Prawa Kirchhoffa - Open AGH e

Prawa Kirchhoffa
Autorzy: Zbigniew Kąkol, Piotr Morawski
W praktyce mamy do czynienia z bardzo złożonymi obwodami elektrycznymi zawierającymi rozgałęzienia i dużą liczbę źródeł
SEM. Wówczas przy znajdowaniu prądów i napięć posługujemy się prawami Kirchhoffa.
PRAWO
Prawo 1: Pierwsze prawo Kirchhoffa
Twierdzenie o punkcie rozgałęzienia. Algebraiczna suma natężeń prądów przepływających przez punkt rozgałęzienia
(węzeł) jest równa zeru.
∑i=1 n Ii = 0
(1)
PRAWO
Prawo 2: Drugie prawo Kirchhoffa
Twierdzenie o obwodzie zamkniętym. Algebraiczna suma sił elektromotorycznych i przyrostów napięć w dowolnym
obwodzie zamkniętym jest równa zeru (spadek napięcia jest przyrostem ujemnym napięcia).
∑i=1 n ϵi + ∑i=1 m Ii Ri = 0
(2)
Twierdzenie o obwodzie zamkniętym jest wynikiem zasady zachowania energii, a twierdzenie o punkcie rozgałęzienia wynika z
zasady zachowania ładunku.
Przy stosowaniu praw Kirchhoffa zakładamy jakiś kierunek prądu i jego natężenie w każdej gałęzi. Spadek napięcia pojawia się
gdy "przechodzimy" przez opornik w kierunku zgodnym z przyjętym kierunkiem prądu, a przyrost napięcia gdy przechodzimy
przez źródło SEM w kierunku od "-" do "+". Jeżeli w wyniku obliczeń otrzymamy ujemne natężenie prądu to znaczy, że rzeczywisty
kierunek prądu jest przeciwny do przyjętego.
PRZYKŁAD
Przykład 1: Dzielnik napięcia
Stosując tę metodę rozważymy, jako przykład, dzielnik napięcia pokazany na Rys. 1. Opory wewnętrzne źródeł SEM
pomijamy.
Rysunek 1: Dzielnik napięcia
Zastosowanie 2. prawa Kirchhoffa do zewnętrznej "dużej" pętli daje
ϵ2 − I2 R2 − I3 R1 = 0
(3)
ϵ1 − I3 R1 = 0
(4)
a dla wewnętrznej "małej" pętli
skąd wprost otrzymujemy natężenie prądu I3
ϵ1
R1
I3 =
(5)
Teraz odejmujemy stronami równań ( 3 ) i ( 4 )
ϵ2 − ϵ1 − I2 R2 = 0
(6)
i obliczamy natężenie prądu I2
I2 =
ϵ 2 −ϵ 1
R2
(7)
Dla węzła P stosujemy 1. prawo Kirchhoffa
I1 + I2 − I3 = 0
(8)
gdzie znaki "+" oznacza prądy wpływające do węzła, a znak " − " prądy wypływające. Stąd wyliczamy prąd I1
I1 = I3 − I2 =
ϵ1
R1
−
= ϵ1 ( R1 +
ϵ 2 −ϵ 1
R2
1
ϵ
1
) − R2
R2
2
(9)
gdzie podstawiliśmy uprzednio wyliczone wyrażenia na I3 i I2 .
Zauważmy, że możemy dobrać elementy obwodu tak, aby
(
ϵ1
1
R1
+ R1 )
=
ϵ2
R2
2
Wtedy prąd I1 = 0 i źródło ϵ1 nie daje żadnego prądu (praktycznie nie wyczerpuje się). Opornik R1 ma więc napięcie
określone przez ϵ1 , ale prąd pobiera z ϵ2 . Taki układ ma ważne zastosowanie praktyczne. Napięcie ϵ1 może być ogniwem
wzorcowym (zapewniając bardzo dokładne napięcie na R1 ), a odbiornik R1 może pobierać duży prąd (głównie z ϵ2 ).
ZADANIE
Zadanie 1: Zastosowanie praw Kirchhoffa
(10)
Treść zadania:
Spróbuj teraz samodzielnie znaleźć prądy I1 , I2 oraz I3 płynące w obwodzie pokazanym na Rys. 2. Przyjmij umowne
kierunki obchodzenia obwodów (oczek) takie jak zaznaczone strzałkami (zgodnie z ruchem wskazówek zegara). Podaj
wartości prądów przyjmując ϵ1 = 3 V, ϵ2 = 1.5 V, R1 = 1 Ω oraz R2 = 2 Ω. Czy rzeczywiste kierunki prądów są zgodne z
założonymi?
I1 =
I2 =
I3 =
Rysunek 2: Obwód elektryczny do zadania 1
ROZWIĄZANIE:
Dane:
ϵ1 = 3 V,
ϵ2 = 1.5 V,
R1 = 1 Ω,
R2 = 2 Ω.
Zastosowanie 2. prawa Kirchhoffa do pętli po lewej stronie daje
ϵ1 − I1 R1 = 0
ϵ
skąd obliczamy prąd I1 = R1
1
Po podstawieniu danych otrzymujemy I1 = 3 A
Zastosowanie 2. prawa Kirchhoffa do pętli po prawej stronie daje
−ϵ2 + I2 R2 = 0
ϵ
skąd obliczamy prąd I2 = R2
2
Po podstawieniu danych otrzymujemy I2 = 0.75 A
Dla węzła P stosujemy 1. prawo Kirchhoffa
I3 − I2 − I1 = 0
ϵ
ϵ
skąd obliczamy prąd I3 (podstawiając uprzednio otrzymane wyniki) I3 = R1 + R2
1
2
Po podstawieniu danych otrzymujemy I3 = 3.75 A
Otrzymaliśmy "dodatnie" wartości prądów więc założone kierunki są zgodne z rzeczywistymi.
http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-simulation.php?fileId=1047
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne
prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod
warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko
na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Czas generacji dokumentu: 2015-07-09 12:26:08
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php?
link=305cb9ba2bb82fcaafcd25b4cc2b5818
Autor: Zbigniew Kąkol, Piotr Morawski