Równania fizyczne

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Równania fizyczne.
7. RÓWNANIA FIZYCZNE
7.1. Związki między stanem odkształcenia i naprężenia. I i II postać równań Hooke’a
Zależność deformacji bryły od obciążeń zewnętrznych narzuca istnienie zależności między
odkształceniami i naprężeniami. Będziemy się starali ustalić te zależności dla przestrzennych
stanów odkształcenia i naprężenia. Jest rzeczą powszechnie znaną, że konstrukcje o tej samej
geometrii, obciążeniach i więzach, wykonane z różnych materiałów, doznają różnych
deformacji więc jest oczywiste, że poszukiwane zależności muszą być oparte na
doświadczeniach.
σz
Z
σx
Wyobraźmy sobie dowolnie mały
sześcian o ściankach równoległych do
płaszczyzn układu współrzędnych i
poddajmy go działaniu naprężenia
σy
σy
σx,
równomiernie
normalnego
rozłożonego na dwóch przeciwległych
ściankach. Doświadczenia pokazują, że
Y
w przypadku materiału sprężystego i
izotropowego naprężenia te nie
wywołają
żadnych
odkształceń
σx
σz
kątowych sześcianu, a odkształcenia
X
liniowe będą miały wartości:
Rys. 7.1
εx =
σx
E
, ε y = ε z = − ν ε x = −ν
σx
E
gdzie: E oraz ν stałe materiałowe noszące odpowiednio nazwy moduł sprężystości (moduł
Younga) i liczba Poissona.
Jeżeli nasz sześcian poddamy działaniu jedynie naprężenia normalnego σ y , równomiernie
rozłożonego na dwóch przeciwległych ściankach to wywoła ono jedynie odkształcenia
liniowe:
εy =
σy
E
, ε x = ε z = − ν ε y = −ν
σy
E
.
I analogicznie, przy działaniu równomiernie rozłożonego naprężenia normalnego σ z ,
otrzymamy:
εz =
σz
E
, ε x = ε y = − ν ε z = −ν
σz
E
.
Nasuwa się teraz pytanie, czy w przypadku jednoczesnego działania tych trzech naprężeń
liniowe odkształcenia w danym kierunku będzie można przedstawić jako sumę algebraiczną
odkształceń przy oddzielnym działaniu tych naprężeń (tzn. jako dodanie do siebie efektów
trzech jednoosiowych stanów naprężenia). Odpowiedź na to pytanie jest pozytywna,
potwierdzają ją doświadczenia i formułuje zasada superpozycji:
skutek w określonym kierunku, wywołany przez zespół przyczyn działających
równocześnie jest równy algebraicznej sumie skutków wywołanych w tym kierunku
przez każdą z przyczyn działających oddzielnie.
Należy w tym miejscu podkreślić, że stosowalność zasady superpozycji ograniczona jest
dwoma warunkami:
60
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Równania fizyczne.
•
warunkiem proporcjonalności – wymagającym, aby poszczególne skutki były liniowo
zależne od przyczyn, które je wywołały,
• warunkiem niezależności działania – wymagającym, aby żaden ze skutków nie wpływał
na sposób działania pozostałych przyczyn.
Przyjęte przez nas założenia odnośnie materiału oraz małości przemieszczeń i odkształceń
prowadzą do spełnienia tych warunków.
Tak więc, wykorzystując zasadę superpozycji możemy zapisać:
1
σ x −ν σ y + σ z
E
1
εy =
σ y −ν (σ x + σ z )
E
1
εz =
σ z −ν σ x + σ y
E
[
[
[
εx =
(
(
)]
]
)]
(7.1)
Powyższe równania pokazują, że związki między odkształceniami liniowymi i naprężeniami
normalnymi określone są poprzez dwie stałe materiałowe E i ν. Do określenia związków
między odkształceniami kątowymi i naprężeniami stycznymi mogą również służyć te same
stałe. Aby tego dowieść rozważmy stan naprężenia określony macierzą :
0 0

