Pobierz

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Zad.1 Rozumnie wybraną metodą numeryczną oblicz wartość całki
4
∫ ln(cos
2
x)dx
0
Oraz błąd jej wyznaczenia.
Podana jest funkcja i granice w jakich należy ją scałkować. Jak wiadomo wynikiem całkowania
jest pole pod wykresem funkcji.
• Pierwszym krokiem w obliczeniu tej wartości będzie dobranie odpowiedniego skoku z
jakim powinny zmieniać się x. Skok ten należy tak rozumnie dobrać aby nie był za duży
ani za mały. Zbyt mały oznacza wydłużenie obliczeń potrzebnych do uzyskania wyniku
całkowania, zbyt duży da niedokładną wartość całki.
• Następnie podstawiając do powyższego wzoru x uzyskamy wartości funkcji podcałkowej
y= ln cos2x
• Kolejnym krokiem będzie stworzenie tablicy różnic skończonych (progresywnych)
[ patrz materiały pomocnicze na stronie Katedry], którą wykorzystamy do oszacowania
błędu.
x
y
0
0
0
1
0,5
-0,2612
węzły
∆y
∆2y
∆3y
∆4y
-0,2612
-0,7088
-0,97
2
1
-1,2312
-2,3876
-3,0964
-4,0664
3
1,5
-5,2976
7,6106
3,5442
4
2
-1,7534
2,5
-2,2342
-0,4434
3
-0,8867
-0,0201
3,5
-0,9953
0,3522
-0,5345
-0,1112
7
11,1923
1,3475
0,4233
6
-20,5518
-9,8448
1,31
5
13,0946
10,707
-0,1313
-0,4256
-0,0734
-0,6079
-0,7191
8
•
4
-0,8504
W zależności od liczby węzłów należy dobrać metodę całkowania. Istnieje bardzo wiele
metod całkowania numerycznego, Do obliczenia tych zadań zostaną wykorzystane tylko
te metody, które zostały omówione na zajęciach, i tak: dla wszystkich Metoda
Trapezów, dla parzystej liczby węzłów Metoda Simpsona i dla liczby węzłów podzielnej
przez 3 Metoda Newtona. Z powyższej tablicy odczytana liczba węzłów równa się 8,
zatem można wybrać Metodę Trapezów (uniwersalna) oraz Metodę Simpsona. Do
dalszych obliczeń zostanie wykorzystana Metoda Simpsona dlatego, iż jest ona metodą
dającą dokładniejszy wynik niż Metoda Trapezów. Wzór ogólny dla całki wygląda
następująco:
4
∫ ln(cos
0
2
x)dx =
h
( y0 + y8 + 2( y2 + y4 + y6 ) + 4( y1 + y3 + y5 + y7 ))
3
h – to skok, czyli wartość z jaką zmieniają się x.
NALEŻY PAMIĘTAĆ, IŻ DANY „Y” NIE MOŻE W TYM WZORZE WYSTĘPOWAĆ
DWA RAZY NP. Y8 JEST WYRAZEM OSTATNIM I NIE MOŻE !!! BYĆ WZIĘTY
JAKO PARZYSTY WĘZEŁ DO NAWIASU Z WARTOŚCIAMI OPISANYMI
PARZYSTYMI WĘZŁAMI !!!
Podstawiając do wzoru konkretne wartości otrzymujemy wynik:
4
∫ ln(cos
2
x)dx =
0
0,5
(0 + (−0,8504) + 2((−1,2312) + (−1,7534) + (−0,0201)) + 4((−0,2612) + (−5,2976) + (−0,4434) + (−0,1313)))
3
= −5,2323
Przedostatnim krokiem będzie oszacowanie błędu. Do obliczenia błędu wykorzystujemy
(b − a ) ∆4 y
wzór: R2 ≈ −
śr
180
Gdzie:
∆4 y śr − to średnia różnic skończonych czwartego rzędu funkcji podcałkowej.
