Błędy diagramowe

Tytuł Roboczy, 2005.03/04 (006)
Copyright © 2005 by Zenon Kulpa
Bł dy diagramowe,
czyli jak nie da si zwie
pozorom
Gdyby my odrzucili ka d form rozumowania,
która mo e by bł dnie u yta przez niestarannego badacza,
niewiele, o ile w ogóle cokolwiek, by nam pozostało.
(Jon Barwise i Jan Etchemendy: Heterogeneous logic, 1991)
Ka d metod rozumowania mo na zastosowa niestarannie lub niepoprawnie, powoduj c
powstanie bł du. Dotyczy to oczywi cie tak e reprezentacji opisowych, takich jak formuły
czy teksty matematyczne. Istnieje wiele przykładów bł dnych dowodów matematycznych
opublikowanych przez profesjonalnych matematyków, a tak e zabawnych paradoksów produkowanych ci gle przez szkolnych uczniów czy studentów. Jeden z wielu anegdotycznych
przykładów pokazano w ramce1 – prosty algebraiczny „dowód”, e 1 = 2. Zaczyna si w
pierwszym wierszu od oczywistej równo ci –2 = –2. Liczb –2 mo na przedstawi na wiele
sposobów, z których dwóch u yto w drugim wierszu. Dodaj c nast pnie t sam liczb 9/4 do
obu stron uzyskamy wyra enia, które mo na przedstawi , jak w czwartym wierszu, jako jedn
ze stron wzoru na kwadrat ró nicy (a–b)2 = a2 –2ab + b2: po lewej stronie mamy a = 1,
b = 3/2, po prawej za a = 2, b = 3/2. Zast puj c te wyra enia kwadratami odpowiednich ró nic otrzymujemy pi ty wiersz wyprowadzenia. Po wyci gni ciu pierwiastka z obu stron i wyeliminowaniu wspólnego składnika –3/2 po obu stronach uzyskujemy nasz paradoksalny
wniosek ko cowy. Gdzie po drodze, niezauwa alnie, popełnili my bł d. Gdzie i jaki, pozostawiam domy lno ci czytelnika. Diagramow demonstracj identycznej tezy pokazuje winietka tego tekstu2 – swoj drog , ta posta „dowodu” wygl da chyba bardziej zabawnie...
!
"#$%&'
#$()*+,'
#$-&!
"#$.
/
0
#$ !
#$ #1*,
2
3 4*
Przyczyny wyst powania takich bł dów nie s wcale oczywiste, a ich wykrycie i zbadanie
wymagało starannej analizy zagadnienia. Doprowadziła ona do okre lenia sposobów ich wykrywania i unikania, przyczyniaj c si do ustalenia wysokiego poziomu cisło ci w rozumowaniach matematycznych.
Diagramom, oczywi cie, te by si przydała równie staranna analiza. Ju Euklides,3 ponad
trzy wieki przed nasz er , podj ł w traktacie „Pseudaria” zagadnienie analizy bł dów w rozumowaniu, w szczególno ci w rozumowaniach z zastosowaniem diagramów. Jest on znany
przede wszystkim jako autor „Elementów,” pierwszego dzieła matematycznego zawieraj cego systematyczny i aksjomatyczny wykład geometrii i niektórych zagadnie teorii liczb (z
obfitym u yciem diagramów), przez dwa tysi ce lat niedo cigłego wzoru cisło ci w matematyce. Niestety, traktat „Pseudaria” nie przetrwał do pó niejszych czasów, a cał wiedz o nim
czerpiemy z króciutkiego opisu jego tre ci zawartego w komentarzach4 Proclusa.5 Niewiele
zrobiono po Euklidesie w tej dziedzinie i do tej pory brak wła ciwej, pełniejszej analizy mo -
17
liwych bł dów we wnioskowaniach diagramowych. Wydano co prawda
kilka zbiorów bł dnych rozumowa matematycznych, w tym tak e rozumowa z u yciem diagramów,6 lecz analiza bł dów ogranicza si w
nich prawie wył cznie do logiki wywodu, z pomini ciem problemów
mechanizmów powstawania bł dów w diagramach, nie mówi c ju o
sposobach ich unikania. W tej ostatniej kwestii autorzy zalecaj zwykle
dokładniejsze rysowanie diagramów, lub po prostu nie u ywanie ich jako
istotnych składników dowodów. Oprócz tego opublikowano tylko niewielk liczb krótkich, oderwanych analiz kilku przyczyn takich bł dów.7
Poni ej przyjrzymy si bli ej jednej z cz stszych przyczyn bł dów w
diagramach, dosy charakterystycznej dla tego typu reprezentacji, mianowicie nieprecyzyjnoci diagramów. Inne rodzaje bł dów omówimy przy innych okazjach.
