Estymacja relacji porządku na podstawie porównań parami

ESTYMACJA RELACJI PORZDKU NA PODSTAWIE PORÓWNA PARAMI
WSKAZUJCYCH KIERUNEK PREFERENCJI Z BŁDAMI LOSOWYMI
LESZEK KLUKOWSKI
Instytut BadaĔ Systemowych PAN
Streszczenie
W pracy przedstawiono estymatory relacji porządku w zbiorze skoĔczonym, na
podstawie porównaĔ parami z błĊdami losowymi, przy załoĪeniu wielokrotnych,
niezaleĪnych porównaĔ binarnych kaĪdej pary elementów. Postaü rozwaĪanych
estymatorów opiera siĊ na koncepcji nearest adjoining order (Slater 1961),
polegającej na wyznaczeniu ocen minimalizujących róĪnice miĊdzy postacią relacji
i porównaniami. Przedstawiono dwie postacie estymatora: pierwsza opiera siĊ na
sumowaniu porównaĔ kaĪdej pary, druga – na medianie z porównaĔ. WłasnoĞci
estymatorów otrzymano na podstawie nierównoĞci probabilistycznych.
Słowa kluczowe: estymacja relacji porządku, porównania parami z błĊdami losowymi.
1. Wprowadzenie
W niniejszej pracy omówiono estymatory relacji porządku w zbiorze skoĔczonym, co
najmniej trzyelementowym, mającej własnoĞci: spójnoĞci, zwrotnoĞci, przechodnioĞci oraz
antysymetrii. PodstawĊ estymacji stanowią wielokrotne porównania wszystkich par elementów.
Przyjmuje siĊ nieograniczające załoĪenia, w stosunku do istniejącej literatury (zob. David 1988),
nt. własnoĞci porównaĔ:
• kaĪde porównanie wskazuje element preferowany lub stwierdza ich równowaĪnoĞü i jest
zakłócone błĊdem losowym,
• prawdopodobieĔstwo błĊdnego porównania jest mniejsze niĪ poprawnego,
• liczba porównaĔ kaĪdej pary moĪe byü wiĊksza niĪ jeden,
• porównania wielokrotne są stochastycznie niezaleĪne (zob. pkt 2, załoĪenie Z2 poniĪej).
WłasnoĞci takie mają m.in. porównania otrzymane w wyniku weryfikacji hipotez
statystycznych. Koncepcja rozwaĪanych estymatorów jest zgodna z ogólną ideą estymacji
statystycznej – polega na wyznaczeniu relacji o takiej postaci, która wykazuje najmniejsze róĪnice,
wg przyjĊtego kryterium, w stosunku do próby (porównaĔ parami). Nie jest to zwykle próba
prosta, poniewaĪ wyniki porównaĔ róĪnych par mogą nie byü niezaleĪne stochastycznie.
WłasnoĞci estymatorów otrzymano na podstawie znanych nierównoĞci probabilistycznych, m.in.
nierównoĞci Hoeffdinga 1963. RozwaĪaną koncepcjĊ zastosowano równieĪ do estymacji relacji
równowaĪnoĞci i tolerancji (Klukowski 1990, 2002, 2007); ponadto wykorzystano ją do
konstrukcji estymatorów opartych na porównaniach wyraĪających odległoĞci miĊdzy elementami
(Klukowski 2007, 2008). Wymienione wyniki tworzą szerszą całoĞü teoretyczną.
Estymacja relacji porządku na podstawie binarnych porównaĔ parami z błĊdami losowym
znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach nauki, m.in. w ekonomii, medycynie, socjologii.
Przykładem problemu tego rodzaju jest wskazanie najlepszej postaci modelu ekonometrycznego
badanego zjawiska, w zbiorze akceptowalnych wariantów. Istnieją testy statystyczne, które
pozwalają wybraü model preferowany z dwóch modeli lub stwierdziü jednakową ich adekwatnoĞü.
58
POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZĄDZANIA WIEDZĄ
Seria: Studia i Materiały, nr 31, 2010
Zastosowanie testu do wszystkich par modeli, w przypadku, gdy liczba modeli przekracza dwa
oraz błĊdy w kaĪdym teĞcie są mniej prawdopodobne niĪ wyniki poprawne, generuje problem
estymacji o podanych wyĪej właĞciwoĞciach. Estymacja porządku w takim zbiorze modeli
zapewnia wyniki w pełni sformalizowane, o znanych własnoĞciach statystycznych.
