Zestaw V Wstęp do matematyki wyższej (cz. 2)

Zestaw V
Wstęp do matematyki wyższej (cz. 2)
Andrzej Syrwid, Jan Major, Piotr Sierant
e-mail: [email protected]
http://www.fais.uj.edu.pl/dla-szkol/
warsztaty-z-fizyki/szkoly-ponadgimnazjalne
21 października 2015 r.
Zadanie 1.
Maszyna Atwooda to układ dwóch mas m1 i m2 połączonych nierozciągliwą i nieważką
nicią przerzuconą przez nieważki bloczek, układ znajduje się w jednorodnym polu grawitacyjnym o natężeniu ~g skierowanym pionowo w dół.
Znajdź przyspieszenie mas a oraz siłe T z jaką bloczek działa na sufit.
Przeanalizuj wzór na siłę naciągu nici – mówi on, że całą maszynę można traktować jako
ciało punktowe o pewnej masie efektywnej mef f – jaka to jest masa?
Zadanie 2. Rozważ podwójną maszynę Atwooda. Znajdź przyspieszenie masy m1 oraz siłę T z jaką bloczek
działa na sufit. Znajdź związek pomiędzy przyspieszeniami ciał m1 , m2 i m3 wynikający z nierozciągliwości łączących
ich nici.
Wskazówka: Wykorzystaj rozwiązanie zadania poprzedniego.
Zadanie 3.
Rozważ nieskończoną maszynę Atwooda, w której kolejne podwieszone masy zmieniają
się w postępie geometrycznym: m1 “ m, m2 “ αm, m3 “ α2 m, ..., mk “ αk m, ... Znajdź
przyspieszenie masy m1 .
Wskazówka: Wykorzystaj technikę traktowania częsci maszyny jako ciała punktowego
o pewnej masie efektywnej.
Zadanie 4.
Trzy kulki o masach 3m, m i 2m wiszą na gumkach jak na rysunku. Oblicz przyspieszenia,
jakie uzyskają kulki natychmiast po przecięciu środkowej gumki. Zaniedbaj masy gumek.
Zadanie 5.
Dwa samochody jadą równolegle po torze wyścigowym z prędkością v. W pewnym momencie kierowca jednego z samochodów przyspieszył do prędkości 2v. Praca wykonana przez
silnik samochodu to
W1 “ ∆Ekin “
1
1
3
m p2vq2 ´ mv 2 “ mv 2 .
2
2
2
(1)
Z punktu widzenia kierowcy drugiego samochodu, pierwszy samochód początkowo spoczywał, a po przyspieszeniu poruszał się z prędkością v, więc praca jaką wykonał silnik to
1
W2 “ ∆Ekin
“
1
1
1
m pvq2 ´ mp0q2 “ mv 2 .
2
2
2
(2)
Widać, że W1 ą W2 . Z drugiej strony ilość spalonego paliwa powinna być taka sama w obu
układach – jak wyjaśnić ten paradoks i który z wyników to praca wykonana przez silnik podczas przyspieszania?
Zadanie 6.
Jednorodny pręt o masie M i długości l spoczywa na gładkiej płaszczyźnie. W jeden z jego końców uderza z
prędkością v (skierowaną prostopadle do osi pręta) punktowe ciało o masie m i przykleja się do pręta. Oblicz prędkość
liniową drugiego końca pręta w układzie, w którym początkowo spoczywał.
Zadanie 7.
Cienka, jednorodna, wiotka, ale nierozciągliwa lina o długości całkowitej l i masie M początkowo była umocowana
obydwoma końcami do blisko siebie położonych haków i zwisała swobodnie, tak jak na rysunku 1. W pewnej chwili
koniec liny zwolniono i lina zaczyna opadać (rys. 2). Wiadomo, że największe obciążenie, które wytrzymuje każdy z
haków, wynosi N (większe od ciężaru liny M g). Jaki dokładnie warunek muszą spełniać wielkości M g i N , aby w
czasie opadania górny koniec liny nie wyrwał haka.
Zakładamy, że w czasie opadania każdy element liny zaraz po osiągnięciu odpowiadającego mu położenia końcowego
zatrzymuje się i pozostaje nieruchomy.
Zadanie 8.
Na gładkiej poziomym stole leży klin o masie M . Na płaszczyźnie klina, tworzącej kąt α z płaszczyzną stołu,
kładziemy klocek o masie m. Klocek zaczyna zsuwać się bez tarcia po płaszczyźnie klina. Oblicz przyspieszenie klocka.
Zadanie 9.
Jednorodna, sztywna linijka o długości L, masie M oraz pomijalnie małej grubości leży na poziomym stole tak, że
jej środek masy znajduje się w odległości x od końca stołu (patrzy rysunek). Początkowo linijka była unieruchomiona
stojącym na niej odważnikiem. W pewnej chwili zdjęto odważnik i linijka zaczęła się obracać wokół krawędzi stołu.
Znajdź kąt odchylenia θg linijki od poziomy, przy którym zacznie się ona ześlizgiwać z krawędzi. Współczynnik tarcia
linijki o stół wynosi µ. Dluższe krawędzie linijki są prostopadłe do krawędzi stołu.