Tσ =  0 σ
0 0

0 

0 .
− σ 
Jest to płaski stan naprężenia w płaszczyźnie (Y, Z) i - jak pokazano na rys. 7.2 - na
płaszczyznach nachylonych pod kątem 45 do osi (Y, Z) występują jedynie naprężenia styczne
τ = σ (por. przykład 5.4.2).
Z
σ
Y
εz 2
τ =σ
90 o − γ
σ
1
σ
Y
Y
Y
Odkształcenia liniowe w kierunkach
osi układu wynoszą:
1 +ν
εy =
σ
E
,
1 +ν
εz = −
σ
E
a kątowe jest rowne zeru.
γ
osi
Odkształcenie
kątowe
obróconych o kąt 45° wynoszą:
ε y −ε z
1 +ν
γ
=−
sin − 90 o =
σ ,
2
2
E
ale τ = σ stąd:
2 (1 + ν )
γ=
τ.
E
Oznaczając przez
E
G=
, ostatecznie możemy
2 (1 +ν )
(
εz 2
εy
2
σ
Y
1
εy
2
Rys. 7.2
)
zapisać związek między odkształceniem kątowym i naprężeniem stycznym w formie:
61
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Równania fizyczne.
γ=
τ
G
,
(7.2)
gdzie stała materiałowa G nazywana jest modułem ścinania lub Kirchhoffa albo modułem
sprężystośći poprzecznej.
Powracając do rozważanego na początku
sześcianu poddajmy go teraz kolejno działaniu
równomiernie rozłożonych naprężeń stycznych
pokazanych na rys. 7.3. W przypadku sprężystego
ciała izotropowego nie wywołają one odkształceń
liniowych a kątowe będą równe:
Z
τ zy
τ zx
τ yz
τ xz
τ yx
τ xy
X
γ xy =
Y
γ yz =
γ xz =
Rys. 7.3
τ xy
,
G
τ yz
,
G
τ xz
G
(7.3)
.
Równania (7.1) i (7.3) określające związki między odkształceniami i naprężeniami nazywają
się równaniami Hooke’a lub związkami konstytutywnymi lub fizycznymi. Tę postać równań
fizycznych w których odkszałcenia są funkcjami naprężeń nazwiemy I postacią równań
Hooke’a.
Ponieważ rozważamy materiały z załozenia izotropowe to występują w nich tylko dwie stałe
materiałowe które należy wyznaczyć doświadczalnie. Sposób ich wyznaczenia podany
zostanie w toku dalszych wykładów.
Udowodnimy teraz ważne twierdzenie: w ciele sprężystym i izotropowym kierunki naprężeń
głównych pokrywają się z kierunkami odkształceń głównych.
Dowód: niech osie X, Y i Z to osie głównych naprężeń. Jeśli tak to naprężenia styczne
τ xy = τ yz = τ zx = 0 a dalej z (7.3) γ xy = γ yz = γ zx = 0 co dowodzi, że te osie są osiami
odkształceń głównych.
Aby wyprowadzić związki między naprężeniami i odkształceniami należy odwrócić równania
(7.1) i (7.3). Odwrócenie tych drugich jest sprawą bardzo prostą. Pierwsze odwrócimy
kolejno wykonując:
(
)
Eεx = σ x −ν σ y + σ z ,
E ε y = σ y − ν (σ x + σ z ) ,
(
)
Eεz = σ z −ν σ x + σ y .
Dodanie stronami tych trzech równań daje zależność:
(σ x + σ y + σ z ) = 1 −E2ν (ε x + ε y + ε z ).
(7.4)
Przekształcamy pierwsze równanie dodając i odejmując po prawej stronie:
(
)
E ε x = σ x − ν σ y + σ z −ν σ x + ν σ x
(
→ E ε x = (1 +ν )σ x − ν σ x + σ y + σ z
Wstawienie (7.4) daje:
62
)
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Równania fizyczne.

