Rozwiązanie trójkąta sferycznego na kuli o promieniu R

Zaliczenie:
Przedmiot:..................................................................................
............................................................................................................
Temat 1:
Rozwiązanie trójkąta sferycznego na kuli o promieniu R = 6371000 m
1. Rozwiązać duży trójkąt sferyczny znając współrzędne prostokątne przestrzenne XYZ jego
wierzchołków. Obliczyć współrzędne geograficzne (ϕ,λ)
Dane:
Współrzędne XYZ trójkąta ABC: A(5200000.00 m, 455000.00 m, 3655000.00 m),
B(3850000.00 m, 1400000.00 m, 4880000.00 m),
C(2650000.00 m, 470000.00 m, 5775000.00 m)
Współrzędne (X,Y) zróżnicować wg. wzoru: (XY)N = (XY) + G×10m + N×1000m
G-numer grupy, N-numer z dziennika
2. Rozwiązać mały trójkąt sferyczny (metodami przybliżonymi Legendre’a i
addidamentów), w którym dane są wszystkie kąty oraz jeden bok. Rozwiązanie poprzedzić
wyrównaniem kątów, zakładając, że są one jednakowo dokładne.
Dane:
Trójkąt KLM: kąty: K(58°52′21.540″)
L(65°28′39.150″)
M(55°39′02.280″)
Bok LM = 35000.00 m +N×10m + G×1000m
W obu zadaniach wielkości kątowe podać z dokładnością 0.001″, a liniowe z dokładnością 0.01m
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Obliczenia wykonał (a): ........................................................................ Grupa ......... Nr ............
...... rok, studia....................................................
data, ...................................
1. Rozwiązanie dużego trójkąta sferycznego metodą ścisłą
Dane współrzędne XYZ wierzchołków trójkąta ABC:
Punkt
X [m]
Y [m]
A
Z[m]
B
C
a) obliczenie współrzędnych geograficznych ϕ,λ oraz h na kuli o promieniu R=6371 km:

Z
Y
Z
( X , Y , Z ) → (ϕ , λ , h) : ϕ = arctg
, λ = arctg , h =
−R
2
2
sin ϕ
X
X +Y

Wierzchołek
ϕ [° ′ ″]
λ [° ′ ″]
h [m]
A
B
C
1
b) Szkic położenia trójkąta względem bieguna G kuli (na podstawie współrzędnych ϕ,λ)
c) rozwiązanie trójkąta AGC i obliczenie boków i kątów w tym trójkącie na podstawie
współrzędnych geograficznych wierzchołków.
Wzór .......................................... dla ................... wynik: ............................
Wzór .......................................... dla ................... wynik: ............................
Wzór .......................................... dla ................... wynik: ............................
Szkic trójkąta AGC
d) rozwiązanie trójkąta CGB i obliczenie boków i kątów w tym trójkącie na podstawie
współrzędnych geograficznych wierzchołków.
Wzór .......................................... dla ................... wynik: ............................
Wzór .......................................... dla ................... wynik: ............................
Wzór .......................................... dla ................... wynik: ............................
Szkic trójkąta CGB
e) rozwiązanie trójkąta AGB i obliczenie boków i kątów w tym trójkącie na podstawie
współrzędnych geograficznych wierzchołków.
Wzór .......................................... dla ................... wynik: ............................
Wzór .......................................... dla ................... wynik: ............................
Wzór .......................................... dla ................... wynik: ............................
Szkic trójkąta AGB
2
f) obliczenie kątów w trójkącie ABC z odpowiednie różnicy kątów uzyskanych w wyniku
rozwiązania trójkątów AGC, BGC i AGB
kąt A = kąt ............. – kąt ............. = ......................................................
kąt B = kąt ............. – kąt ............. = ......................................................
kąt C = kąt ............. – kąt ............. = ......................................................
g) zestawienie długości i kątów w trójkącie sferycznym ABC
kąt [° ′ ″]
Wierzchołek
bok [m]
A
-----
B
-----
C
-----
A
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Rozwiązanie małego trójkąta sferycznego KLM metodami przybliżonymi
Dane kąty i bok w małym trójkącie sferycznym KLM:
Wierzchołek
kąt [° ′ ″]
K
L
M
Bok LM = ............................... [m]
a) Obliczenie nadmiaru sferycznego ε, poprawki ν do kąta i wyrównanych kątów:
wzór: ............................................................................................................. ε = ........................... [″]
wzór: ............................................................................................................. ν = ........................... [″]
Kąty wyrównane:
Wierzchołek
kąt [° ′ ″]
K
L
M
3
b) rozwiązanie metodą Legendre’a:
„redukcja trójkąta sferycznego do płaskiego odbywa się poprzez ......................................................
..............................................................................................................................................................
przy zachowaniu ..................................................................................................................................”
Kąty w trójkącie płaskim
Wierzchołek
kąt [° ′ ″]
K′
L′
M′
Rozwiązanie trójkąta płaskiego wzorem ............................
Obliczone boki w trójkącie sferycznym KLM:
bok
KL
długość [m]
KM
c) rozwiązanie metodą addidamentów:
„redukcja trójkąta sferycznego do płaskiego odbywa się poprzez ......................................................
..............................................................................................................................................................
przy zachowaniu ..................................................................................................................................”
addidament boku LM:
wzór .............................................................................
wartość δLM = ............................ m
bok LM′ w trójkącie płaskim = ........................................... m
Pozostałe boki w trójkącie płaskim obliczone wzorem ...................................................................
Wartości ich addidamentów wynoszą:
Bok
długość boku [m]
addidament δ [m]
KL′
KM′
Obliczone boki w trójkącie sferycznym KLM:
bok
KL
długość [m]
KM
4