Stany naprężeń

Wytrzymałość
materiałów
Stany naprężeń i odkształceń
1
Definicja naprężeń
Mamy bryłę materialną
obciążoną układem sił (siły
zewnętrzne, reakcje),
będących w równowadze.
Rozetniemy myślowo tę
bryłę na dwie części
przekrojem α-α .
Jeżeli bryła jest w spoczynku,
to zewnętrzne oddziaływania
muszą być w stanie
równowagi statycznej.
α
q
P
P
P
α
2
Definicja naprężeń
Oddziaływanie odciętego fragmentu modeluje
obciążenie przyłożone w sposób ciągły do
płaszczyzny α-α, nazywane naprężeniami
naprężeniami..
q
P
P
q
P
3
Definicja naprężeń
Na powierzchniach fragmentu bryły także zlokalizowane są naprężenia i
przedstawiają one oddziaływanie bryły na ten fragment.
naprężenia
4
Oznaczenia naprężeń
Jeżeli wytniemy prostopadłościan o wymiarach dążących do zera, to
możemy przyjąć, że naprężenia na powierzchniach tego fragmentu są stałe
i można je przedstawić w formie trzech obciążeń o kierunkach wzajemnie
do siebie prostopadłych: kierunek prostopadły do powierzchni i dwa
kierunki wzajemnie do siebie prostopadłych, ale równoległe do powierzchni.
5
Oznaczenia naprężeń
Naprężenia są oznaczane w następujący sposób: naprężenia prostopadłe do
ścian literą σ, naprężenia równoległe σ lub τ. Pierwszy indeks oznacza
położenie czyli oznaczenie osi prostopadłej do danej powierzchni, a drugi
indeks oznacza kierunek wektora naprężenia czyli oznaczenie osi
równoległej do wektora naprężenia:
lub częściej
6
Tensor naprężeń
Naprężenia, działające na element o nieskończenie małych wymiarach,
zestawia się w macierz, która nosi nazwę tensora stanu naprężeń
wygląda w następujący sposób:
σ xx

σ =  τ yx
 τ zx

τ xy
σ yy
τ zy
σa
τ xz 

τ yz 
σ zz 
a naprężenia σii i τij są nazywane
składowymi tensora naprężeń. Powyższa
macierz jest macierzą symetryczną czyli
σ= σΤ oraz τij= τji
7
Definicje odkształceń
Pod wpływem zewnętrznych
obciążeń następuje
przesunięcie elementu oraz
zmiana jego postaci. Prostokąt
ABCD zmienia się w
równoległobok A’B’C’D
A’B’C’D’.
’.
Punkt A przesuwa się o
wektor:
[
AA' = u x , u y
]
Natomiast zmiana położenia
pozostałych punktów jest sumą
przesunięcia punktu A,
wydłużenia się elementu oraz
obrotu boków elementu.
8
Definicje odkształceń
Zmiana położenia punktu B może być
opisana wektorem
∂u y 

∂u x
dx, u y +
dx 
BB' = u x +
∂x
∂x 

gdzie:
∂u x
średnie odkształcenie elementu
∂x
∂u x
wydłużenie elementu na
dx długości dx
∂x
∂u y
= tg (α ) = α kąt obrotu boku
∂x
prostokąta
∂u y
dx przesunięcie punktu B
spowodowane obrotem boku
∂x
o długości dx
9
Definicje odkształceń
Zmiana położenia punktu B może być
opisana wektorem
∂u y 

