Klasyfikacja wielomianów ortogonalnych

Klasyfikacja wielomianów ortogonalnych
maj 2014
Klasyfikacja wielomianów ortogonalnych
Równanie . . .
(3.64)
LWn (x) = −λn Wn (x)
przy ogólnej postaci operatora
L = α(x)
(3.65)
d2
d
+ β(x)
+ γ(x)
2
dx
dx

α(x) = α0 + α1 x + α2 x2 , 
β(x) = β0 + β1 x,

γ(x) = γ0 .
1. α(x) — funkcja kwadratowa
Nasze rozwiązanie to
Z
(3.66)
w(x)α(x) = C exp
x
β0 + β1 s
ds .
α0 + α1 s + α2 s2
Klasyfikacja wielomianów ortogonalnych
funkcja kwadratowa . . .
dla wygody
(3.67)
α(x)
=
1 − x2
(3.68)
β(x)
=
β0 + β1 x ≡ (q − p) − (p + q + 2)x,
gdzie nowa para współczynników p, q
(3.69)
q − p − (p + q + 2)x
q+1
p+1
β(x)
=
=
−
2
α(x)
1−x
1+x 1−x
otrzymujemy
(3.70)
w(x)α(x) = C(1 − x)p+1 (1 + x)q+1
albo
(3.71)
w(x) = C(1 − x)p (1 + x)q .
przyjmujemy zamiast powyższych równań:
(3.72)
(1 − x)p+1 (1 + x)q+1 ;
−1 ¬ x ¬ 1;
w(x)α(x) =
0
|x| > 1
p, q > −1
Klasyfikacja wielomianów ortogonalnych
wielomiany . . .
nazywają się wielomianami Jacobiego i oznaczane są zwykle
(3.73)
def
Wn (p, q; x) = Jnp,q (x);
−1 ¬ x ¬ 1.
Dla p = q = m; m > −1 mamy funkcje ultrakuliste Gegenbauera:
def
m,m
Gm
(x).
n (x) = Jn
Dla m = −1/2 mamy wielomiany Czebyszewa
def
Tn (x) = Jn−1/2,−1/2 (x)
i mające spore zastosowania w metodach numerycznych (zagadnienia
interpolacji funkcji, różniczkowanie numeryczne, itp.)
Dla m = 0 mamy wielomiany Legendre’a
def
Pn (x) = Jn0,0 (x).
Klasyfikacja wielomianów ortogonalnych
α(x) — funkcja liniowa
Kładziemy α = x i wykonujemy rachunki
Z x
β0 + β1 s
ds = Cxβ0 eβ1 x .
(3.74)
w(x)α(x) = C exp
s
postulując α w postaci funkcji liniowej dobrowolnie odrzucamy jeden
z dwóch stopni swobody problemu zostaje tylko jeden parametr.
Kładziemy C = 1, β1 = −1 i β0 = s + 1 (s > −1).
s+1 −x
x e ;
x ­ 0; s > −1
(3.75)
w(x)α(x) =
0
x < 0,
albo
(3.76)
w(x) =
xs e−x ;
0
x ­ 0; s > −1
x < 0.
dla s całkowitych: s = 0, 1, . . . są to stowarzyszone wielomiany
Laguerre’a; dla s = 0 – zwykłe
def
Wn (x; s) = Lsn (x);
Lsn (x) = (−1)s
ds
Ln+s (x).
dxs
Klasyfikacja wielomianów ortogonalnych
α(x) — stała
(3.77)
Z
w(x)α(x) = w(x) = C exp
x
β1
β0 2
(β0 + β1 s)ds = C exp
(x + ) .
2
β1
Przyjmując α(x) jako stałą zrezygnowaliśmy z obu stopni swobody
problemu. Kładziemy: C = 1, β0 = 0 i β1 = −2
(3.78)
2
w(x) = e−x ;
−∞ < x < ∞.
dopuszczamy możliwość zmienności x-a bez żadnych ograniczeń.
Wielomiany ortogonalne to — ostatnia z możliwości — wielomiany