Praca składa siĊ z piĊciu czĊĞci. W kolejnych czĊĞciach przedstawiono: sformułowanie
problemu, definicje i oznaczenia, postaü i własnoĞci rozwaĪanych estymatorów oraz
podsumowaniereĞü wprowadzenia.
2. Zagadnienie
Problem rozwaĪany w niniejszej pracy moĪna sformułowaü w nastĊpujący sposób. Dany jest
skoĔczony zbiór elementów X = {x1 , ..., x m} (m≥3). Relacja porządku R w zbiorze X ma postaü:
R=I∪P
(1)
gdzie:
I – relacja równowaĪnoĞci (zwrotna, przechodnia, symetryczna),
P – relacja mocnej preferencji (przechodnia, antysymetryczna).
Relacja R generuje z elementów zbioru X ciąg (uporządkowaną rodzinĊ) niepustych,
rozłącznych podzbiorów χ 1* , ..., χ *n , spełniających warunek:
n
*
χ i = X.
(2)
i =1
JeĞli ( xi , x j ) ∈ χ *q (1 ≤ q ≤ n) , to elementy xi oraz x j są równowaĪne, jeĞli xi ∈ χ *r oraz
*
x j ∈ χ s , przy czym r<s, to element xi jest preferowany w stosunku do elementu x j . W dalszym
ciągu pracy ciąg podzbiorów χ 1* , ..., χ *n bĊdzie utoĪsamiany z postacią relacji R.
RelacjĊ R moĪna opisaü jednoznacznie przy uĪyciu funkcji T: X × X → D, D = {-1, 0, 1},
zdefiniowanej zaleĪnoĞcią:
0 jesli istnieje q takie, Īe ( xi , x j ) ∈ χ *q ,
T ( xi , x j ) = − 1 jesli xi ∈ χ *r oraz x j ∈ χ *s , r < s,
(3)
*
*
1 jesli xi ∈ χ r oraz x j ∈ χ s , r > s.
Zakłada siĊ, Īe relacjĊ R naleĪy estymowaü na podstawie porównaĔ parami elementów zbioru
X, przy załoĪeniu, Īe kaĪda para ( xi , x j ) ∈ X × X jest porównywana N-krotnie, N≥1 oraz, Īe
kaĪde porównanie stanowi ocenĊ funkcji T ( xi , x j ) , zakłóconą błĊdem losowym. Porównania te
bĊdą oznaczane symbolem g k ( xi , x j ) ( k = 1, ..., N ) ; mają one postaü g k : X × X→D, D={1, 0, 1}:
Leszek Klukowski
Estymacja relacji porządku na podstawie porównaĔ parami
wskazujących kierunek preferencji z błĊdami losowymi
0 jesli ocena uznaje elementy pary za równowazne,
*
tj. istnieje q takie, ze ( xi , x j ) ∈ χ q ;
− 1 jesli ocena uznaje element xi za preferowany
g k ( xi , x j ) = *
*
w stosunku do x j , tj. xi ∈ χ r oraz x j ∈ χ s , r < s;
1 jesli ocena uznaje element x za preferowany
j
w stosunku do x , tj. x ∈ χ * oraz x ∈ χ * , r > s;
i
i
j
r
s
Postaü
relacji
R
naleĪy
estymowaü
na
podstawie
59
(4)
porównaĔ
g k ( xi , x j )
( k = 1, ..., N ; ( xi , x j ) ∈ X × X; j ≠ i) , spełniających poniĪsze załoĪenia Z1 – Z3.
Z1. KaĪde prawdopodobieĔstwo poprawnego porównania spełnia warunek:
P ( g k ( xi , x j ) = T ( xi , x j )) ≥ 1 − δ ( k ) ,
δ ( k ) ∈ (0, 12 ) (k = 1, ..., N ) .
(5)
Z2. W przypadku liczby porównaĔ N≥2 jest spełniony warunek ich stochastycznej
niezaleĪnoĞci:
P (( g k ( xi , x j ) = d 1) ∩ ( g l ( x r , x s ) = d 2)) =
(6)
P (( g k ( xi , x j ) = d 1) P ( g l ( x r , x s ) = d 2) ( k ≠ l ; d 1 , d 2 ∈ {−1, 0, 1}).