•
∆4 y śr = (13,094+(-20,552)+11,192+(-0,995)+(-0,426))/5=0,4628
b i a to granice całkowania, podstawiając do wzoru otrzymujemy:
(4 − 0) 0,4628 ≈ −0,0103
R2 ≈ −
•
180
Ostatnim krokiem jest odpowiednie zapisanie wyniku (zgodnie z zasadami
zaokrąglania)
4
∫ ln(cos
2
x)dx = −5,232 ± 0,011
0
Obliczenie błędu (reszty) jest możliwe też drogą znalezienia czwartej pochodnej fIV
funkcji podcałkowej, co nawet dla funkcji z tego zadania( y= ln cos2x) okazałoby się
bardzo pracochłonne.
Zad.2 Obliczyć wartość całki i podać błąd jej wyznaczenia.
1, 4
sin x 3
∫0,2 x dx
Tworzymy tablicę różnic skończonych (progresywnych):
x
y
0
0,2
0,0179
1
0,4
0,1011
węzły
∆y
∆2y
∆3y
∆4y
0,0832
0,0924
0,1756
2
0,6
0,2767
3
0,8
0,5478
0,0031
0,0955
0,2711
-0,0729
0,0226
0,2937
4
1
0,8415
1,2
-0,1833
-0,2562
-0,2336
0,0601
5
-0,076
0,9016
-0,1447
-0,4009
-0,6345
-0,5744
6
1,4
0,3272
Liczba węzłów równa 6, liczba parzysta, zatem wybieramy METODĘ SIMPSONA. Dla
warunków tego zadania wzór tej metody przedstawia się następująco:
1, 4
sin x 3
h
∫0,2 x dx = 3 ( y0 + y6 + 2( y2 + y4 ) + 4( y1 + y3 + y5 )) ;
Podstawiając odpowiednie wartości uzyskujemy wynik:
1, 4
sin x 3
0,2
∫0,2 x dx = 3 (0,0179 + 0,3272 + 2(0,2767 + 0,8415) + 4(0,1011 + 0,5478 + 0,9016)) = 0,585581
Błąd:
∆4 y śr = −0,13478
R2 ≈ −
(1,4 − 0,2) ⋅ (−0,13478) ≈ 0,000898
180
Ostateczny wynik:
1, 4
sin x 3
∫0,2 x dx = 0,58558 ± 0,00090
Zad.3 Oblicz Drogi Studencie wartość całki i podaj błąd jej wyznaczenia:
1, 4
∫
0, 2
x ⋅ cos x 2 dx
Tworzymy tablicę różnic skończonych (progresywnych):
x
y
0
0,4
1,561
1
0,5
1,37
węzły
∆y
∆2y
∆3y
∆4y
-0,191
0,029
-0,162
2
0,6
1,208
3
0,7
1,055
-0,02
0,009
-0,153
0,076
0,085
-0,068
4
0,8
0,987
0,9
-0,192
0,727
1
0,073
0,54
1,1
-0,354
-0,089
-0,016
-0,203
7
0,542
0,265
-0,187
6
-0,353
-0,277
-0,26
5
0,096
0,337
0,09
0,001
-0,015
-0,218
8
1,2
0,119
Liczba węzłów równa 8, liczba parzysta, podzielna przez 2, zatem wybieramy METODĘ
SIMPSONA. Dla warunków tego zadania wzór tej metody przedstawia się następująco:
4
∫
x ⋅ cos x 2 dx =
0
h
( y0 + y8 + 2( y2 + y4 + y6 ) + 4( y1 + y3 + y5 + y7 )) ;
3
Podstawiając dane z tabeli uzyskujemy następujący wynik:
4
∫
x ⋅ cos x 2 dx =
0
0,1
(1,561 + 0,119 + 2(1,208 + 0,897 + 0,540) + 4(1,370 + 1,055 + 0,727 + 0,337))
3
= 0,69753(3)
Błąd:
∆4 y śr = 0,0042
R2 ≈ −
(1,2 − 0,4) ⋅ 0,0042 ≈ 0,0000186(6)
180
Ostateczny wynik:
1, 4
∫
x ⋅ cos x 2 dx = 0,697533 ± 0,000019
0,2
Tą samą całkę obliczymy dodatkowo METODĄ TRAPEZÓW aby ukazać różnice w
uzyskanych wynikach.
