Ćwiczenia 9 – ZMIENNA LOSOWA DWUWYMIAROWA Y - E-SGH

Ćwiczenia 9 – ZMIENNA LOSOWA DWUWYMIAROWA
Y=yj
y1
y2
y3
p11
p21
p31
p12
p22
p32
pk1
p.1
pk2
p.2
...
yl
pi.
p13
p23
p33
p1l
p2l
P3l
p1.
p2.
p3.
pk3
p.3
pkl
p.l
p4.
1,00
X=xi
x1
x2
x3
...
xk
p.j
Przykład
Mamy 2 niezależne gry organizowane przez 2 podmioty. Prawdopodobieństwo wygrania nagrody w pierwszej
grze wynosi 1/20, a w drugiej 1/50. Zmienna losowa X wynosi 1, jeśli w pierwszej grze jest wygrana, 0 – jeśli
brak wygranej. Zmienna losowa Y wynosi 1, jeśli w drugiej grze jest wygrana, 0 – jeśli brak wygranej. Należy:
a. wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej XY,
b. wyznaczyć rozkłady brzegowe,
c. wyznaczyć rozkłady warunkowe.
Zadanie 1. W populacji 1500 studentów pewnej uczelni (1000 kobiet, 500 mężczyzn) odnotowano 40%
palących studentek oraz 60% palących studentów. Wylosowano osobę palącą. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że jest to kobieta?
Zadanie 2. Dany jest rozkład prawdopodobieństw pij dwuwymiarowej zmiennej losowej (XY).
Y=yj
1
2
3
X=xi
2
0,3 0,1 0,1
4
0,1 0,1 0,3
Należy:
a. Sprawdzić czy zmienne są zależne?
b. Wyznaczyć rozkłady warunkowe zmiennej Y.
c. Obliczyć wartość oczekiwaną ( | = 2) oraz wariancję ( | = 2)
Zadanie 3. Dwuwymiarowa zmienna losowa (XY) ma rozkład:
Y=yj
0
1
X=xi
1
0,3 0,1
4
0,1 0,2
7
0,2 0,1
Należy:
a. Wyznaczyć wartość oczekiwaną dwuwymiarowej zmiennj losowej (XY).
b. Wiedząc, że ( ) = 3,7 sprawdzić, czy zmienne X i Y są skorelowane.
Zadanie 4. Z talii kart (52 karty, w tym 13 kart w każdym kolorze) wyciągamy 1 kartę oraz jednokrotnie rzucamy
monetą. Rozpatrujemy zmienną losową (XY). X=1, gdy wyciągnięto asa; X=0, gdy wyciągnięto każdą inną kartę.
Y=1, jeżeli wyrzucono orła, Y=0 – gdy wyrzucono reszkę. Należy określić tabelarycznie rozkład
prawdopodobieństwa (XY). Wyznaczyć rozkłady brzegowe zmiennej losowej (XY) oraz ( = 1| = 1).
Zadania sprawdzające
Każdą odpowiedź jako: T – prawdziwą lub N – nieprawdziwą.
Zadanie 1.1
Jeżeli zmienne ( , są niezależne stochastycznie, to:
a. prawdopodobieństwa z rozkładów warunkowych są identyczne jak odpowiednie prawdopodobieństwa
z rozkładów brzegowych,
b. kowariancja zmiennych , będzie wynosić 0,
c. średnie warunkowe zmiennej są sobie równe i równe średniej ogólnej zmiennej .
Zadanie 1.2
Zmienna losowa dwuwymiarowa:
a. prawdopodobieństwo tej zmiennej zawsze mieści się w przedziale 1; 1 ,
b. wartość oczekiwana zmiennej XY jest sumą iloczynów jej rozkładów brzegowych.
c. znając wartości rozkładów brzegowych i realizacje zmiennej
, można wyznaczyć rozkłady
warunkowe.
Zadanie 1.3
Należy stwierdzić, czy stwierdzenie jest poprawne:
a. moment centralny rzędu 2. w dwuwymiarowym rozkładzie zmiennej , nazywamy kowariancją,
b. o zmiennych losowych i , dla których
,
0 mówimy, że są nieskorelowane,
c. wartością oczekiwaną rozkładu warunkowego (warunkową wartością oczekiwaną) zmiennej losowej ,
przy założeniu
dla zmiennej losowej skokowej jest suma iloczynu
oraz wyrażenia
.
.
Wzory – Zmienna losowa dwuwymiarowa
Zmienna losowa dwuwymiarowa
Rozkłady brzegowe
Zbiór prawdopodobieństw pi. nazywamy rozkładem brzegowym prawdopodobieństwa zmiennej X.
k
∑p
i.
i =1
=1
Zbiór prawdopodobieństw p.j nazywamy rozkładem brzegowym prawdopodobieństwa zmiennej Y.
l
∑p
j =1
.j
=1
Rozkłady brzegowe
Zmienna X
Zmienna Y
#
.= !
&
!
$%
&
.
"$%
&
.' = !
"
#
= !!
$% "$%
"
#
!
=1
"$%
&
."
$%
"
#
= !!
$% "$%
"
=1
Rozkład prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej (()) typu skokowego
Zbiór prawdopodobieństw pij nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej
losowej ( ) typu skokowego:
∑ ∑p
ij
i
=1
j
Niezależność zmiennych
Jeśli zmienne losowe i są niezależne, to ∧ , '+, = , =
∧ , ' ' = .∗ . '
(
"-
= +( =
) = ( ) ∗ ( )
Rozkłady warunkowe
•
Warunkowy rozkład
+, =
•
Warunkowy rozkład
=
pod warunkiem
/ =
"-
=
"/
=
+( = , =
+( = " )
")
=
"
.'
=
pod warunkiem
+, =
"
-=
+( = , =
+( = )
")
=
"
.
Kowariancja
I sposób
( , ) = [( − ( ))( − ( )] = (
II sposób
( , ) = ∑∑
' '−∑
.∙ ∑ ' . '
)– ( ) ( )
) ∗ +( =
")