E 
ν
ε x + ε y + ε z  i postępując analogicznie z następnymi naprężeniami
εx +

1 +ν 
1 − 2ν

normalnymi dostajemy równania wiążące je z odkształceniami liniowymi.
(
σx =
)
II postać równań fizycznych Hooke’a :


ν
ε x + 1 − 2ν ε x + ε y + ε z 


σx =
E
1 +ν
σy=

E 
ν
εx + εy + εz 
εy +

1 +ν 
1 − 2ν

σz =
E
1 +ν
(
)
(
)
(7.5)


ν
ε z + 1 − 2ν ε x + ε y + ε z 


(
)
τ xy = G γ xy , τ yz = G γ yz , τ zx = G γ zx
7.2. III postać równań Hooke’a - prawo zmiany objętości i prawo zmiany postaci
Przyjmijmy na mocy definicji:
ε m def
εx +εy +εz
, σ m def
σ x +σ y +σ z
(7.6)
3
3
=
jako odkształcenie średnie i naprężenie średnie. Przy tych oznaczeniach wzór (7.4) możemy
zapisać w formie:
=
σ m = 3K εm
(7.7)
E
jest stałą materiałową i nazywana jest modułem objętościowej
3 (1 − 2ν )
ściśliwości sprężystej lub modułem Helmholtza.
Dokonajmy rozkładu macierzy naprężeń na dwie części
gdzie: K =
Τσ
σ x

 τ yx

 τ zx
τ xy
σy
τ zy
=
Ασ
+
Dσ
σ x − σ m
0 
τ xz   σ m 0
τ xy
τ xz 
 



τ yz  =  0 σ m 0  +  τ yx
σ y −σm
τ yz 

σ z   0
0 σ m 
τ zy
σ z − σ m 
 τ zx
gdzie:
Ασ - aksjator naprężeń, Dσ - dewiator naprężeń;
i analogicznie macierzy odkształceń:
Τε
=
Αε
+
Dε
63
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Równania fizyczne.
 εx

 12 γ yx
1
 2 γ zx
1
γ
2 xy
εy
1
γ
2 zy
1
γ
2 xz
1
γ
2 yz
εz
 ε m
 
 = 0
 
  0
0
εm
0
1γ
1γ
0
ε x − ε m

2 xy
2 xz 


1
1
γ
0  +  2 γ yx ε y − ε m

2 yz


1
1
γ
ε z − ε m 
ε m   2 γ zx
2 zy
gdzie:
Αε - aksjator odkształceń, Dε - dewiator odkształceń.
Łatwo sprawdzić, że zachodzą poniższe związki między aksjatorami i dewiatorami naprężeń i
odkształceń:
Ασ = 3K Αε ,
(7.8)
Dσ = 2 G Dε ,
(7.9)
które stanowią III postać równań Hooke’a i noszą nazwy prawa zmiany objętości i prawa
zmiany postaci.
Uzasadnienie tych nazw nie jest trudne. Działanie aksjatora naprężeń wywołuje jedynie
zmianę objętości, a odkształcenia postaciowe są równe zeru. Natomiast pod działaniem
dewiatora naprężeń powstają odkształcenia postaciowe, a suma odkształceń liniowych na
przekątnej dewiatora odkształceń jest równa zeru, co dowodzi, że nie ma zmiany objętości.
Wróćmy jeszcze do równania (7.7). Wykorzystując, że zmiana objętości jest równa:
D = ε x + ε y + ε z = 3ε m ,
możemy zapisać:
D =3
1 − 2ν
σm.
E
1
.
2
Maksymalna zmiana objętości będzie zachodzić dla materiału którego ν = 0 , materiał
1
którego ν = jest nieściśliwy. Guma ma liczbę Poissona bliską 0.5, a korek bliską 0.
2
Jeśli σ m > 0 , to oczywiście D>0, a więc musi zachodzić: 1-2ν > 0, czyli ν ≤
7.3. Przykłady
Przykład 7.3.1. Jakie obciążenie sześcianu o boku a wykonanego z materiału spełniającego
równania Hooke’a, powoduje przemieszczenia dowolnego jego punktu określone funkcjami:
Z
u = − C x,
v= −C y,
w= − C z,
Y
a
jeśli stałe materiałowe są równe E i ν.
a
X
64
a
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Równania fizyczne.
Rozwiązanie
Z równań Cauchy’ego łatwo wyznaczyć, że odkształcenia liniowe są równe
ε
x
= ε
y
= ε
z
= − C
a odkształcenia kątowe równają się zeru
γ xy = γ xz = γ zy = 0
Odpowiadające im współrzędne tensora naprężeń są równe
σ x = σ y = σ z = − BC
τ xy = τ xz = τ zy = 0
gdzie : B =
E
(1− 2ν )
.
Obciążenie ścianek sześcianu wyznaczymy ze statycznych warunków brzegowych.
Ścianki x = ± a 2 , współrzędne wersora normalnego zewnętrznego l = ± 1, m = n = 0 .
q vx = m BC , q vy = q vz = 0 .
Ścianki y = ± a 2 , współrzędne wersora normalnego zewnętrznego m = ± 1, l = n = 0 .
q vy = m BC , q vx = q vz = 0 .
Ścianki z = ± a 2 , współrzędne wersora normalnego zewnętrznego n = ± 1, l = m = 0 .
q vz = m BC , q vx = q vy = 0 .
Tak więc ścianki sześcianu obciążone są równomiernie rozłożonym obciążeniem ściskającym
o intensywności BC.
Przykład 7.3.2. Dane są funkcje przemieszczeń w konstrukcji wykonanej z materiału
liniowo sprężystego:
u = (5 + 0.1xy ) * 10 −4 m, v = ( y − 0.1xy ) * 10 −4 m,
(
)
w = x 2 − z 2 * 10 −4 m,
wyznaczyć macierz odkształceń i naprężeń w punkcie A (− 1, 2, 1) m, jeśli moduł Younga
E = 205 GPa i liczba Poissona ν = 0.3.
Rozwiązanie
Z równań geometrycznych Cauchy’ego wyznaczymy funkcje odksztaceń a po wstawieniu do
nich wspólrzędnych punktu A otrzymamy wartości występujących w nim odkształceń:
∂u
∂v
= 0.1 y * 10 −4 = 0.2 * 10 −4 , ε y =
= (1.0 − 0.1x ) * 10 − 4 = 1.1 * 10 − 4 ,
∂x
∂y
∂w
εz =
= −2 z * 10 − 4 = −2.0 * 10 −4 ,
∂z
εx =
65
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Równania fizyczne.
γ xy =
∂u ∂v
+
= (0.1x − 0.1 y ) * 10 −4 = −0.3 * 10 − 4 ,
∂y ∂x
γ xz =
∂u ∂ w
∂v ∂w
+
= 2 x * 10 −4 = −2.0 * 10 − 4 , γ yz =
+
= 0.
∂w ∂x
∂z ∂y
Macierz odkształceń ma postać:
 εx