Wzór METODY TRAPEZÓW wygląda następująco dla tego zadania:
1, 4
∫
0,2
y 
y
x ⋅ cos x 2 dx = h 0 + y1 + y 2 + y3 + y 4 + y5 + y6 + y7 + 8  ;
2
 2
Podstawiając dane do wzoru uzyskujemy następujący wynik:
1, 4
0,119 
 1,561
2
∫0,2 x ⋅ cos x dx = 0,1 2 + 1,370 + 1,208 + 1,055 + 0,897 + 0,727 + 0,540 + 0,337 + 2  =
= 0,6974
Błąd: (liczymy bardzo podobnie jak w Metodzie Simpsona z tą różnicą, że tu
wykorzystujemy średnią różnic skończonych drugiego rzędu funkcji podcałkowej)
∆2 y śr = −0,00386
R1 ≈ −
(1,2 − 0,4) ⋅ (−0,00386) ≈ 0,000257
12
Ostateczny wynik:
1, 4
∫
x ⋅ cos x 2 dx = 0,69740 ± 0,00026
0,2
Komentarz: Oba rozwiązania mieszczą się w granicach swych błędów. Widać, iż błąd
METODY TRAPEZÓW jest o rząd większy od błędu METODY SPIMPSONA a zatem
metoda ta daje mniej dokładne wyniki.
Zad.4 Obliczyć wartość całki i podać błąd jej wyznaczenia.
2 ,1
sin( x 2 − 1)
∫ 2 x dx
1, 3
Tworzymy tablicę różnic skończonych (progresywnych):
x
y
0
1,3
0,279
1
1,4
0,346
węzły
∆y
∆2y
∆3y
∆4y
0,067
-0,026
0,041
2
1,5
0,387
-0,007
-0,033
0,008
3
1,6
0,395
-0,039
-0,031
4
1,7
0,364
1,8
-0,04
0,293
1,9
-0,038
0,184
2
-0,025
0,05
2,1
-0,0915
0,0045
0,0175
-0,0075
-0,1415
8
0,011
0,013
-0,134
7
0,003
0,002
-0,109
6
0,005
-0,001
-0,071
5
0,001
-0,006
Liczba węzłów równa 8, liczba parzysta, zatem wybieramy METODĘ SIMPSONA. Dla
warunków tego zadania wzór tej metody przedstawia się następująco:
2 ,1
sin( x 2 − 1)
h
∫1,3 2 x dx = 3 ( y0 + y8 + 2( y2 + y4 + y6 ) + 4( y1 + y3 + y5 + y7 )) ;
Podstawiając dane z tabeli uzyskujemy:
2,1
sin( x 2 − 1)
0,1
∫1,3 2 x dx = 3 (0,279 + (−0,0915) + 2(0,387 + 0,364 + 0,184) + 4(0,346 + 0,395 + 0,293 + 0,050)) =
= 0,2131167
Błąd:
∆4 y śr = 0,0049
R2 ≈ −
(2,1 − 1,3) ⋅ 0,0049 ≈ −0,00002177
180
Ostateczny wynik:
2 ,1
sin( x 2 − 1)
∫ 2 x dx = 0,213117 ± 0,000022
1, 3
Zad.5 Oblicz Drogi Studencie racjonalnie wybraną metodą numeryczną wartość całki i
podaj błąd jej wyznaczenia.
1
∫e
− x2
⋅ x dx
0, 2
Tworzymy tablicę różnic skończonych (progresywnych):
x
y
0
0,2
0,4297
1
0,3
0,5006
węzły
∆y
∆2y
∆3y
∆4y
0,0709
-0,0326
0,0383
2
0,4
0,5389
0,0061
-0,0265
0,0118
3
0,5
0,5507
-0,022
-0,0102
4
0,6
0,5405
0,7
-0,0177
0,5126
0,8
-0,0131
0,4716
0,9
-0,0086
0,422
1
0,3679
-0,0004
0,0041
-0,0045
-0,0541
8
-0,0001
0,0045
-0,0496
7
0,0003
0,0046
-0,041
6
-0,0002
0,0043
-0,0279
5
-0,0016
0,0045
Liczba węzłów równa 8, liczba parzysta, zatem wybieramy METODĘ SIMPSONA (choć
równie dobrze moglibyśmy wybrać Metodą Trapezów). Dla warunków naszego zadania
wzór tej metody przedstawia się następująco:
1, 0
−x
∫ e ⋅ xdx =
2
0, 2
h
( y0 + y8 + 2( y2 + y4 + y6 ) + 4( y1 + y3 + y5 + y7 )) ;
3
Podstawiając dane z tabeli uzyskujemy:
0,1
− x2
∫0,2e ⋅ x dx = 3 (0,4297 + 0,3679 + 2(0,5389 + 0,5405 + 0,4716) + 4(0,5006 + 0,5507 + 0,5126 + 0,422))
1, 0
= 0,394766347
Błąd:
∆4 y śr = −0,000365
R2 ≈ −
(1,0 − 0,2) ⋅ (−0,000365) ≈ 0,00000162
180
Ostateczny wynik:
1
∫e
− x2
⋅ x dx = 0,3947663 ± 0,0000017
0, 2
Zad.6 Obliczyć wartość całki na podstawie niżej podanej funkcji dyskretnej i podać błąd jej
wyznaczenia.