Nieprecyzyjno ci wykonania i postrzegania reprezentacji nie da si niestety unikn . Dotyczy
to wi kszo ci reprezentacji przeznaczonych do naszego u ytku, w tym wizualnych. Gdyby
mo liwo u ycia diagramów wymagała ich absolutnej precyzji, praktyczne stosowanie ich
byłoby zwyczajnie niemo liwe. Np. dokładne przedstawienie kwadratu jest w rzeczywisto ci
niemo liwe za pomoc fizycznego diagramu. Na rysunku poni ej narysowane s najwyra niej
cztery kwadraty, ale przy bli szej analizie mo na zauwa y , e aden z nich nie jest tak naprawd idealny.8 Zagadnienie to trafnie uj ł Arnheim:9
„Postrzeganie, ..., jest niepewne ... i mo e si odnosi tylko do rzeczywistych, danych fizycznie obiektów, które s zawsze niedoskonałe. Jednak e, fizyczne obiekty
nie powinny by mylone z wra eniami zmysłowymi przez nie wywołanymi. ... Gdy
kto oznajmia, e widzi kwadrat, to ma na my li nie fizycznie niedoskonały eksponat, lecz idealny kształt kwadratu, jakim zajmuje si geometria. Widzi wtedy figur
z idealnie prostymi k tami i idealnie równymi bokami.”
Co za tym idzie, by móc u ywa diagramów, mo emy, a wr cz musimy, abstrahowa od ich
nieuniknionych niedoskonało ci. Nasza interpretacja diagramu musi wi c odtwarza idealne,
modelowe obiekty, mimo, e s one z konieczno ci niedoskonale przedstawione na diagramie. Ma tu powszechne zastosowanie ogólna reguła dopasowania do (idealnego) modelu:
(Reguła dopasowania do modelu) Elementy diagramu, które w przekonuj cy sposób wygl daj , jakby posiadały pewn wyró niaj c si cech (np. wygl da na to, e linia jest prosta)
lub jakby były w pewnej istotnej relacji do innych elementów (np. odcinki wydaj si równe,
linie wydaj si równoległe), przyjmowane s jako posiadaj ce t własno w stopniu idealnym.
Reguła ta, przyjmowana (zazwyczaj nie wiadomie) przy postrzeganiu wszelkich diagramów,
sprawia, e daje si ju przedstawi na diagramie idealne kwadraty, ale jednocze nie rodzi to
mo liwo bł dnej interpretacji innych obiektów. Czasem bowiem zachodzi potrzeba przedstawienia obiektów maj cych cechy ró ne od idealnych, które jednak s na tyle zbli one do
18
idealnego modelu, ze uruchamiaj działanie reguły dopasowania. W rezultacie, postrzegane s
bł dnie jako idealne, a istotne ró nice, od których zale y ich prawidłowa interpretacja, pozostaj niezauwa one. Przykłady bł dów spowodowanych tym efektem rozpatrzymy poni ej.