Z3. Porównania g k ( xi , x j ) oraz g k ( x r , x s ) (1 ≤ k ≤ N ; 1 ≤ i, j , r , s ≤ m) są nieskorelowane
w przypadku, gdy r ≠ i, j oraz s ≠ i, j :
Cov ( g k ( xi , x j ), g k ( x r , x s )) = 0 .
(7)
3. Definicje i oznaczenia
W celu zdefiniowania estymatorów relacji χ 1* , ..., χ *n niezbĊdne są nastĊpujące oznaczenia:
• t ( xi , x j ) – funkcja okreĞlająca dowolną relacjĊ porządku χ 1 , ..., χ r (r≥2) w zbiorze X,
spełniającą warunek (2), zdefiniowana w sposób analogiczny do funkcji T ( xi , x j ) ;
• W ( k ) ( χ 1 , ..., χ r ) – zmienna losowa wyraĪająca sumĊ niezgodnoĞci miĊdzy wartoĞciami funkcji
t ( xi , x j ) oraz porównaniami g k ( xi , x j ) (1 ≤ k ≤ N ; ( xi , x j ) ∈ X × X) o postaci:
W ( k ) ( χ 1 , ..., χ r ) =
<i , j >∈R m
U ij( k )( χ 1 , ..., χ r )
(8)
gdzie:
R m – zbiór par indeksów o postaci R m = {< i, j > 1 ≤ i, j ≤ m; j > i} ;
0 jesli t ( xi , x j ) = g k ( xi , x j ),
U ij( k ) ( χ 1 , ..., χ r ) = 1 jesli t ( xi , x j ) ≠ g k ( xi , x j ),
• W N ( χ 1 , ..., χ r ) – suma zmiennych W ( k ) ( χ 1 , ..., χ r ) (k=1, ..., N):
N
N
(k )
W N ( χ 1 , ..., χ r ) = W ( χ 1, ..., χ r ) = k =1
k =1 <i , j >∈Rm
U ij( k ) ( χ 1, ..., χ r ) ;
(9)
(10)
60
POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZĄDZANIA WIEDZĄ
Seria: Studia i Materiały, nr 31, 2010
~
~ ≥2) w zbiorze X,
• t ( xi , x j ) – funkcja okreĞlająca dowolną relacjĊ porządku χ~1 , ..., χ~ n~ ( n
spełniającą warunek (2), róĪną od relacji χ 1* , ..., χ *n , zdefiniowana w sposób analogiczny do
funkcji T ( xi , x j ) ;
• U ij( k )* , U~ ij( k ) – zmienne losowe zdefiniowane analogicznie jak zmienne (9), odpowiadające
relacjom – odpowiednio χ * , ..., χ * oraz χ~ , ..., χ~ ~ ;
1
n
• M – liczebno zbioru R m , tj. M =
1
m( m −1)
2
n
.
4. Estymator oparty na sumie niezgodnoci porówna
W niniejszej czĊĞci rozwaĪa siĊ estymator relacji χ 1* , ..., χ *n oparty na własnoĞciach
zmiennych losowych W *N oraz W~ N , wyraĪających niezgodnoĞci miĊdzy – odpowiednio
wartoĞciami funkcji T ( xi , x j ) , a porównaniami g k ( xi , x j ) (k = 1, ..., N ; < i, j >∈ R m) oraz
~
wartoĞciami funkcji t ( xi , x j ) , a tymi porównaniami. Zmienne te mają postaü:
N
W *N = N
~
WN = k =1 <i , j >∈Rm
k =1 <i , j >∈Rm
U ij( k )* ,
(11)
~(k )
U ij .
(12)
WłasnoĞci zmiennych W *N oraz W~ N zawiera poniĪsze
Twierdzenie 1. JeĞli spełnione są załoĪenia Z1 – Z3, to zachodzą zaleĪnoĞci:
E (W *N − W~ N ) < 0 ,
P(W *N < W~ N ) ≥ 1 − exp{−2 N ( 12 − δ )2} ,
lim Var ( N1 W *N ) = 0 ,
(13)
(14)
(15)
N →∞
~
lim Var ( N1 W N ) = 0 ,
(16)
N →∞
gdzie:
δ = max {δ ( k )} .
1≤ k≤ N
Dowody zaleĪnoĞci (13) – (16) podano w pracy autora [5].