∂u x
dy, u y +
dy 
CC' = u y +
∂y
∂y


gdzie:
∂u y
∂y
∂u y
dy
średnie odkształcenie elementu
wydłużenie elementu na
długości dy
∂y
∂u x
= tg (β ) = β kąt obrotu boku
∂y
prostokąta
∂u x
dy przesunięcie punktu C
spowodowane obrotem boku
∂y
o długości dy
10
Definicje odkształceń
Odkształcenia podłużne (względne)
jest to stosunek wydłużenia do
pierwotnej długości czyli:
ε xx =
A' B' − AB
AB
AB = dx
A' B' = AB' − AA' =
∂u x
∂u
dx − u x = dx + x dx
∂x
∂x
∂u
dx + x dx − dx
∂u x
∂
x
=
ε xx =
dx
∂x
= dx + u x +
11
Definicje odkształceń
Odkształcenia podłużne (względne)
jest to stosunek wydłużenia do
pierwotnej długości czyli:
ε yy =
A' D' − AD
AD
AD = dy
A' D' = AD' − AD' =
= dy + u y +
∂u y
dy − u y = dy +
∂y
∂u y
dy +
dy − dy
∂u y
∂y
ε yy =
=
dy
∂y
∂u y
∂y
dy
12
Definicje odkształceń
Odkształcenie postaciowe jest to połowa
kąta o który zmieni się kąt prosty BAD :
∂u y
1
γ xy = (α + β )
2
= tg (α ) = α
∂x
∂u x
= tg (β ) = β
∂y
kąt obrotu boku
prostokąta AB
kąt obrotu boku
prostokąta AD
1  ∂u y ∂u x 

γ xy = 
+
2  ∂x
∂y 
13
Tensor odkształceń
Odkształcenia elementu, wywołane działaniem naprężeń, zestawia się w
macierz, która nosi nazwę tensora stanu odkształceń ε a wygląda w
następujący sposób:
a naprężenia εii i γij są nazywane
 ε xx γ xy γ xz 
składowymi tensora odkształceń. Powyższa


ε =  γ yx ε yy γ yz 
macierz jest macierzą symetryczną czyli
 γ zx

γ zy
ε zz 
ε= εΤ oraz γij= γji
Definicje odkształceń w przestrzeni:
odkształcenia podłużne
odkształcenia postaciowe
1  ∂u y ∂u x 
∂u x

γ xy = 
+
ε xx =
2  ∂x
∂y 
∂x
∂u y
1  ∂u
∂u 
ε yy =
γ yz =  y + z 
∂y
2  ∂z
∂y 
∂u
1  ∂u ∂u 
ε zz = z
γ xz =  z + x 
∂z
2  ∂x
∂z 
γ xy = γ yx
γ yz = γ zy
γ xz = γ zx
14
Równanie konstytutywne
Równania konstytutywne są to równania opisujące
zależności pomiędzy naprężeniami i odkształceniami.
σ xx