Warto zauwa y , e podobny problem wyst puje równie w reprezentacjach j zykowych i w
formułach matematycznych. Słuchaj c niewyra nej mowy, czy czytaj c niestarannie napisane
teksty lub formuły, cz sto musimy si domy la , do jakiego słowa czy znaku dany ci g
d wi ków czy graficzny zawijas jest najbardziej podobny. Po czym okazuje si , e mówca
miał na my li nie „Rozerwał si granat” tylko „Rozegrał si dramat,” 10 a student na tablicy
napisał „z = 1,” a nie „x = l.” W wielu wypadkach kontekst wypowiedzi pozwala wybra właciw interpretacj , wi c zwykle nawet nie zauwa amy, e mogłoby tu doj do bł du, lecz w
wielu sytuacjach bł d jednak wyst puje, nieraz z powa nymi tego konsekwencjami.
„Wielkie Twierdzenie Kre larskie.” Znany diagramowy paradoks „dowodz cy”, e 64 = 65
przypominamy na rysunku poni ej.11
Rozumowanie przebiega jak nast puje. Zaczynamy od pokratkowanego kwadratu o rozmiarach 8 × 8 = 64 kwadratowych kratek. Rozcinamy go wzdłu pokazanych odcinków prostych
(o ko cach dokładnie w wierzchołkach kratek) na cztery, parami identyczne cz ci. Obracamy trójk tne cz ci o 90 stopni i zestawiamy je z pozostałymi dwoma w prostok t o bokach 5
na 13 kratek, czyli o polu 5 × 13 = 65. Poniewa nie zmieniali my w aden sposób pól cz ci
przy tej operacji, najwyra niej 64 = 65.
Istnieje wiele wariantów podobnych zagadek – w jednym z nich, zestawiaj c na ró ne sposoby elementy z zestawu prostych cz ci mo emy uło y sze trójk tów prostok tnych o identycznych bokach, ale o sze ciu ró nych polach, od 44 do 49 kratek.12
Przyczyn tego paradoksalnego rezultatu mo na, nieco artobliwie, uj
jako:
(Wielkie Twierdzenie Kre larskie) Przez ka de trzy lub wi cej punktów mo na narysowa
lini prost , byle była dostatecznie gruba.13
Twierdzenie to jest wykorzystywane, zazwyczaj nie wiadomie, przez ka dego kre larza, któremu niezbyt dobrze wyszła jaka zawiła konstrukcja geometryczna wyznaczaj ca punkty,
przez które ma poprowadzi potrzebn lini ...
W naszej zagadce narysowana przek tna wynikowego prostok ta jest akurat dostatecznie
gruba, by ukry w sk szczelin w prostok cie biegn c wzdłu tej przek tnej. Jak unika
tego rodzaju bł dów? Tutaj mo na u y jednego z dwóch sposobów:
19
Zwi kszy dokładno rysunku. Je li potrzebujemy narysowa diagram, w którym istotne s
tak małe ró nice mi dzy krytycznymi warto ciami cech jego niektórych elementów, nale y to
zrobi z wi ksz dokładno ci . Jest to standardowe zalecenie, ale niestety jego stosowalno
jest ograniczona. Lepsz dokładno mo na osi gn przez powi kszenie rozmiarów rysunku
lub u ycie dokładniejszych narz dzi, jak odpowiednie narz dzia kre larskie lub komputer,
zamiast rysunku z wolnej r ki. Wtedy rosn szanse, e drobne, a istotne ró nice nie zostan
przeoczone, jak pokazuje rysunek.
Mo e on tak e posłu y do zobrazowania działania reguły dopasowania do modelu: punkty w
pobli u przek tnej, oznaczone kółeczkami, s tak bliskie le enia na jednej prostej, zwłaszcza
przy małych rozmiarach rysunku, e przyjmujemy je za le ce na przek tnej, nie dostrzegaj c
w rezultacie w skiej szczeliny w prostok cie.
Sprawdza metodami strukturalnymi. W miar mo liwo ci nale y unika opierania wnioskowania na bezpo redniej interpretacji ci głych warto ci cech, które mog by ska one niedostateczn precyzj rysunku, zast puj c je rozumowaniem jako ciowym (strukturalnym),
znacznie odporniejszym na niedokładno ci rysunku.