Tε =  12 γ yx
1
 2 γ zx
1
γ
2 xy
εy
1
γ
2 zy
1
γ
2 xz
1
γ
2 yz
εz
  0 .2
− 0.15 − 1.0 
 

1 .1
0  * 10 − 4 .
 =  − 0.15
 
0
− 2.0 
  − 1 .0
Naprężenia wyznaczymy korzystając z II postaci równań Hooke’a:
σx =

E 
ν
εx + εy + εz  =
εx +

1 +ν 
1 − 2ν

(
)

205 *10 9 
0.3
(0.2 + 1.1− 2.0) *10 −4 = −5.125 MPa,
=
0.2 +

1 + 0.3 
1 − 2 * 0.3

σy=


ν
ε y + 1 − 2ν ε x + ε y + ε z  =


E
1 +ν
(
)

205 *10 9 
0.3
(0.2 + 1.1 − 2.0) *10 −4 = 9.067 MPa,
=
1.1 +

1 + 0.3 
1 − 2 * 0.3

σz =
E
1 +ν


ν
ε x + 1 − 2ν ε x + ε y + ε z  =


(
)

205 *10 9 
0.3
(0.2 + 1.1− 2.0) *10 −4 = −39.817 MPa,
=
− 2.0 +

1 + 0.3 
1 − 2 * 0.3

τ xy = G γ xy
205 *10 9
=
(− 0.3) *10 −4 = −2.365 MPa,
2(1 + 0.3)
τ xz = G γ xz =
205 *10 9
(− 2.0) *10 −4 = −15.769 MPa, τ yz = G γ yz = 0 .
2(1 + 0.3)
Macierz naprężeń przedstawia się więc następująco:
 σ x τ xy τ xz   − 5.125 − 2.365 − 15.769 

 

0
Tσ = τ yx σ y τ yz  =  − 2.365 9.067
 MPa.

 
0
− 39.817 
 τ zx τ zy σ z   − 15.769
66