NaleĪy dodaü, Īe wariancja Var ( N1 W *N ) spełnia nierównoĞü:
Var ( N1 W *N ) <
1
2N
m(m − 1)(2m − 3)δ (1 − δ ) .
(17)
Leszek Klukowski
Estymacja relacji porządku na podstawie porównaĔ parami
wskazujących kierunek preferencji z błĊdami losowymi
61
Z kolejnych zaleĪnoĞci Twierdzenia 1 wynikają nastĊpujące fakty:
• wartoĞü oczekiwana zmiennej losowej W *N , wyraĪającej sumĊ niezgodnoĞci miĊdzy
(k = 1, ..., N ; < i, j >∈ R m )
oraz wartoĞciami funkcji T ( xi , x j ) ,
jest mniejsza niĪ zmiennej W~ N , wyraĪającej
okreĞlającymi estymowaną relacjĊ
niezgodnoĞci z dowolną inną relacją χ~1 , ..., χ~ n~ (nierównoĞü (13));
• prawdopodobieĔstwo zachodzenia nierównoĞci {W *N < W~ N } dąĪy do jednoĞci, dla N→∞, przy
czym odjemna róĪnicy wystĊpującej po prawej stronie nierównoĞci (14), dąĪy wykładniczo do
zera;
• wariancja kaĪdej ze zmiennych W *N , W~ N dąĪy do zera, dla N→∞ (nierównoĞci (15) – (16)).
g k ( xi , x j )
porównaniami
χ 1* , ...,
χ *n ,
Z powyĪszych faktów wynika sposób konstrukcji estymatora relacji χ 1* , ..., χ *n – naleĪy
wyznaczyü taką postaü relacji χˆ 1 , ..., χˆ nˆ , która zapewnia najmniejszą wartoĞü zmiennej losowej
W N ( χˆ 1 , ..., χˆ nˆ ) . W celu wyznaczenia oceny naleĪy rozwiązaü zadanie programowania
dyskretnego o postaci:
min {
FX
N
t (ι ) ( xi , x j ) − g k ( xi , x j ) } ≡ min {
<i , j >∈Rm k =1
FX
N
(ι )
(ι )
U ij( k )( χ 1 , ..., χ r )},
(18)
< i , j >∈Rm k =1
gdzie:
F X – zbiór rozwiązaĔ dopuszczalnych (rodzina wszystkich relacji porządku na zbiorze X},
(ι )
(ι )
t (ι ) ( xi , x j ) – funkcja okreĞlająca relacjĊ χ 1 , ..., χ r ι-ty element zbioru F X .
Rozwiązanie zadania (18) zawsze istnieje, poniewaĪ jego zbiór rozwiązaĔ dopuszczalnych
jest skoĔczony. Liczba rozwiązaĔ moĪe byü wiĊksza niĪ jeden; postaü jednoznaczną moĪna
wówczas wybraü losowo. NaleĪy dodaü, Īe rozwiązania wielokrotne wykazują zwykle niewielkie
róĪnice.
NierównoĞü (14) umoĪliwia oszacowanie prawdopodobieĔstwa P (W *N < W~ N ) dla dowolnej
relacji χ~ , ..., χ~ ~ , przy załoĪeniu znajomoĞci prawdopodobieĔstwa błĊdu δ . W przypadku, gdy
1
n
nie jest ono znane moĪna je zastąpiü oceną.
5. Estymator oparty na medianie z porówna
W niniejszej czĊĞci rozwaĪa siĊ estymator relacji χ 1* , ..., χ *n oparty na własnoĞciach
zmiennych losowych U ij ,me, N ( χ 1 , ..., χ r ) , z których kaĪda jest medianą w zbiorze zmiennych
przy
załoĪeniu
nieparzystej
wartoĞci
N,
tj.
U ij(1) ( χ 1 , ..., χ r ), ..., U ij( N ) ( χ 1, ..., χ r ) ,
N = 2ν + 1 (ν = 0, 1, ..., ) . Mediana w zbiorze zawierającym wartoĞci binarne jest równa
wiĊkszoĞci (zer lub jednoĞci), tzn.:
62
POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZĄDZANIA WIEDZĄ
Seria: Studia i Materiały, nr 31, 2010
N
(k )
N
0 jesli k=1U ij ( χ 1 , ..., χ r ) < 2 ,
U ij ,me, N ( χ 1 , ..., χ r ) = N
1 jesli U ij( k ) ( χ , ..., χ ) > N .
