n > 0 - Kolos

Wykład 3
Arytmetyka modulo n
Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą (n > 0) i niech a, b ∈ Z. Mówimy, że a przystaje do b modulo n jeśli n|(a−b) i piszemy wtedy a ≡ b mod n.
Relacja przystawania modulo n jest relacją równoważności. Rzeczywiście
relacja jest zwrotna bo dla każdej liczby całkowitej a, liczba 0 = a − a jest
podzielna przez n. Zatem a ≡ a mod n. Relacja ta jest również symetryczna
bo jeśli n|(a − b) to również n|(b − a), bo b − a = −(a − b). Relacja jest
przechodnia, bo jeśli n|(a − b) i n|(b − c) to również n dzieli (a − b) + (b − c) =
a − c, a więc n|(a − c).
Relacja przystawania modulo n ma jeszcze jedną bardzo ważną własność:
a ≡ b mod n
jeśli
to a + c ≡ b + d mod n i a · c ≡ b · d mod n. Każdą
c ≡ d mod n
relację równoważności, która spełnia powyższą własność nazywać będziemy
kongruencją w Z.
Oznaczmy przez [a] klasę abstrakcji elementu a względem relacji przystawania modulo n, a więc:
[a] = {b ∈ Z : n|(a − b)}
Można zauważyć, że klasa abstrakcji elementu a jest wyznaczona przez resztę
z dzielenia tego elementu przez n i że dwa elementy są w relacji wtedy i
tylko wtedy gdy dają tę samą resztę przy dzieleniu przez n. A więc w tym
przypadku mamy dokładnie n różnych klas abstrakcji:
[0] = {x ∈ Z : n|x} = nZ
[1] = {x ∈ Z : n|(x − 1)} = 1 + nZ
[2] = {x ∈ Z : n|(x − 2)} = 2 + nZ
..
.
[n − 1] = {x ∈ Z : n|(x − (n − 1))} = (n − 1) + nZ
Zamiast zapisu [a] będziemy zwykle używać zapisu a, a czasem będziemy
opuszczać kreskę nad elementem. Przez Zn oznaczać będziemy zbiór klas
abstrakcji relacji przystawania modulo n, a więc:
Zn = {0, 1, . . . , n − 1}
1
W zbiorze Zn można wprowadzić następujące działania:
ā +n b̄ = a + b
ā ·n b̄ = a · b
Czy działania te są dobrze określone? Czy może się zdarzyć taka sytuacja, że
a = c, b = d a a + c 6= b + d lub a · c 6= b · d? Otóż nie, a wynika to z faktu,
że relacja przystawania modulo n jest kongruencją. Jeśli mamy a = c, b = d
to a ≡ c mod n, b ≡ d mod n, a stąd a + c ≡ b + d mod n, a · c ≡ b · d mod n,
a więc a + c = b + d i a · c 6= b · d
Oczywiście spełniona jest następująca własność:
ā = b̄ ⇐⇒ a ≡ b mod n
i dwie klasy są albo równe albo są rozłączne.
Twierdzenie 1 Dla dowolnych klas ā, b̄, c̄ ∈ Zn mamy:
(i) ā + (b̄ + c̄) = (ā + b̄) + c̄,
(ii) ā + b̄ = b̄ + ā,
(iii) ā + 0̄ = 0̄ + ā = ā,
¯ a=n−
¯ a + ā = 0̄,
(iv) ā + n −
(v) ā · (b̄ · c̄) = (ā · b̄) · c̄,
(vi) ā · b̄ = b̄ · ā,
(vii) ā · 1̄ = 1̄ · ā = ā,
(viii) ā · (b̄ + c̄) = ā · b̄ + ā · c̄,
(ix) (b̄ + c̄) · ā = b̄ · ā + c̄ · ā.
Przykład Skonstruować tabelki działań w pierścieniu Z5 .
+n 0 1 2 3 4
·n 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 1 2 3 4 0
1 0 1 2 3 4
2 2 3 4 0 1
2 0 2 4 1 3
3 3 4 0 1 2
3 0 3 1 4 2
4 4 0 1 2 3
4 0 4 3 2 1
Strukturę (Zn , +, ·) nazywać będziemy pierścieniem reszt modulo n.
Pytanie, które teraz się pojawia to: Kiedy równanie a ·n x = 1 ma rozwiązanie w pierścieniu Zn ? Odpowiedzi można udzielić korzystając z wcześniejszych rozważań dotyczących równań diofantycznych.
Twierdzenie 2 Równanie a ·n x = 1 ma rozwiązanie w pierścieniu Zn wtedy
i tylko wtedy gdy liczby a i n są względnie pierwsze. Inaczej mówiąc liczba a
jest odwracalna modulo n wtedy i tylko wtedy gdy NWD(a, b) = 1.
2
Dowód Jeśli NWD(a, n) = 1 to istnieją liczby całkowite u, v takie, że au +
nv = 1 wtedy modulo n mamy ā · v̄ = 1, a więc liczba a jest odwracalna
modulo n. Jeśli teraz liczba a jest odwracalna modulo n to istnieje b, że
a ·n b = 1 i a · b − 1 = 0 to oznacza, że n|(ab − 1), a więc istnieje k, że
ab − 1 = kn, zatem równanie ax + ny = 1 ma rozwiązanie, a to oznacza, że
liczby a i n są względnie pierwsze.
Zadanie Znaleźć element odwrotny (jeśli istnieje) do 25 modulo 34.
Bezpośrednią konsekwencją tego Twierdzenia jest następujące Twierdzenie:
Twierdzenie 3 Jeśli p > 0 jest liczbą pierwszą to w pierścieniu Zp każdy
niezerowy elemnt jest odwracalny.
Niezerowy element a pierścienia Zn nazywamy dzielnikiem zera jeśli istnieje niezerowy element b, taki że ab = 0 w Zn . Na przykład element 2 jest
dzielnikiem zera w Z6 bo w Z6 mamy 2 · 3 = 0.
Twierdzenie 4 Pierścień Zn posiada dzielniki zera wtedy i tylko wtedy gdy
n nie jest liczbą pierwszą.
Pierścień Zp gdzie p jest dodatnią liczbą pierwszą nazywamy ciałem
reszt modulo p.
Twierdzenie 5 Jeśli a, b są liczbami odwracalnymi modulo n to ich iloczyn
też jest odwracalny modulo n.
Dowód Istnieją liczby a0 i b0 takie, że modulo n mamy a · a0 = 1 i b · b0 = 1
wtedy liczba b0 · a0 jest odwrotna do ab modulo n.
3