W naszym przypadku, jak pokazano na rysunku, mo emy u y strukturalnych elementów
diagramu (tutaj trójk tnych połówek prostok ta o rozmiarach 1 na 2.5 kratki) by sprawdzi ,
czy nachylenie lewego odcinka przek tnej jest takie samo, jak prawego odcinka. Wzdłu lewego odcinka przek tnej ten trójk t układa si dokładnie dwa razy. Natomiast układaj c go
wzdłu prawego odcinka zauwa amy, e na ko cu brakuje nam pół kratki do punktu naro nego, zatem naro nik ten nie jest współliniowy z lewym odcinkiem. Mo na te wykorzysta
tutaj rozumowanie hybrydowe, opisane w pierwszym odcinku.14 Licz c kratki na diagramie
wzdłu odcinków przek tnej otrzymujemy wynik, e nachylenie lewego odcinka wynosi 2
kratki na 5 kratek, za prawego – 3 kratki na 8 kratek. Poniewa ułamki 2/5 i 3/8 s oczywicie nierówne (ten fragment rozumowania wykorzystuje reprezentacj opisow ), nie s zatem
równe tak e nachylenia odpowiednich odcinków.
20
Zauwa my na zako czenie przykładu, e mimo pozorów, nasza zagadka przedstawia jednak
całkiem poprawne rozumowanie diagramowe, tylko z inn tez , ni si to zwykle przedstawia. Rozumowanie to pozwala nam okre li , jak „gruba” jest w tym przypadku linia, o której
mówi Wielkie Twierdzenie Kre larskie. Poniewa 65 – 64 = 1, wi c pole szczeliny wzdłu
przek tnej musi by równe dokładnie jednej kratce – wynik dosy trudny do bezpo redniego
obliczenia w inny sposób.
Ró nice mi dzy wnioskowaniem opartym na cechach ilo ciowych (metrycznych) i jako ciowych (strukturalnych) s warte dokładniejszej analizy, co zrobimy w jednym z kolejnych odcinków.
Niemo liwa geometria. Za inny przykład mo e posłuy geometryczna konstrukcja na rysunku obok, wchodz ca w skład bł dnego „dowodu,” e wszystkie trójk ⊥
ty s równoramienne.15 W konstrukcji tej rysujemy, w
trójk cie ABC, dwusieczn k ta przy wierzchołku C
′
′
(czyli lini prost dziel c k t ∠ACB dokładnie na pół)
i symetraln podstawy AB (czyli lini prost prostopadł do odcinka AB i wystawion w jego rodku X). Z
punktu O przeci cia tych dwu linii prowadzi si nast pnie pokazane na rysunku linie pomocnicze OA, OB, OA , OB , a nast pnie z praw podobie stwa trójk tów dowodzi si , e AC = BC, czyli e trójk t ABC jest równoramienny. Mimo
poprawno ci tego rozumowania, wniosek jest fałszywy, a to z tego powodu, e opiera si na
konstrukcji, która nie istnieje: mimo przekonuj cego wygl du rysunku, nigdy symetralna
podstawy i dwusieczna przeciwległego k ta nie przecinaj si wewn trz trójk ta, tylko zawsze na zewn trz niego. Konstrukcja wygl da przekonuj co dzi ki nieprecyzyjno ci postrzegania metrycznych cech rysunku – dokładniejszy pomiar pokazuje, e punkt X nie znajduje si
dokładnie w rodku podstawy AB, a rzekome połówki k ta przy wierzchołku C nie s wcale
równe. W tym wypadku, oprócz zwi kszenia precyzji rysunku czy te strukturalnego sprawdzenia, czy rzeczywi cie punkt O mo e si znale wewn trz trójk ta, mo liwy jest jeszcze
inny sposób unikni cia bł du. Polega on na zastosowaniu kolejnej reguły, tym razem dotycz cej nie interpretacji diagramu, lecz sposobu jego narysowania:
∠
∠
(Reguła pozycji ogólnej) Nale y narysowa wariant danej konstrukcji mo liwie odmienny od
konfiguracji szczególnej, w której pewne istotne parametry lub relacje, istotne dla rozumowania, przyjmuj swoje szczególne, wyró niaj ce si warto ci.