1
r
2
k =1
(19)
Zmienne losowe U ij ,me, N ( χ 1 , ..., χ r ) odpowiadające relacji χ 1* , ..., χ *n bĊdą oznaczane
symbolem U *ij ,me, N , a zmienne odpowiadające relacji χ~1 , ..., χ~ n~ – symbolem U~ ij ,me, N .
PodstawĊ do konstrukcji estymatora stanowią zmienne losowe W me, N ( χ 1 , ..., χ r ) , W *me, N
oraz W~ me, N o postaci:
W me, N ( χ 1 , ..., χ r ) =
*
W me, N =
~
W me, N =
<i , j >∈R m
U *ij ,me , N
U ij ,me, N ( χ 1 , ..., χ r ) ,
(20)
,
(21)
<i , j >∈R m
<i , j >∈Rm
~
U ij ,me, N .
(22)
WłasnoĞci zmiennych W *me, N oraz W~ me, N stanowiące podstawĊ do konstrukcji
zawiera nastĊpujące
Twierdzenie 2. JeĞli spełnione są załoĪenia Z1 – Z3, to zachodzą zaleĪnoĞci:
E (W *me, N − W~ me, N ) < 0 ,
P (W *N < W~ N ) ≥ 1 − 2 λ N ,
lim Var (W *me, N ) = 0 ,
estymatora
(23)
(24)
(25)
N →∞
~
lim Var (W me, N ) = 0 ,
(26)
N →∞
gdzie:
2
λ N = exp{−2 N ( 12 − δ ) } .
(27)
Dowód zaleĪnoĞci (23) – (26) podano w pracy [5].
NaleĪy dodaü, Īe wariancja Var (W *me, N ) spełnia nierównoĞü ([5]):
Var (W *me, N ) < 12 m(m − 1)(2m − 3) λ N (1 − λ N ) .
(28)
Interpretacja zaleĪnoĞci (23) – (26) jest podobna do interpretacji zaleĪnoĞci (13) – (16)
z twierdzenia 1. Estymator χ 1 , ..., χ n , odpowiadający medianom U ij ,me, N ( χ 1 , ..., χ r ) , otrzymuje
siĊ na podstawie zadania optymalizacji dyskretnej:
min {
FX
<i , j >∈R m
t (ι ) ( xi , x j ) − g me, N ( xi , x j ) } ≡ min {
FX
<i , j >∈Rm
(ι )
(ι )
U ij , me, N ( χ 1 , ..., χ r )}.
(29)
Zadanie (29) ma analogiczną postaü do zadania (18), liczba jego rozwiązaĔ moĪe byü wiĊksza
niĪ jeden. Zadanie to ma N-krotnie mniejszą liczbĊ zmiennych niĪ zadanie (18), wymaga
mniejszego nakładu obliczeĔ.
Leszek Klukowski
Estymacja relacji porządku na podstawie porównaĔ parami
wskazujących kierunek preferencji z błĊdami losowymi
63
PowyĪsze wyniki nie rozstrzygają jednoznacznie problemu efektywnoĞci obu rozwaĪanych
estymatorów. Porównanie nierównoĞci (14) i (24) wskazuje na przewagĊ estymatora opartego na
sumie niezgodnoĞci. MoĪe ona wynikaü ze sposobu oszacowania wariancji estymatora opartego na
medianach z porównaĔ (zob. [5]), wymagającego zastosowania „zgrubnej” nierównoĞci
Czebyszewa dla wartoĞci oczekiwanej zmiennej losowej. Porównanie zbieĪnoĞci wariancji
Var ( N1 W *N ) oraz Var (W *me, N ) wskazuje na przewagĊ estymatora opartego na medianach
z porównaĔ. Z powyĪszych wzglĊdów zasadne jest zbadanie własnoĞci obu estymatorów w sposób
symulacyjny. Mogą one dostarczyü wiedzy szerszej niĪ oceny wariancji estymatorów,
w szczególnoĞci – oszacowania rozkładu błĊdów T ( xi , x j ) − tˆ( xi , x j ) oraz T ( xi , x j ) − t ( xi , x j )
( tˆ( xi , x j ), t ( xi , x j ) – funkcje odpowiadające ocenom χˆ 1 , ..., χˆ nˆ oraz χ 1 , ..., χ n ).