σ =  τ yx
 τ zx

τ xy
σ yy
τ zy
τ xz 

τ yz 
σ zz 
?
 ε xx

ε =  γ yx
 γ zx

γ xy
ε yy
γ zy
γ xz 

γ yz 
ε zz 
Równania te zależą od rodzaju materiału oraz stadium
pracy konstrukcji (sprężysta, plastyczna) i zawierają
odpowiednie stałe materiałowe.
15
Równanie konstytutywne
dla sprężystych ciał izotropowych
Materiały izotropowe to są takie materiały, które mają takie same własności
w każdym kierunku, np. stal, beton. Materiałem izotropowym nie jest
drewno.
Na podstawie badań stwierdzono, że w przypadku niektórych materiałów
można stwierdzić, że w pewnym zakresie pracy materiału istnieje liniowa
zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami .
Wykres próby rozciągania, na którym
zaznaczona jest granica sprężystości RH.
W strefie pracy sprężystej w jednoosiowej
próbie rozciągania zależność pomiędzy
odkształceniami i naprężeniami można
zapisać jako:
σ = Eε
16
Odkształcenia w jednoosiowym
stanie rozciągania
Jeżeli następuje wydłużenie wzdłuż osi x, to w kierunkach prostopadłych
następuje zwężenie
Odkształcenie
Odkształcenie
poprzeczne
podłużne
d1 − d
ε '=
d
∆l
ε=
l
Współczynnik Poissona
– stosunek odkształcenia poprzecznego
do odkształcenia podłużnego
ε'
ν =−
ε
Odkształcenia podłużne przy działaniu naprężeń w jednym kierunku:
ε xx =
∂u x
∂x
ε yy = −νε xx
ε zz = −νε xx
17
Zestawienie odkształceń
podłużnych
Zestawienie odkształceń podłużnych w przestrzennym stanie naprężeń
σ xx
E
σ
ν
ε yy = −νε xx = −ν xx = − σ xx
E
E
ε xx =
ε yy =
σ yy
E
σ yy
ν
ε xx = −νε yy = −ν
= − σ yy
E
E
σ zz
E
σ
ν
ε xx = −νε zz = −ν zz = − σ zz
E
E
ε zz =
naprężenia działają wzdłuż osi x
ε zz = −νε xx = −ν
σ xx
ν
= − σ xx
E
E
naprężenia działają wzdłuż osi y
ε zz = −νε yy = −ν
σ yy
E
=−
ν
σ yy
E
naprężenia działają wzdłuż osi z
σ
ν
ε yy = −νε zz = −ν zz = − σ zz
E
E
18
Zestawienie odkształceń
podłużnych
Odkształcenia od działania naprężeń normalnych w trzech kierunkach
będzie sumą odkształceń od poszczególnych naprężeń czyli
ε xx =
ε yy =
ε zz =
σ xx
E
σ yy
E
σ zz
E
ε xx = −
ν
σ yy
E
ε xx = −
ν
σ zz
E
ε xx =
ε yy = −
ν
σ xx
E
ν
ε yy = − σ zz
E
ε yy =
ε zz = −
ν
σ xx
E
ε zz = −
ν
σ yy
E
ε zz =
lub w formie
[
[
[
]
]
]
1
σ xx − ν (σ yy + σ zz )
E
1
ε yy = σ yy − ν(σ xx + σ zz )
E
1
ε zz = σ zz − ν (σ xx + σ yy )
E
ε xx =
σ xx ν
ν
− σ yy − σ zz
E E
E
σ yy
E
−
ν
ν
σ xx − σ zz
E
E
σ zz ν
ν
− σ xx − σ yy
E E
E
19
Zestawienie odkształceń
postaciowych
Tak jak w przypadku odkształceń podłużnych na podstawie badań
stwierdzono zakres pracy materiału, który nazywany jest sprężystym i w
odniesieniu do którego można zapisać:
2 γ xy =
2 γ yz =
2 γ xz =
τ xy
G
τ yz
G
τ xz
G
W przypadku odkształceń postaciowych nie ma sprzężenia pomiędzy
odkształceniami w stanie przestrzennym. Odkształcenia postaciowe
ostateczne zależą tylko od naprężeń stycznych, działających w płaszczyźnie
20
zmiany kąta odkształcenia postaciowego.
Równania konstytutywne
w formie analitycznej
Zależności
Odkształcenia--naprężenia
Odkształcenia
1
ε xx = σ xx − ν (σ yy + σ zz )
E
1
ε yy = σ yy − ν(σ xx + σ zz )
E
1
ε zz = σ zz − ν (σ xx + σ yy )
E
γ xy =
γ yz =
γ xz =
[
[
]
]
[
]
Zależności
naprężenia--odkształcenia
naprężenia
E 
ν