W konstrukcjach bliskich konfiguracji szczególnej elementy generalnie ró ne mog si zlewa ze sob lub by na tyle podobne, e trudno dostrzec istotne ró nice mi dzy nimi. Np.
punkty nie le ce na jednej prostej mog si wydawa współliniowe, k t ró ny od k ta prostego, gdy zbyt do niego podobny, mo e wyda si prosty, itp. Innymi słowy, reguła ta poleca
unika takich konfiguracji, które mogłyby spowodowa niepo dane zadziałanie reguły dopasowania do idealnego modelu.
W rozwa anym wy ej przypadku konfiguracj szczególn był trójk t równoramienny (w którym AC = BC). Trójk t ABC był za bardzo zbli ony kształtem do równoramiennego, dlatego
nawet niewielkie, niedostrzegalne „na oko” bł dy w narysowaniu symetralnej i dwusiecznej
spowodowały, e ich przeci cie znalazło si nieprawidłowo wewn trz trójk ta. Trójk t ABC
na rysunku obok jest natomiast na tyle odmienny od równoramiennego (długo ci boków AC i
21
BC znacznie si w nim ró ni ), e nie da si umie ci punktu O
wewn trz trójk ta bez tak du ego zniekształcenia poło enia symetralnej i dwusiecznej, e oszustwo staje si wyra nie widoczne. Na podstawie tego rysunku nie da si ju dowie bł dnej
tezy, e AC = BC. Niestety, ten sposób nie zawsze daje si zastosowa – np. nie pomo e nam w unikni ciu bł du prowadz cego
do zagadki „64 = 65.” Bł dy wynikaj ce z niezastosowania si
do reguły pozycji ogólnej nazywane s czasem bł dami przypadkowego ustawienia (ang. accidental alignment), zwłaszcza, gdy
maj charakter podobny jak w zagadce „64 = 65,” gdzie do bł du prowadzi pozorne ustawienie si elementów w niewła ciwej konfiguracji (tu – ustawienie punktów w jednej linii).
Nieprecyzyjno diagramów jest przejawem niepełnej na ladowczo ci reprezentacji.16 Odst pstwo od pełnej na ladowczo ci nie jest tu wielkie i mo e zosta zło one na karb niedoskonało ci wykonania diagramu lub niedoskonało ci jego postrzegania. Pomimo to, mo e to
prowadzi do sporych bł dów, z generowaniem niemo liwych konfiguracji wł cznie. Bardziej spektakularnym przykładem takich konfiguracji s tzw. „figury niemo liwe” (zob. np.
winietka tego tekstu), powstaj ce na skutek bardziej zasadniczego odst pstwa od na ladowczo ci, wynikaj cego z ograniczono ci struktury medium u ytego do tworzenia diagramu w
stosunku do struktury reprezentowanej dziedziny. O tym zjawisku opowiemy w oddzielnym
odcinku.
Zenon Kulpa
1
Zaczerpni ty z: Szczepan Jele ski: Lilavati. PZWS, Warszawa 1968.
Rysunek pomysłu autora (powstały w 1984 r.), opublikowany po raz pierwszy w: Bruno Ernst: Avonturen met
Onmogelijke Figuren. Aramith Uitgevers, Amsterdam 1985 (wyd. ang.: Adventures with Impossible Figures.
Tarquin Publications, Norfolk 1986). Nieco odmienna wersja ukazała si wcze niej w: Zenon Kulpa: Are impossible figures possible? Signal Processing, vol. 5 (1983), pp. 201-220.