Hermite’a:
Wn (x) = Hn (x)
Klasyfikacja wielomianów ortogonalnych
Wielomiany i ich towarzysze...
def
Wn (x; s) = Lsn (x);
Lsn (x) = (−1)s
ds
Ln+s (x).
dxs
także
def
(3.79) Plm (x) = (1 − x2 )m/2
dm
Pl (x);
dxm
l = 0, 1, . . .;
m = 0, 1, . . .l.
(dla m parzystego – wielomiany l−tego rzędu). Dla dowolnego m i l
są one ortogonalne w przedziale −1 ¬ x ¬ 1 z wagą w(x) = 1.
Twierdzenie: Jeżeli wielomiany {Wn (x)} stanowią układ
Sturma—Liouville’a, tzn. są ortogonalne w przedziale x ∈ (a, b)
(k)
z wagą w(x), to ciąg wielomianów {Wn (x)}, powstałych z k-krotnego
zróżniczkowania ciągu {Wn (x)}, stanowi też układ
Sturma—Liouville’a, ale z wagą w(x)αk (x).
Klasyfikacja wielomianów ortogonalnych
dowód:
dla k = 1 — dla większych wartości k prawdziwość twierdzenia
wynika z wnioskowania indukcyjnego. Musimy więc rozpatrzyć całkę
Z ∞
def
∗0
(3.80)
Imn =
Wm
(x)Wn0 (x)w(x)α(x)dx;
n, m ­ 1.
−∞
Całkując przez części a następnie korzystając z warunków
samosprzężoności operatora oraz z równania własnego i warunku
ortogonalności Wn (x) mamy:
Z ∞
∞
∗
∗
Imn = Wm
(x)Wn0 (x)w(x)α(x)|−∞ −
Wm
(x)Wn0 (x)[w(x)α(x)]0 dx
−∞
Z ∞
∗
Wm
−
(x)[α(x)Wn00 (x)]w(x)dx
−∞
Z ∞
∗
Wm
(x)Wn0 (x)[w(x)β(x)]dx
= −
−∞
Z ∞
∗
−
Wm
(x){−β(x)Wn0 (x) − [γ(x) + λn ]Wn (x)}w(x)dx
−∞
=
(γ0 + λn )δmn Nn .
Klasyfikacja wielomianów ortogonalnych
Wzór Rodriguesa. Funkcje tworzące.
(3.81)
Wn (x) = Wn
1 dn n
[α (x)w(x)],
w(x) dxn
gdzie stała Wn musi być wyznaczona według dodatkowych kryteriów
dn
jnp,q
(3.82) Jnp,q (x) =
[(1 − x)p+n (1 + x)q+n ]
(1 − x)p (1 + x)q dxn
n
m
2 −m d
(3.83) Gm
[(1 − x2 )n+m ]
n (x) = gn (1 − x )
dxn
dn
(3.84) Tn (x) = tn (1 − x2 )−1/2 n [(1 − x2 )n−1/2 ]
dx
dn
(−1)n
2 n
(3.85) Pn (x) = pn n [(1 − x ) ]; pn = n
dx
2 n!
n
1
x d
n −x
(3.86) Ln (x) = ln e
[x e ]; ln =
dxn
n!
n
s
s x −s d
n+s −x
(3.87) Ln (x) = ln e x
[x
e ]
dxn
n
2 d
2
(3.88) Hn (x) = hn ex
(e−x ; hn = (−1)n .
dxn
Klasyfikacja wielomianów ortogonalnych
Funkcje tworzące
Są to funkcje dwóch zmiennych: x i np. t;ich rozwinięcia w szeregi
MacLaurina względem zmiennej t:
(3.89)
g(x, t) =
∞
X
cn (x) tn .
k=0
Współczynniki cn to – w większości przypadków
cn (x) = Wn (x);
czasami będzie słuszne bardziej ogólne
cn (x) = Cn Wn (x),
(3.90)
gW (x, t) =
∞
X
Cn Wn (x) tn ,
k=0
wielomian Wn będzie określony jako
(3.91)
1 ∂ n gW (x, t) Wn (x) =
.
Cn n!
∂tn
t=0
Klasyfikacja wielomianów ortogonalnych