(
)
σ xx =
ε
+
ε
+
ε
+
ε
xx
xx
yy
zz

1 + ν 
1 − 2ν
E 
ν

(
)
σ yy =
ε
+
ε
+
ε
+
ε
yy
xx
yy
zz 
1 + ν 
1 − 2ν

E 
ν

(
)
σ zz =
ε
+
ε
+
ε
+
ε
zz
xx
yy
zz 
1 + ν 
1 − 2ν

τ xy
τ xy = 2Gγ xy
2G
τ yz
τ yz = 2Gγ yz
2G
τ xz = 2Gγ xz
τ xz
2G
21
Stałe materiałowe
W równaniach konstytutywnych występują stałe materiałowe:
E – moduł Younga, moduł sprężystości podłużnej
G – moduł Kirchoffa,
Kirchoffa, moduł sprężystości postaciowej
ν – współczynnik Poissona
G=
Wszystkie powyższe parametry łączy zależność:
E
2(1 + ν )
W przypadku zapisu równań konstytutywnych za pomocą rachunku
tensorowego dochodzą dwie stałe λ i µ, nazywane stałymi Lamego.
Lamego.
Pomiędzy stałymi Lamego a wyżej wymienionymi stałymi istnieją
zależności:
µ=G
2ν G
λ=
1 − 2ν
22
Równania konstytutywne
w formie analitycznej
Składowe tensorów naprężeń i odkształceń można zapisać w formie
wektorów:
σ xx 
σ 
σ xx τ xy τ xz 
 yy 


 σ zz 
σ =  τ yx σ yy τ yz 
σ= 
 τ xy 
 τ zx τ zy σ zz 
 τ xz 


 
τ xy = τ yx τ yz = τ zy τ xz = τ zx
 τ yz 
 ε xx

ε =  γ yx
 γ zx

γ xy
ε yy
γ zy
γ xz 

γ yz 
ε zz 
γ xy = γ yx γ yz = γ zy γ xz = γ zx
ε xx 
ε 
 yy 
 ε zz 
ε= 
 γ xy 
 γ xz 
 
 γ yz 
23
Równania konstytutywne
w formie analitycznej
Zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami można zapisać w
formie:
σ = Dε
gdzie:
σ xx 
σ 
 yy 
 σ zz 
σ= 
 τ xy 
 τ xz 
 
 τ yz 
stałe Lamego
λ + 2 µ
 λ

 λ
D=
 0
 0

 0
µ=G
λ=
λ
λ
λ
λ + 2µ
λ
λ + 2µ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
µ
0
0
0
0
0
0
2ν G
1 − 2ν
µ
0
0
0 
0

0
0

µ 
ε xx 
ε 
 yy 
 ε zz 
ε= 
 γ xy 
 γ xz 
 
 γ yz 
24
Równania konstytutywne
w formie analitycznej
Zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami można zapisać w
formie:
σ = Dε
gdzie:
σ xx 
σ 
 yy 
 σ zz 
σ= 
 τ xy 
 τ xz 
 
 τ yz 
stałe Lamego
λ + 2 µ
 λ

 λ
D=
 0
 0

 0
µ=G
λ=
λ
λ
λ
λ + 2µ
λ
λ + 2µ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
µ
0
0
0
0
0
0
2ν G
1 − 2ν
µ
0
0
0 
0

0
0

µ 
ε xx 
ε 
 yy 
 ε zz 
ε= 
 γ xy 
 γ xz 
 
 γ yz 
25
Płaski stan naprężenia
Płaski element, którego grubość jest znacznie mniejsza od dwóch
pozostałych, obciążony tylko w swojej płaszczyźnie nazywany jest tarczą. W
takiej sytuacji na powierzchni elementu nie ma obciążeń, a więc nie ma
naprężeń czyli naprężenia, które mają jeden z indeksów „z”, są równe zero.
Taki stan naprężeń nazywany jest płaskim stanem naprężeń (PSN).
Tarcza obciążona tylko w
swojej płaszczyźnie.
Płaski stan naprężenia (PSN)
W płaskim stanem naprężeń (PSN), jeżeli tarcza jest w płaszczyźnie xy,
xy, to
następujące naprężenia są równe zero:
σ zz = 0
τ yz = τ zy = 0
τ xz = τ zx = 0
a tensor naprężeń przyjmuje formę
Naprężenia różne od
zera w przestrzeni
σ xx
σ =  τ yx
 0
Naprężenia różne od zera na
płaszczyźnie tarczy
τ xy
σ yy
0
0
0
0
Płaski stan naprężenia (PSN)
Ponieważ następujące naprężenia są równe zero:
σ zz = 0
τ yz = τ zy = 0
τ xz = τ zx = 0
to równania konstytutywne przyjmują formę:
1
1
ε
=
σ xx − νσ yy
xx
ε xx = σ xx − ν (σ yy + 0 )
E
E
1
1
ε
=
σ yy − νσ xx
yy
ε yy = σ yy − ν(σ xx + 0 )
E
E
ν
(σ xx + σ yy )
ε
=
−
zz
1
E
ε zz = 0 − ν (σ xx + σ yy )
τ xy
E
γ
=
xy
τ xy
2G
γ xy =
2G
czyli tensor odkształceń przyjmuje formę
0
γ yz =
 ε xx γ xy 0 
2G
γ

