Charakterystyki czasowe )( tx yc dt dy b dt yd m = ∗+ ∗+ ∗

Charakterystyki czasowe
Zadanie 1.1.
Dane jest równanie róŜniczkowe obiektu:
m∗
dy
dx
+b∗ y = c∗
dt
dt
Uwzględniając niezerowe warunki początkowe układu (dla t = 0 → y = 1.8, x = 0 )
obliczyć:
• Równanie transformaty Laplace odpowiedzi obiektu na sygnał wejściowy liniowo
narastający o równaniu x (t ) = 8 ∗ t
•
•
Równanie odpowiedzi układu dla t → ∞ wykorzystując do tego celu twierdzenie o
wartości granicznej
Równanie odpowiedzi w dziedzinie funkcji czasu y (t ) uzyskane przez odwrotną
transformację transformaty Laplace Y ( s ) z wykorzystaniem odpowiedniej tablicy
transformat
Zadanie 1.2.
Dane jest równanie róŜniczkowe obiektu:
m∗
dy
+b∗ y
dt
= c∗
dx
dt
Zakładając zerowe warunki początkowe obiektu (dla t = 0 → y = 0, x = 0 ) obliczyć:
•
•
•
Równanie transmitancji operatorowej G ( s ) obiektu
Równanie transformaty odpowiedzi obiektu Y ( s ) na skokową zmianę sygnału
wejściowego o x (t ) = 0.2 ∗ 1(t )
Równanie odpowiedzi w dziedzinie funkcji czasu y (t ) uzyskane przez odwrotną
transformację transformaty Laplace Y ( s ) z wykorzystaniem odpowiedniej tablicy
transformat
Charakterystyki częstotliwościowe
Zadanie 2.1.
Własności dynamiczne obiektu regulacji aproksymowano członem oscylacyjnym
opisanym równaniem róŜniczkowym
m∗
d2y
dt 2
+b∗
dy
+c∗ y =
dt
x (t )
1
Wiadomo, Ŝe masa m = 680 kg , współczynnik wiskotycznego tłumienia wynosi
b = 2.4 N /(m / s ) , stała spręŜystości elementów podatnych wynosi c = 500 N / cm .
Do wejścia obiektu doprowadzony jest harmoniczny sygnał wejściowy o okresie 1.3 sec i o
amplitudzie xmax = 4.6 cm
NaleŜy obliczyć:
• częstotliwość i częstość kątową sygnału wejściowego,
• częstość kątową, częstotliwość i okres drgań własnych obiektu,
• równanie transmitancji operatorowej obiektu dla zerowych warunków początkowych,
• Równanie transmitancji widmowej
• Moduł transmitancji widmowej wyraŜający stosunek amplitudy sygnału wyjściowego
do amplitudy sygnału wejściowego
• Amplitudę sygnału wyjściowego dla zadanego sygnału wejściowego
• Argument transmitancji widmowej wyraŜający kąt przesunięcia fazowego maksimum
sygnału wyjściowego w stosunku do maksimum sygnału wejściowego
• Na płaszczyźnie liczb zespolonych zilustrować graficznie wartości modułu i
argumentu transmitancji widmowej obliczone dla zadanej częstości kątowej sygnału
wejściowego
Ujemne sprzęŜenie zwrotne
Zadanie 3.1.
Układ regulacji z ujemnym sprzęŜeniem zwrotnym zawiera następujące człony:
1. obiekt regulacji aproksymowany członem inercyjnym pierwszego rzędu o równaniu:
0.05 ∗
dy (t )
+ 0.2 ∗ y (t ) = e(t )
dt
2. proporcjonalny przetwornik sygnału wyjściowego o równaniu
u (t ) = 1.7 ∗ y (t )
3. całkujący człon nastawczy o równaniu
t
v(t ) = 2 ∗ ∫ u (t ) ∗ dt
0
Narysować schemat blokowy układu i zakładając zerowe warunki początkowe układu
obliczyć:
• Równanie transmitancji operatorowej obiektu regulacji,
• Równanie transmitancji operatorowej przetwornika sygnału,
• Równanie transmitancji operatorowej członu nastawczego,
• Równanie zastępczej transmitancji operatorowej układu otwartego,
• Równanie transmitancji operatorowej układu zamkniętego,
• Równanie charakterystyczne układu zamkniętego z ujemnym sprzęŜeniem zwrotnym,
• Wartości pierwiastków równania charakterystycznego układu zamkniętego,
2
•
Ocenić stabilność układu regulacji dowolną metodą.
Zadanie 3.2.
Układ regulacji z ujemnym sprzęŜeniem zwrotnym zawiera następujące człony:
obiekt regulacji aproksymowany członem inercyjnym pierwszego rzędu o równaniu:
0.05 ∗
dy (t )
+ 0.2 ∗ y (t ) = e(t )
dt
proporcjonalny przetwornik sygnału wyjściowego o równaniu
u (t ) = 1.7 ∗ y (t )
całkujący człon nastawczy o równaniu
t
v ( t ) = 2 ∗ ∫ u ( t ) ∗ dt
0
Narysować schemat blokowy układu i zakładając zerowe warunki początkowe układu
obliczyć:
• Równanie transmitancji operatorowej obiektu regulacji,
• Równanie transmitancji operatorowej przetwornika sygnału,
• Równanie transmitancji operatorowej członu nastawczego,
• Równanie zastępczej transmitancji operatorowej układu otwartego,
• Równanie transmitancji operatorowej układu zamkniętego,
• Wartość ustalonego uchybu regulacji dla t → ∞ po skokowej zmianie sygnału
wejściowego o x = 0.25 ∗ 1(t ) ,
Zadanie 3.3.
