Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Wydział Matematyki i Informatyki
http://www.mat.umk.pl/rkm/
Problematyka zajęć w dniu 8 maja 2010 r.
Metoda analogii na przykładzie liczb całkowitych i wielomianów
Przeanalizujmy podstawowe informacje – definicje i twierdzenia dotyczące podzielności liczb całkowitych i zobaczmy, jak przenoszą się one na podzielność wielomianów. Zacznijmy od samej definicji podzielności.
Definicja 1L. Niech a i b będą dowolnymi liczbami całkowitymi, b 6= 0. Jeśli istnieje
liczba całkowita k spełniająca warunek b = k ·a, to mówimy, że b jest podzielne przez
a, co zapisujemy a | b.
Definicja 1W. Niech P (x) i Q(x) będą dowolnymi wielomianami, gdzie Q(x) jest
wielomianem niezerowym. Jeśli istnieje wielomian S(x) spełniający warunek P (x) =
Q(x) · S(x), to mówimy, że wielomian P (x) jest podzielny przez Q(x), co zapisujemy
Q(x) | P (x).
Najprostsze własności podzielności liczb całkowitych bardzo łatwo przenoszą
się na podzielność wielomianów. Coś ciekawego zaczyna się dziać dopiero przy
następujących własnościach.
Twierdzenie 1L. Niech a i b będą dowolnymi liczbami całkowitymi, a, b 6= 0.
a) Jeśli a | b, to |a| ¬ |b|.
b) Jeśli a | b i b | a, to a = b lub a = −b.
Odpowiednik powyższego faktu dla wielomianów możemy sformułować następująco. Symbolem deg P (x) oznaczamy stopień wielomianu P (x).
Twierdzenie 1W. Niech P (x) i Q(x) będą dowolnymi niezerowymi wielomianami.
a) Jeśli P (x) | Q(x), to deg P (x) ¬ deg Q(x).
b) Jeśli P (x) | Q(x) i Q(x) | P (x), to P (x) = c · Q(x) dla pewnej niezerowej liczby
rzeczywistej c.
Podstawowe znaczenie w teorii podzielności ma twierdzenie o dzieleniu z resztą.
Przy tej okazji mamy pojęcie reszty z dzielenia dla wielomianów. Warto tu odnotować rolę stopnia wielomianu.
1
Twierdzenie 2L. Dla dowolnych liczb całkowitych a i b takich, że b 6= 0, istnieje
dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r spełniająca warunki
a = q · b + r, 0 ¬ r < |b|.
Twierdzenie 2W. Dla dowolnych wielomianów P (x) i Q(x) takich, że Q(x) jest
wielomianem niezerowym, istnieje dokładnie jedna para wielomianów S(x), R(x)
spełniająca warunki
P (x) = S(x) · Q(x) + R(x), R(x) = 0 lub deg R(x) < deg Q(x).
Pojęcia NWW i NWD również przenoszą się z liczb całkowitych na wielomiany. Zauważmy, że NWW i NWD wielomianów jest określone z dokładnością do
czynnika będącego liczbą rózną od 0 – por. tw. 1W b).
Definicja 2L. Niech a1 , . . . , an będą dowolnymi liczbami całkowitymi. Jeśli one wszystkie są różne od zera, to najmniejszą liczbę naturalną l taką, że ai | l dla każdego
i = 1, . . . , n, nazywamy najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb a1 , . . . , an i oznaczamy ją
l = NWW(a1 , . . . , an ).
Definicja 3L. Niech a1 , . . . , an będą dowolnymi liczbami całkowitymi. Jeśli przynajmniej jedna z nich, np. aj , jest różna od zera, to największą liczbę naturalną d taką,
że d | ai dla każdego i = 1, . . . , n, nazywamy największym wspólnym dzielnikiem
liczb a1 , . . . , an i oznaczamy ją
d = NWD(a1 , . . . , an ).
Definicja 2W. Niech P1 (x), . . . , Pn (x) będą dowolnymi wielomianami. Jeśli one wszystkie są niezerowe, to wielomian W (x) najmniejszego stopnia, taki, że Pi (x) | W (x)
dla każdego i = 1, . . . , n, nazywamy najmniejszą wspólną wielokrotnością wielomianów P1 (x), . . . , Pn (x) i oznaczamy go
W (x) = NWW(P1 (x), . . . , Pn (x)).
Definicja 3W. Niech P1 (x), . . . , Pn (x) będą dowolnymi wielomianami. Jeśli przynajmniej jeden z nich, np. Pj (x), jest niezerowy, to wielomian W (x) największego
stopnia, taki, że W (X) | Pi (x) dla każdego i = 1, . . . , n, nazywamy największym
wspólnym dzielnikiem wielomianów P1 (x), . . . , Pn (x) i oznaczamy go
W (x) = NWD(P1 (x), . . . , Pn (x)).
Jak się można spodziewać, skoro mamy dzielenie z reszta i mamy NWD, to jest
również odpowiednik dzielenia z resztą dla wielomianów.
Spróbujmy określić odpowiednik liczb pierwszych.
Definicja 4L. Liczbę naturalną posiadającą dokładnie dwa dzielniki naturalne nazywamy liczbą pierwszą.
2
Jeśli n jest liczbą naturalną, to 1 | n i n | n, czyli 1 i n zawsze są dzielnikami
liczby n. Liczba pierwsza to taka, która nie ma innych dzielników (i jest większa od
1).
W przypadku wielomianów, każdy wielomian W (x) dzieli się przez wszystkie
wielomiany stopnia 0 oraz wielomiany postaci c · W (x), gdzie c jest niezerową liczbą
rzeczywistą. Taki wielomian postaci c · W (x) nazywamy stowarzyszonym z wielomianem W (x).
Przeredagujmy definicję liczby pierwszej.
Definicja 4L’. Liczbę naturalną p > 1 nazywamy liczbą pierwszą, jeśli nie dzieli się
przez żadną liczbę naturalną większą od 1 i mniejszą od p.
Definicja 4W. Wielomian P (x), niezerowy i stopnia większego od 0, nazywamy
nierozkładalnym, jeśli nie dzieli się przez żaden wielomian stopnia większego od 0
i mniejszego od deg P (x).
Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze.
Twierdzenie 3L. Dla dowolnej liczby naturalnej n > 1 istnieją parami różne liczby
pierwsze p1 , . . . , pk i liczby całkowite α1 , . . . , αk > 0 takie, że
n = pα1 1 · . . . · pαk k ,
przy czym ten układ liczb pierwszych z odpowiadającymi im wykładnikami jest
jednoznacznie wyznaczony przez liczbę n.
Twierdzenie 3W. Dla dowolnego wielomianu W (x), niezerowego i stopnia większego od 0, istnieją parami niestowarzyszone wielomiany nierozkładalne P1 (x), . . . , Pk (x),
liczby całkowite α1 , . . . , αk > 0 i liczba rzeczywista c 6= 0, takie, że
W (x) = cP1 (x)α1 · . . . · Pk (x)αk ,
przy czym ten układ wielomianów nierozkładalnych jest określony z dokładnością do stowarzyszenia, a wykładniki są jednoznacznie wyznaczone przez wielomian
W (x).
3