. Dla m ∈ (−∞, 0) równanie nie ma rozwiązań; dla m = 0 równanie ma dwa
rozwiązania; dla m ∈ (0, 2) równanie ma 4 rozwiązania; dla m = 2 równanie ma 3 rozwiązania, natomiast natomiast
dla m ∈ (2, +∞) równanie ma dwa rozwiązania.
b) Funkcja jest rosnąca w przedziale h−4, 0i oraz w przedziale h4, +∞). Funkcja jest malejąca w przedziale (−∞, −4i
oraz w przedziale h0, 4i. Dla m ∈ (−∞, 0) równanie nie ma rozwiązań; dla m = 0 równanie ma dwa rozwiązania; dla
m ∈ (0, 4) równanie ma 4 rozwiązania; dla m = 4 równanie ma 3 rozwiązania, natomiast natomiast dla m ∈ (4, +∞)
równanie ma dwa rozwiązania.
c) Funkcja jest rosnąca w przedziale h2, +∞). Funkcja jest malejąca w przedziale (−∞, 32 i oraz stała w przedziale
h 23 , 2i. Dla m ∈ (−∞, −2) równanie nie ma rozwiązań; dla m = −2 równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań; dla
m ∈ (−2, +∞) równanie ma dwa rozwiązania.
4.11 Istnieje dokładnie jeden taki punkt. Jest to punkt o odciętej x = 3.
4.12 Istnieją dokładnie dwa takie punkty. Są punkty o odciętej x =
5
2
lub x = − 12 .
4.13 Dziedziną tej funkcji jest zbiór R \ {0}. Funkcja ta jest przedziałami stała.
4.14 Funkcja jest stała na przedziale h0, +∞), zaś na przedziale (−∞, 0i jest funkcją malejącą.
4.15 50
4.16
35
2 .
Punkty przecięcia wykresów to (− 32 , 12 ) oraz ( 92 , 32 ).
4.17 Rozwiązanie nierówności x ∈ (−∞, −3i. Wykresy obu funkcji:
4.18 Rozwiązanie nierówności x ∈ h1, +∞). Wykresy obu funkcji:
4.19 Dla podanych niżej wykresów obowiązuje konwencja: wykres funkcji f oznaczony jest kolorem czerwonym, wykres
funkcji g kolorem niebieskim, zaś funkcji h kolorem fioletowym.
a) g(x) = |3 − x|, h(x) = 3 − |x|
b) g(x) = |1 − x2 |, h(x) = 1 − x2
c) g(x) = |x2 − 2x|, h(x) = x2 − 2|x|
4.20 Dla podanych niżej wykresów obowiązuje konwencja: wykres funkcji f oznaczony jest kolorem czerwonym, wykres
funkcji g kolorem niebieskim, zaś funkcji h kolorem fioletowym.
a) g(x) = |x + 2|, h(x) = |x| + 2
b) g(x) = |x2 − 4|, h(x) = x2 − 4
c) g(x) = |x2 − 4x + 3|, h(x) = x2 − 4|x| + 3
4.21 a) x = 13 lub x = −13
b) x = 14 lub x = −12
c) x = 15 lub x = −13
e) x ∈ h−9, 5i
f) x ∈ (−∞, −8) ∪ (8, +∞)
g) x ∈ (−∞, −5) ∪ (11, +∞)
4.22 a) x = 8 lub x = −8
b) x = −8 lub x = 12
e) x ∈ h−6, 0i
f) x ∈ (−∞, −4) ∪ (4, +∞)
4.23 a) x = − 23 lub x =
d) x = −1 lub x = 2
3
2
4.24 a) brak rozwiązań
d) brak rozwiązań
4.25 a) x ∈ (−∞, −6i ∪ h6, +∞)
d) x ∈ (−∞, −2) ∪ (0, +∞)
4.26 a) x ∈ h−6, 4i
d) x ∈ h−2, 2i
d) x ∈ h−7, 7i
h) h− 21 , 12 i
c) x = 1 lub x = −3 lub x = 3 lub x = −5
d) x ∈ h−2, 2i
g) x ∈ (−∞, −1) ∪ (4, +∞)
h) brak rozwiązań
b) x = −6 lub x = 2
e) x ∈ (−∞, 0i
b) brak rozwiązań
e) brak rozwiązań
b) x ∈ (2, 6)
e) x ∈ (−∞, 0i
b) brak rozwiązań
c) x ∈ (−∞, 2i
f) brak rozwiązań
c) x = 52
f) x = −4 lub x = 4
c) x ∈ h 37 , +∞)
f) x ∈ (−∞, −2i ∪ h− 21 , 12 i ∪ h2, +∞)
c) x ∈ (−∞, − 32 ) ∪ ( 12 , +∞)
e) brak rozwiązań