Układ regulacji z ujemnym sprzęŜeniem zwrotnym zawiera tor główny sygnałów i tor
sprzęŜenia zwrotnego. Własności dynamiczne wszystkich członów znajdujących się w torze
głównym moŜna aproksymować równaniem róŜniczkowym pierwszego rzędu:
0.01 ∗
dy(t )
+ 0.25 ∗ y (t ) = e(t )
dt
Własności dynamiczne wszystkich członów znajdujących się w torze sprzęŜenia zwrotnego
moŜna aproksymować równaniem
u (t ) = 1.0 ∗ y (t )
opisującym tzw. „sztywne” sprzęŜenie zwrotne.
NaleŜy narysować schemat blokowy układu regulacji i zakładając zerowe warunki
początkowe układu obliczyć:
3
•
Równanie transmitancji operatorowej toru głównego G (s ) ;
•
•
Równanie transmitancji operatorowej toru sprzęŜenia zwrotnego H (s ) ;
Równanie transmitancji operatorowej układu otwartego Go(s ) ;
•
•
•
•
•
Równanie zastępczej transmitancji operatorowej układu zamkniętego Gz (s ) ;
Równanie charakterystyczne układu zamkniętego;
Pierwiastki równania charakterystycznego;
Zbadać stabilność układu regulacji dowolną metodą;
Wartość ustalonego uchybu regulacji dla t → ∞ po skokowej zmianie sygnału
wejściowego (wartości zadanej) o ∆x = 0.05 ∗ 1(t ) ;
Równanie transformaty odpowiedzi układu zamkniętego na skokową zmianę sygnału
wejściowego (wartości zadanej) o ∆x = 0.05 ∗ 1(t ) ;
Równanie odpowiedzi układu zamkniętego na skokową zmianę sygnału wejściowego
(wartości zadanej) o ∆x = 0.05 ∗ 1(t ) w dziedzinie funkcji czasu uzyskane w
wyniku odwrotnej transformacji transformaty tej odpowiedzi;
Równanie transmitancji widmowej układu otwartego Go( jω ) ;
Równanie modułu (współczynnika wzmocnienia amplitudy) transmitancji widmowej
układu otwartego;
Równanie argumentu (kąta fazowego) transmitancji widmowej układu otwartego;
Dla sygnału harmonicznego o częstotliwości f = 4 Hz obliczyć okres Τ oraz
częstość kątową ω tego sygnału;
Wartość współczynnika wzmocnienia amplitudy dla sygnału harmonicznego o
częstotliwości f = 4 Hz ;
Wartość kąta przesunięcia fazowego sygnału wyjściowego w stosunku do sygnału
wejściowego dla sygnału harmonicznego o częstotliwości f = 4 Hz ;
Wartość współczynnika wzmocnienia i kąta przesunięcia fazowego zilustrować
graficznie na płaszczyźnie liczb zespolonych jako jeden punkt charakterystyki
amplitudowo – fazowej odpowiadający częstotliwości f = 4 Hz .
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Zadanie 3.4.
Układ regulacji z ujemnym sprzęŜeniem zwrotnym zawiera tor główny sygnałów i tor
sprzęŜenia zwrotnego. Własności dynamiczne wszystkich członów znajdujących się w torze
głównym moŜna aproksymować równaniem róŜniczkowym pierwszego rzędu:
0.02 ∗
dy (t )
+ 0.5 ∗ y (t ) = e(t )
dt
Własności dynamiczne wszystkich członów znajdujących się w torze sprzęŜenia zwrotnego
moŜna aproksymować równaniem
u (t ) = 5.0 ∗ y (t )
NaleŜy narysować schemat blokowy układu regulacji i zakładając zerowe warunki
początkowe układu obliczyć:
• Równanie transmitancji operatorowej toru głównego G ( s ) ;
4
•
Równanie transmitancji operatorowej toru sprzęŜenia zwrotnego H (s ) ;
•
•
•
•
•
•
Równanie transmitancji operatorowej układu otwartego Go(s ) ;
Równanie zastępczej transmitancji operatorowej układu zamkniętego Gz (s ) ;
Równanie charakterystyczne układu zamkniętego;
Pierwiastki równania charakterystycznego;
Zbadać stabilność układu regulacji dowolną metodą;
Równanie transformaty odpowiedzi układu zamkniętego na skokową zmianę sygnału
wejściowego (wartości zadanej) o ∆x = 0.05 ∗ 1(t ) ;
Wartość sygnału odpowiedzi układu zamkniętego na skokową zmianę sygnału
wejściowego (wartości zadanej) o ∆x = 0.05 ∗ 1(t ) w dziedzinie funkcji czasu
osiąganą po upływie czasu t → ∞ ;
Równanie transmitancji widmowej układu otwartego Go( jω ) ;
Równanie modułu (współczynnika wzmocnienia amplitudy) transmitancji widmowej
układu otwartego;
Równanie argumentu (kąta fazowego) transmitancji widmowej układu otwartego;
Dla sygnału harmonicznego o częstotliwości f = 7 Hz obliczyć okres Τ oraz
częstość kątową ω tego sygnału;
Wartość współczynnika wzmocnienia amplitudy w układzie otwartym dla sygnału
harmonicznego o częstotliwości f = 7 Hz ;
Wartość kąta przesunięcia fazowego sygnału wyjściowego w stosunku do sygnału
wejściowego w układzie otwartym dla sygnału harmonicznego o częstotliwości
f = 7 Hz ;
Wartość współczynnika wzmocnienia i kąta przesunięcia fazowego zilustrować
graficznie na płaszczyźnie liczb zespolonych jako jeden punkt charakterystyki
amplitudowo – fazowej odpowiadający częstotliwości f = 7 Hz .
•
•
•
•
•
•
•
•
5