Wykład2 - Politechnika Białostocka

Zmienna losowa
METODY PROBABILISTYCZNE
I STATYSTYKA
WYKŁAD 2: ZMIENNA LOSOWA DYSKRETNA
Zmienną losową nazywamy dowolną funkcję X określoną na
przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω , o wartościach ze
zbioru R liczb rzeczywistych, mającą następujące
wartości: dla dowolnej ustalonej liczby rzeczywistej x zbiór
zdarzeń elementarnych ω, dla których spełniona jest
nierówność X(ω) < x, jest zdarzeniem.
Małgorzata Krętowska
Wydział Informatyki
Politechnika Białostocka
Rodzaje zmiennych losowych
Rodzaje zmiennych losowych
Zmienna dyskretna (skokowa)
Pojęcie dystrybuanty
Dystrybuanta zmiennej losowej X - funkcja
określona na całym zbiorze liczb rzeczywistych:
F(x) = P(X<x), x ∈ R
Zmienna ciągła
Funkcje opisujące rozkład zmiennej: Funkcje opisujące rozkład zmiennej:
funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
funkcja gęstości
dystrybuata
dystrybuanta
Podstawowe własności:
• 0 ≤ F(x) ≤ 1, dla każdego x ∈R
• limx→-∞ F(x)=0 i limx→+∞ F(x)=1
• funkcja niemalejąca
• jest funkcją lewostronnie ciągłą, czyli
F(x0-0) = F(x0), dla każdego x∈R
Zmienna losowa dyskretna
Zmienna losowa jest typu dyskretnego, jeżeli
istnieje skończony albo przeliczalny zbiór
Wx={x1, x2, ..., xn} jej wartości taki, że
P(X=xi) = pi, i ∈ N
Σi=1 pi = 1
gdzie górna granica sumowania wynosi n (zbiór
skończony) lub ∞ (zbiór przeliczalny).
Funkcje opisujące rozkład zmiennej
losowej dyskretnej
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa:
p(xi) = P(X=xi) = pi
xi
x1
x2
...
xn
...
pi
p1
p2
...
pn
...
Dystrybuanta
F(x) = P(X<x) =Σ-∞<x(i)<x pi
Przykłady
np. F(x2) = P(X<x2) = p1
Rozkłady zmiennej losowej
dyskretnej (1)
Rozkład równomierny (jednostajny)
xi
x1
x2
...
xn
pi
1/n
1/n
...
1/n
Rozkład zero-jedynkowy
xi
0
1
pi
q
p
gdzie q=1-p
Rozkłady zmiennej losowej
dyskretnej (2)
Rozkład Bernoulliego (dwumianowy, binomialny)
n
P ( X = k ) =   p k q n − k = Cnk p k q n − k
k 
gdzie k - liczba sukcesów w n próbach
p - prawdopodobieństwo sukcesu
q = 1-p
Interpretacja: prawdopodobieństwo k sukcesów w n próbach
Zadanie.
Prawdopodobieństwo tego, że statystyczny student nie jest
przygotowany do ćwiczeń jest p=1/3. Prowadzący zajęcia wybiera
przypadkowo 4 osoby. Niech X oznacza liczbę osób spośród
wybranych, które nie są przygotowane do ćwiczeń. Znaleźć P(X=3).
Rozkłady zmiennej losowej
dyskretnej (3)
Rozkłady zmiennej losowej
dyskretnej (4)
Rozkład ujemny dwumianowy (rozkład Pascala)
Pp ,l ( k )
 k − 1 l k −l
 p q = Ckl −−11 p l q k −l
= 
 l −1 
Rozkład geometryczny (Rozkład ujemny dwumianowy gdy l=1)
Pp(k) = p (1- p)k-1
Interpretacja: prawdopodobieństwo, że pierwszy sukces
nastąpi w k-tej próbie.
Rozkłady zmiennej losowej
dyskretnej (5)
Rozkład Poissona (rzadkich zdarzeń)
P( X = k ) = e
−λ
 M  N − M 

 
k  n − k  CMk C Nn −−kM

P( X = k ) =
=
C Nn
N
 
n
q=1-p
Interpretacja: prawdopodobieństwo, że l-ty sukces nastąpi w
k-tej próbie.
Rozkład hipergeometryczny
λk
k!
gdzie k=0, 1, 2. ...; λ=np.
Interpretacja: prawdopodobieństwo k sukcesów w n próbach.
Rozkład Poissona jest przybliżeniem rozkładu Bernoulliego dla dużych
prób:
n
λk
lim  p k q n − k = e −λ
n →∞ k
k!
 
W praktyce wykorzystujemy go, gdy: n ≥ 50, p ≤ 0.1; np ≤ 10
gdzie:
k- liczba sukcesów (np. wylosowanie elementu mającego cechę A)
n- liczba prób
M- liczba elementów mających cechę A
N - liczba wszystkich elementów
Interpretacja: prawdopodobieństwo k sukcesów w n
próbach