3
Euklides z Aleksandrii (ok. 325-265 p.n.e.), staro ytny grecki matematyk i fizyk. Daty narodzin i mierci, ba,
nawet samo istnienie Euklidesa jako postaci historycznej, s niepewne i były powa nie kwestionowane przez
ró nych autorów.
4
Zob. Glenn R. Morrow, Ian Mueller, eds., Proclus: A Commentary on the First Book of Euclid's Elements.
Princeton University Press, Princeton, 1992.
5
Proclus Diadochus (411-485), matematyk grecki, długoletni dyrektor Akademii Plato skiej w Atenach, autor
obszernego komentarza do prac Euklidesa.
6
Jakow S. Dubnow: Oszibki w geometriczeskich dokazatielstwach. GITTL, Moskwa 1955 (tłum. ang. Yakov S.
Dubnov: Mistakes in Geometric Proofs. Heath, Boston, MA 1963). E.A. Maxwell: Fallacies in Mathematics.
Cambridge University Press, Cambridge 1959. Eugene P. Northrop: Riddles in Mathematics: A Book of Paradoxes. Penguin, Harmondsworth 1961. W.W. Rouse Ball: Mathematical Recreations and Essays. Dover 1987
(13th ed.; 1st ed.: 1892). Szczepan Jele ski, op. cit.
7
Tzw. bł d fałszywej emergencji: Jock Mackinlay, Michael R. Genesereth: Expressiveness and language choice.
Data & Knowledge Engineering, vol. 1 (1985), pp. 17-29; oraz bł d ograniczonej ekspresywno ci diagramów
kół Eulera: Oliver Lemon, Ian Pratt: Spatial logic and the complexity of diagrammatic reasoning. Machine
GRAPHICS & VISION, vol. 6 (1997), pp. 77-88.
8
Zaleca si czytelnikowi proste wiczenie: szybk ocen „na oko,” która z narysowanych figur jest najbli sza
idealnemu kwadratowi, a nast pnie sprawdzenie tego wra enia za pomoc pomiaru cyrklem lub linijka. Wynik
mo e si okaza zaskakuj cy...
9
Rudolf Arnheim: Visual Thinking. University of California Press, Berkeley, CA. 1969.
10
Zacytujmy te Adama Mickiewicza z Pana Tadeusza:
„Gdy na uczcie wzniósł zdrowie marszałek Rupeyko:
‘Wiwat Doweyko!’ – drudzy krzykn li: ‘Domeyko!’
A kto siedział w po rodku, nie trafił do ładu,
Zwłaszcza przy niewyra nej mowie w czas obiadu.”
2
22
11
Autor zagadki nie jest dokładnie znany; niektórzy podaj , e wymy lił j Lewis Carroll [Charles Dodgson]
(1832-1898), angielski matematyk i pisarz, autor znanych opowie ci o przygodach Alicji w krainie czarów.
12
Zob. David Gale: Tracking the Automatic Ant – And Other Mathematical Explorations. Springer-Verlag, New
York 1998, pp. 128-130. Opracowanie tego paradoksalnego zestawu cz ci autor przypisuje Jeanowi Brette,
kierownikowi departamentu matematyki w Palais de la Découverte – muzeum nauki w Pary u.
13
Oparte na kr cym w ród studentów arcie matematycznym nieznanego autora.
14
Zenon Kulpa: Obraz jest wart tysi ca słów, czyli tysi c i troch słów o diagramach. Tytuł roboczy, 2004.11
(003).
15
Ten „dowód,” w ró nych wariantach, mo na znale w ka dym ze zbiorów bł dnych rozumowa cytowanych
powy ej. Autorzy tych zbiorów nie podaj ródła jego pochodzenia. Wiadomo tylko, e „dowód” był znany ju
w XIX w.
16
O na ladowczo ci reprezentacji patrz: Zenon Kulpa: Co to s diagramy: czy to sposób na pomieszanie j zyków? Tytuł roboczy, 2004.12 (004).
23