x
y
0
0,3
2,43
1
0,5
1,81
węzły
∆y
∆2y
∆3y
∆4y
-0,62
0,58
-0,04
2
0,7
1,77
-0,4
0,18
0,14
3
0,9
1,91
4
1,1
2,1
0,05
0,19
1,3
2,33
-0,01
1,5
2,57
-0,02
-0,03
0,01
0,24
6
0,12
0,04
0,23
5
0,27
-0,13
Zadanie dość nietypowe ponieważ nie znamy postaci funkcji podcałkowej, mamy ją
daną w postaci funkcji dyskretnej.
Liczba węzłów równa 6, liczba parzysta, zatem wybieramy METODĘ SIMPSONA.
Liczba ta jest też podzielna przez 3 co pozwala nam na wykorzystanie METODY
NEWTONA. Dla warunków naszego zadania wzór METODY SIMPSONA przedstawia się
następująco:
1, 5
h
∫ f ( x)dx = 3 ( y
0
+ y6 + 2( y2 + y4 ) + 4( y1 + y3 + y5 )) ;
0 ,3
Podstawiając wartości z tabeli uzyskujemy wynik:
1, 5
∫
f ( x)dx =
0 ,3
0,2
(2,43 + 2,57 + 2(1,77 + 2,10) + 4(1,81 + 1,91 + 2,33)) = 2,462667
3
Błąd:
∆4 y śr = 0,123(3)
R2 ≈ −
(1,5 − 0,3) ⋅ 0,123(3) ≈ −0,000822
180
Ostateczny wynik:
1, 5
∫ f ( x)dx = 2,46267 ± 0,00083
0,3
Zad.7 Obliczyć pracę wykonaną przez rozprężający się gaz, którego ciśnienie opisane jest
poniższą funkcja stabelaryzowaną oraz oszacować błąd wyznaczenia tej wielkości.
4
W = ∫ pdV
1
x
y
0
1
9,14
1
1,5
6,81
węzły
∆y
∆2y
∆3y
∆4y
-2,33
0,94
-1,39
2
2
5,42
0,35
1,29
-0,1
3
2,5
5,32
-1,17
-1,27
4
3
4,05
3,5
0,43
6
4
2,35
-2,05
-0,45
-0,02
3,21
-0,86
Gdzie x to V [m3] a y to p [Pa]
4,06
1,6
-0,84
5
-2,81
-2,46
Liczba węzłów równa 6, liczba parzysta, zatem wybieramy METODĘ SIMPSONA. Dla
warunków naszego zadania wzór tej metody przedstawia się następująco:
4
W = ∫ pdV =
1
h
( y0 + y6 + 2( y2 + y4 ) + 4( y1 + y3 + y5 ))
3
Podstawiając wartości z tabeli uzyskujemy wynik:
4
W = ∫ pdV =
1
0,5
(9,14 + 2,35 + 2(5,42 + 4,05) + 4(6,81 + 5,32 + 3,21)) = 15,2983(3)J
3
Błąd:
∆4 y śr = −0,266(6)
R2 ≈ −
(4 − 1) ⋅ (− 0,266(6) ) ≈ 0,0044(4)
180
Ostateczny wynik:
4
W = ∫ pdV = 15,2983 ± 0,0045 J
1
k
Ściśle praca objętościowa dana jest wzorem W = − ∫ pdV , ale sam wynik jest obliczany jako
p
wartość bezwzględna W .