0
ε
0
=
ε
γ xz =
yx
yy


2G
[
[
]
]
[
]
[
[
]
]
 0
0
ε zz 
Płaski stan odkształcenia
W przypadku budowli, których wymiary są we wszystkich kierunkach
podobne, można wyciąć płaski element. Na ten płaski element działają
pozostałe części bryły, które nie pozwalają na odkształcenia w kierunku
prostopadłym do tarczy. W takiej sytuacji na powierzchni elementu
odkształcenia są równe zero. Taki stan naprężeń nazywany jest płaskim
stanem odkształceń (PSO).
Bryła
Wycięta tarcza
Płaski stan odkształcenia
(PSO)
W płaskim stanem odkształcenia (PSO), jeżeli tarcza jest w płaszczyźnie xy,
xy,
to następujące odkształcenia są równe zero:
ε zz = 0
γ yz = γ zy = 0
γ xz = γ zx = 0
a tensor odkształceń przyjmuje formę
 ε xx
ε =  γ yx
 0
γ xy
ε yy
0
0
0
0
Natomiast naprężenia wynoszą:
ν
E 

(
)
ε
+
ε
+
ε
+
0
xx
xx
yy

1 + ν 
1 − 2ν
E 
ν

(
)
σ yy =
ε
+
ε
+
ε
+
0
yy
xx
yy

1 + ν 
1 − 2ν
E 
ν

(
)
σ zz =
0
+
ε
+
ε
+
0
xx
yy

1 + ν  1 − 2ν
σ xx =
τ xy = 2Gγ xy
τ yz = 2G ⋅ 0
τ xz = 2G ⋅ 0
Tensor naprężeń:
σ xx
σ =  τ yx
 0
τ xy
σ yy
0
0 
0 
σ zz 
Porównanie PSO i PSN
Płaski stan naprężenia
PSN
Tensor stanu
naprężeń:
Tensor stanu
odkształceń:
Płaski stan naprężenia
PSO
σ xx
σ =  τ yx
 0
τ xy
σ yy
0
0
0
0
σ xx
σ =  τ yx
 0
τ xy
σ yy
0
0 
0 
σ zz 
 ε xx
ε =  γ yx
 0
γ xy
ε yy
0
0
0 
ε zz 
 ε xx
ε =  γ yx
 0
γ xy
ε yy
0
0
0
0
Porównanie PSO i PSN
Przykład obliczeniowy:
Tarcza obciążona siłami
skupionymi o wartości
10kN, zamocowana na
dole.
Zadanie rozwiązane zostało
metodą elementów
skończonych w PSN i PSO.
Uwaga: w PSO obliczenia wykonuje
się w odniesieniu do grubości o
wartości 1 i dlatego nie przyjmuje
się grubości.
Porównanie PSO i PSN
Porównanie PSO i PSN
Porównanie PSO i PSN
Jak widać naprężenia mają
podobny rozkład, ale różnią
się wartościami.
Natomiast
najważniejszą
różnicą jeżeli chodzi
o naprężenia jest, to
że:
σzz=0 dla PSN
a σzz≠0 dla PSO.
Koniec
36