Podstawy rachunku wektorowego

WPPT Matematyka, rok III / Ćwiczenia rachunkowe do wykładu prof. K. Weron
Lista 3 / Dynamika
1. Cząstka o masie m  3kg porusza się pod wpływem
(czas w sekundach). Przyjmując warunki początkowe
położenie i prędkość cząstki w funkcji czasu.
deterministyczna? Patrz zadanie 2.

siły zależnej od czasu F  ( 15t, 3t-12, -6t 2 )


r0  ( 5,2,3 )m oraz v 0  ( 2,0,1 )m / s , znajdź
Czy mechanika klasyczna jest w pełni
2. Rozważmy doskonale sprężystą kulę odbijającą się pomiędzy idealnie sztywnymi ścianami A i B
odległymi o L  1m . Kula porusza się po osi X ruchem jednostajnym (brak oporów). Niech prędkość
początkowa (przy ścianie A) będzie określona z pewną dokładnością jako v 0   v gdzie
v 0  1m/s, δv  0.3m/s. Jaki jest błąd położenia kuli pomiędzy ścianami z upływem czasem?
Pouczające.
3. Wychodząc z różniczkowych równań ruchu Newtona i odpowiednich warunków początkowych
znajdź parametryczne równanie toru ciała rzuconego w próżni pod kątem  do powierzchni Ziemi z
niezbyt dużą prędkością początkową v 0 . Określ tor ruchu ciała, jego prędkość oraz przyspieszenie
styczne i normalne w dowolnym punkcie toru. Wyznacz zasięg rzutu i maksymalną wysokość. Dla
jakiej wartości kąta  zasięg (przy ustalonej prędkości) będzie maksymalny?
4. *Rozpatrzyć zagadnienie rzutu ukośnego przy powierzchni Ziemi, gdy na poruszające się ciało
działa dodatkowo siła oporu proporcjonalna do prędkości. Znajdź rozwiązania równania ruchu,
wysokość maksymalną i czas jej osiągnięcia. Przedyskutuj przypadek, gdy siła oporu jest znacznie
mniejsza od ciężaru ciała (porównaj z zadaniem 3).
5. Ciało o masie m spada w polu grawitacyjnym Ziemi z niezbyt dużej wysokości. Działa na nie


dodatkowo siła oporu powietrza R  -bv , gdzie b  0 jest stałą charakteryzującą opór ośrodka
(przypadek małych prędkości). Napisz równanie ruchu ciała, znajdź jego prędkość i przebytą drogę
po czasie t od chwili rozpoczęcia ruchu. Rozważ granice t  m / b oraz t   .
6. Samochód o masie m hamowany jest siłą oporu proporcjonalną do kwadratu prędkości F  -bv 2
(przypadek większych prędkości). Znajdź jego prędkość i drogę w funkcji czasu. Przyjmij warunki
początkowe v(0)  v 0 , s(0)  0 .
7. *Rozwiązać równania ruchu cząstki o masie m i ładunku q, która porusza się w równoległych,


przeciwnie skierowanych polach elektrycznym i magnetycznym. Przyjąć E  (-E, 0,0 ) , B  (B, 0,0 ) ,


v(0)  (v 0 x , v 0 y ,0 ) oraz r (0)  ( 0,0,0).
8. Dwa ciężarki o równych masach m1  m2  1kg związane nieważką i nierozciągliwą nicią leżą na
idealnie gładkim stole. Do pierwszego z nich przyłożono siłę F  1kG . Znajdź siłę napięcia nici i
przyspieszenie ciężarków. Przyjąć, że nić jest przez cały czas napięta.
9. Punkt materialny o masie m znajduje się na zboczu w kształcie paraboli o równaniu y  ax 2 , gdzie
a  0 . Współczynnik tarcia jest równy f. Znajdź maksymalną wysokość na której ciało będzie
pozostawać w spoczynku.
10. Ciało o masie m zsuwa się po równi pochyłej o masie M i kącie nachylenia  . Z jakim
przyspieszeniem równia będzie przesuwać się po powierzchni stołu? Zaniedbaj jakiekolwiek tarcie.
11. * Na brzegu idealnie gładkiego stołu leży sznur tak, że ¼ jego długości zwisa pionowo w dół. Znajdź
czas, po którym cały sznur spadnie ze stołu, jeżeli w chwili początkowej t  0 jego prędkość jest
równa zero, a całkowita długość sznura wynosi l.