ZLic_Zad7.

Zarzadzanie - zadania z matematyki - lista 7
Wektory
1. Wykazac, z_ e:
2
>
>
a)
" wektory#v1 = [v11 ; v21 ] ; v2 = [v12 ; v22 ] 2 IR sa liniowo niezale_zne () det[v1 ; v2 ] =
v11 v12
det
6= 0,
v21 v22
b) wektory v1 ; v2 ; v3 2 IR3 sa liniowo niezale_zne () det[v1> ; v2> ; v3> ] 6= 0;
c) wektory v1 ; v2 ; :::; vn 2 IRn sa liniowo niezale_zne () det[v1> ; v2> ; :::; vn> ] 6= 0.
10.2. Wykazac, z_ e:
h
i
a) wektory v1 ; v2 ; v3 2 IRn sa liniowo niezale_zne () r v1> ; v2> ; v3> = 3; n
h
n
i
3;
>
b) wektory v1 ; v2 ; :::; vm 2 IR sa liniowo niezale_zne () r v1> ; v2> ; :::; vm
=m:
2. Zbadac liniowa niezale_znosc ukladu wektorow:
a) v1 = [3; 1] ; v2 = [ 2; 1] ; b) w1 = [ 1; 2] ; w2 = [2; 6] ; w3 = [3; 2] ; c) y1 = [1; 1; 1] ; y2 =
[3; 1; 0] ; y3 = [ 1; 2; 1] ; d) z1 = 2; z2 = 3:
3. Wykazac, z_ e:
a) je_zeli wektory v1 ; v2 ; v3 2 IR3 sa liniowo niezale_zne, to dowolny wektor w 2 IR3 mo_ze
byc przedstawiony w postaci w = 1 v1 + 2 v2 + 3 v3 ;
b) je_zeli wektory v1 ; v2 ; :::; vn 2 IRn sa liniowo niezale_zne, to dowolny wektor w 2 IRn
mo_ze byc przedstawiony w postaci w = 1 v1 + 2 v2 + ::: + n vn :
4. Pokazac, z_ e
a) jesli uklad v1 ; v2 ; :::; vm 2 IRn jest liniowo zale_zny, to przynajmniej jeden z wektorow
v1 ; v2 ; :::; vm jest liniowa kombinacja pozostalych;
b) jesli uklad v1 ; v2 ; :::; vm 2 IRn jest liniowo niezale_zny, zas uklad v1 ; v2 ; :::; vm ; vm+1 2
n
IR jest liniowo zale_zny, to vm+1 jest liniowa kombinacja wektorow v1 ; v2 ; :::; vm .
Przeksztalcenia liniowe
1. Okreslmy przeksztalcenie A : IR2 ! IR2 nastepujaco
A (x) = A
"
x1
x2
#
=
"
cos
sin
sin
cos
#"
x1
x2
#
:
a) Pokazac, z_ e jest to"przekszta
lcenie liniowe;
#
1
b) Wyznaczyc (A )k
dla = =6; =4; =3; =2; k = 0; 1; 2; 3; 4;
0
c) Podac postac przeksztalcenia A A ;
d) Czy A A = A A ?
e) Czy A jest odwzorowaniem ro_znowartosciowym? Jesli tak, to podac postac odwzorowania (A ) 1 ;
2
3
a11 a12
7
2. Sprawdzic, z_ e dla przeksztalcenia liniowego A : IR2 ! IR3 z macierza A = 6
4 a21 a22 5
a31 a32
rownanie A(x) = b ma rozwiazanie wtedy i tylko wtedy gdy wektor b jest kombinacja
liniowa wektorow a1 = [a11 ; a21 ; a31 ] ; a2 = [a12 ; a22 ; a32 ].
1
Proste i plaszczyzny w IR3
1. Narysowac proste o rownaniach:
a) x1 = 1; b) x2 = 2; c) x1 x2 = 2; d) 3x1 5x2 = 15; e) 2x1 + 5x2 = 10; f) x31 + x42 = 1:
2. Dana jest prosta L o rownaniu ogolnym 6x y + 2 = 0;
a) Przeksztalcic prosta L do postaci kierunkowej, odcinkowej i parametrycznej;
b) Znalezc punkty przeciecia prostej L z osiami ukladu;
c) obliczyc odleglosc punktu (1; 2) od prostej L;
d) napisac rownanie prostej prostopadlej do prostej L.
3. Pokazac, z_ e punkty x =(x1 ; x2 ); y = (y1 ; y2 ); z =(z1 ; z2 ) 2 IR2 le_za na jednej prostej (sa
wspolliniowe) ()
x1 y1 x2 y2
= 0:
det[x y; x z]> =
x1 z1 x2 z2
4. Pokazac, z_ e punkty x; y; z; u 2 IR3 le_za na jednej plaszczyznie ()
x1 y1 x 2 y2 x3 y3
det[x y; x z; x u]> = x1 z1 x2 z2 x3 z3 = 0:
x 1 u1 x 2 u 2 x 3 u3
5. Napisac rownanie plaszczyzny:
a) przechodzacej przez punkty x = (x1 ; x2 ; x3 ) i y = (y1 ; y2 ; y3 ) i rownoleglej do wektora
v = (v1 ; v2 ; v3 );
b) przechodzacej przez punkt x = (x1 ; x2 ; x3 ) i prostopadlej do wektora u = (u1 ; u2 ; u3 );
c) przechodzacej przez punkt x = (x1 ; x2 ; x3 ) i prostopadlej do plaszczyzn Ai x1 + Bi x2 +
Ci x3 + Di = 0; i = 1; 2;
w postaci ogolnej i parametrycznej.
6. Dane sa trzy plaszczyzny o rownaniach ogolnych: Ai x1 + Bi x2 + Ci x3 + Di = 0; i =
1; 2; 3. Podac warunki, przy ktorych plaszczyzny te: a) nie maja punktu wspolnego, b) maja
dokladnie jeden punkt wspolny, c) maja nieskonczenie wiele punktow wspolnych zale_znych od
jednego parametru (przecinaja sie wzdlu_z jednej wspolnej krawedzi), d) maja nieskonczenie
wiele punktow wspolnych zale_znych od dwoch parametrow (pokrywaja sie).
7. Znalezc odleglosc punktu p = (p1 ; p2 ; p3 ) od plaszczyzny Ax1 + Bx2 + Cx3 + D = 0:
2