5. Podsumowanie
W pracy omówiono dwa estymatory relacji porządku oparte na porównaniach parami
z błĊdami losowymi, zaproponowane przez autora. Wymagają one na nieograniczających załoĪeĔ
nt. błĊdów porównaĔ:
• rozkłady błĊdów nie muszą byü znane, wystarczy, aby spełniały warunek:
prawdopodobieĔstwo poprawnego wyniku jest wiĊksze niĪ błĊdne;
• rozkłady porównaĔ par zawierających wspólny element (np. ( xi , x j ) oraz ( x j , x k ) ) nie
muszą byü niezaleĪne;
• liczba podzbiorów n nie musi byü znana.
Oceny postaci relacji mają dobre własnoĞci statystyczne, w szczególnoĞci okreĞlające
zbieĪnoĞü prawdopodobieĔstw P (W *N < W~ N ) , P (W *N ,me < W~ N ,me) oraz wariancji Var ( N1 W *N ) ,
Var (W *me, N ) . WłasnoĞci uzyskane w sposób analityczny wymagają poszerzenia metodami
symulacyjnymi, zwłaszcza rozkłady błĊdów estymacji. Oceny relacji otrzymywane są na
podstawie rozwiązaĔ zadaĔ programowania dyskretnego; prostszą postaü ma estymator oparty na
medianach z porównaĔ.
RozwiniĊcie rozwaĪanej koncepcji, na przypadek porównaĔ w postaci róĪnicy rang,
przedstawiono w pracy [7]. Zastosowano ją równieĪ do estymacji relacji równowaĪnoĞci
i tolerancji – zob. [3], [4], [6].
%LEOLRJUDILD
[1]
[2]
[3]
[4]
David H. A. (1988) The Method of Paired Comparisons, 2nd ed. Ch. Griffin, London.
Hoeffding W. (1963) Probability inequalities for sums of bounded random variables.
J. Amer. Statist. Assoc., vol. 58, pp. 13–30.
Klukowski L. (1990) Algorytm klasyfikacji prób w przypadku nieznanej liczby
generujących je zmiennych losowych. Przegląd Statystyczny R. XXXVII, str. 167–177.
Klukowski L. (2002) Estymacja relacji tolerancji na podstawie porównaĔ parami
z błĊdami losowymi. W:. Bubnicki Z., Hryniewicz O., Kulikowski R. (red.) Metody
i techniki analizy informacji i wspomagania decyzji, WSISiZ, IBS PAN, PTBOiS, EXIT,
Warszawa.
64
POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZĄDZANIA WIEDZĄ
Seria: Studia i Materiały, nr 31, 2010
[5]
[6]
[7]
[8]
Klukowski L. (1994) Some probabilistic properties of the nearest adjoining order method
and its extensions. Annals of Operational Research, vol. 51, pp. 241–261.
Klukowski L. (2007) Estimation of tolerance relation the basis of multiple pairwise
comparisons with random errors. Control and Cybernetics, 36, pp. 443–466.
Klukowski L. (2008) Estimation of the preference relation on the basis of multiple pairwise
comparisons in the form of differences of ranks. Control and Cybernetics 37.
Slater P. (1961) Inconsistencies in a schedule of paired comparisons. Biometrika, 48,
pp. 303–312.
Praca wykonana w ramach Projektu Badawczego Nr N N111434937 Min. Nauki i Szkolnictwa
WyĪszego
ESTIMATION OF THE PREFERENCE RELATION BASED ON PAIRWISE
COMPARISONS EXPRESSING DIRECTION OF PREFERENCE WITH RANDOM
ERRORS
Summary
The paper presents estimators of the preference relation in fnite set on the
basis of pairwise comparisons with random errors, under assumption of multiple
independent comparison of each pair of elements. The form of the estimators is
based on the idea of nearest adjoining order (Slater 1961), which produces
estimates minimizing differences between relation form and comparisons. Two forms
of the estimators are discussed: the first one is based on the sum of each pair
comparisons, the second – on medians from comparisons. The properties of
estimators are obtained on the basis of probabilistic inequalities.
Keywords: estimation of the preference relation, pairwise comparisons with random errors.
Leszek Klukowski
Instytut BadaĔ Systemowych PAN
Newelska 6, 01-447 Warszawa
e-mail: [email protected]