1. Mając dwie pięćdziesięciogroszówki, pięć dwudziestogroszówek i

1. Mając dwie pięćdziesięciogroszówki, pięć dwudziestogroszówek i dziesięć dziesięciogroszówek,
możemy wypłacić 1 złoty na dokładnie
a) 3 sposoby;
b) 10 sposobów;
c) 16 sposobów.
2. Promień koła k1 jest o 10% mniejszy od promienia koła k 2 . Wynika z tego, że
a) obwód koła k1 jest o 10% mniejszy od obwodu koła k2 ;
b) średnica koła k1 jest o 20% mniejsza od średnicy koła k 2 ;
c) pole koła k1 jest o 19% mniejsze od pola koła k2 .
3. Dla dowolnych liczb całkowitych p i q co najmniej jedna z liczb pq, p + q, p − q jest podzielna
przez
a) 2;
b) 3;
c) 5.
4. Wierzchołki A i F równoległoboków ABCD i CDEF leżą po przeciwnych stronach prostej CD.
Wynika z tego, że
a) czworokąt ABF E jest równoległobokiem;
b) pole czworokąta ABF E jest równe sumie pól równoległoboków ABCD i CDEF ;
c) pole figury ADE jest równe polu figury BCF .
5. Wykres funkcji f : R→R ma więcej niż jedną oś symetrii. Wynika z tego, że f jest funkcją
a) okresową;
b) liniową;
c) monotoniczną.
6. Liczba całkowita dodatnia n ma dokładnie cztery dzielniki dodatnie. Wynika z tego, że
a) n jest kwadratem liczby pierwszej;
b) n jest iloczynem dwóch różnych liczb pierwszych;
c) n ma co najmniej dwa różne czynniki pierwsze.
7. W urnie znajduje się 10 kul różnych kolorów, w tym dokładnie dwie kule czerwone.
Wyciągamy kolejno dwie kule, nie zwracając pierwszej. Przez p oznaczamy prawdopodobieństwo
wyciągnięcia dwóch kul czerwonych, a przez q prawdopodobieństwo wyciągnięcia drugiej
kuli czerwonej, pod warunkiem, że pierwsza była czerwona. Wynika z tego, że
a) p ≥ q;
b) p ≤ q;
c) p = q.
8. Punkt A należy do okręgu o środku S. Symetralna odcinka AS przecina ten okrąg
w punktach B i C. Wynika z tego, że
a) <) BAC = 120◦ ;
b) czworokąt ACSB jest równoległobokiem;
c) stosunek długości dłuższego łuku AC do długości krótszego łuku AC tego okręgu
jest równy 5.
ZSI wiosna 1
9. Liczba 42003 − 1 jest podzielna przez
a) 3;
b) 5;
c) 22003 + 1.
10. Pierwiastkami równania kwadratowego x 2 + bx + c = 0, gdzie b 6= 0, są
różne liczby y i z. Wynika z tego, że
a) y 2 + z 2 = b2 − 2c;
b) y 2 − z 2 = −b2 − 2c;
c
yz
= 2.
c)
2
b
(y + z)
11. Dla każdej liczby całkowitej dodatniej k suma k początkowych wyrazów ciągu (a n ),
n = 1, 2, 3, . . ., jest równa k 2 + k. Wynika z tego, że ciąg (an ) jest
a) rosnący;
b) arytmetyczny;
c) geometryczny.
12. Istnieje wartość parametru rzeczywistego a, dla której układ równań
(x + 5)2 + (y − 4)2 = 1
(x − a)2 + (y − 1)2 = 4
a) jest spełniony przez dokładnie jedną parę liczb;
b) jest spełniony przez dokładnie dwie pary liczb;
c) nie jest spełniony przez żadną parę liczb.
13. Wielomian czwartego stopnia x4 + 9 jest
a) iloczynem dwóch wielomianów niższego, niezerowego stopnia;
b) iloczynem dwóch wielomianów drugiego stopnia;
c) sumą dwóch wielomianów niższego stopnia.
14. Pierwszy wyraz ciągu (an ), n = 1, 2, 3, . . ., jest równy 1. Ponadto dla każdego n
wyraz an+1 tego ciągu jest mniejszy od wyrazu a n o 10%. Wynika z tego, że
1
a) a6 = ;
2
340
b) a21 = 20 ;
10
c) a2003 = 0, 729 · a2000 .
15. Ułamek
14n + 3
21n + 4
2
;
3
3
b) dla każdego całkowitego dodatniego n jest mniejszy od ;
4
c) dla każdego całkowitego dodatniego n jest nieskracalny.
a) dla pewnego całkowitego dodatniego n jest mniejszy od
16. Istnieje taka wartość parametru a, że równanie tg ax=0 w przedziale (−2; 2) ma dokładnie
a) jedno rozwiązanie;
b) dwa rozwiązania;
c) trzy rozwiązania.
ZSI wiosna 2
17. Wielomian x2003 + x2002 + 2001
a) ma dokładnie dwa pierwiastki rzeczywiste;
b) ma 2003 różne pierwiastki rzeczywiste;
c) osiąga minimum lokalne w punkcie x = 0.
18. Równanie xy = x + y − 1
a) ma nieskończenie wiele rozwiązań (x, y), w których dokładnie jedna z liczb x i y
jest niewymierna;
b) ma dokładnie jedno rozwiązanie (x, y), w którym x i y są liczbami całkowitymi;
c) nie jest spełnione przez żadną parę liczb rzeczywistych.
19. Mamy osiem sześcianów o krawędzi 1, z których każdy ma cztery ściany czarne i dwie białe.
Wynika z tego, że można z nich złożyć sześcian o krawędzi 2, który ma
a) wszystkie ściany czarne;
b) co najmniej cztery ściany czarne;
c) co najmniej dwie ściany białe.
20. Przekrojem osiowym stożka o wierzchołku C jest trójkąt równoboczny ABC. Wynika z tego,
że punktem odcinka BC leżącym najbliżej punktu A, licząc długość drogi po powierzchni
stożka, jest
a) punkt B;
b) punkt C;
c) środek odcinka BC.
ZSI wiosna 3