Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa
Ćwiczenia 8
Definicja 1. Niech X ma rozkład {(xi , pi ) : i ∈ I}. Mówimy, że wartość oczekiwana zmiennej losowej
P
X istnieje, gdy
|xi |pi < ∞. Wtedy wartością oczekiwaną zmiennej losowej X nazywamy liczbę
i∈I
E(X) =
X
xi pi < ∞.
i∈I
W przeciwnym wypadku powiemy, że zmienna losowa nie ma wartości oczekiwanej.
Zadanie 1. Policzyć wartość oczekiwaną liczby oczek wyrzuconych przy jednokrotnym rzucie kostką.
Zadanie 2. Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej X o rozkładzie Bernoulliego z parametrami n, p.
Definicja 2. Załóżmy, że zmienna losowa X ma rozkład ciągły o gęstości f . Mówimy, że istnieje jej
wartość oczekiwana, gdy
Z
+∞
|x|f (x)dx < ∞
−∞
wartością oczekiwaną nazywamy wtedy liczbę
Z +∞
xf (x)dx.
E(X) =
−∞
Zadanie 3. Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym na odcinku
(a, b).
Własności 1. Jeżeli mamy zmienne losowe X1 , . . . , Xn oraz dla kazdej z nich istnieje wartość oczekiwana to
E(X1 + . . . Xn ) = E(X1 ) + . . . + E(Xn )
Zadanie 4. Niech zmienne losowa X opisuje sumę wyrzuconych oczek przy 500–krotnym rzucie
kostką. Ile wynosi E(X).
Własności 2. Niech ψ będzie dowolną funkcją.
a) Jeżeli zmienna X ma rozkład dyskretny {(xi , pi ) : i ∈ I} i wartość oczekiwana ψ(X) istnieje to
wyraża się wzorem:
X
E(ψ(X)) =
ψ(xi )pi
i∈I
b) Jeżeli zmienna X ma rozkład ciągły o gęstości f i wartość oczekiwana ψ(X) istnieje to wyraża się
wzorem:
Z
+∞
E(ψ(X)) =
ψ(x)f (x)dx
−∞
1
2
Zadanie 5. Niech X ma rozkład prawdopodobieństwa {(−1, 31 ), (0, 12 ), (1, 16 )}. Niech Y = X 2 .
Wyznaczyć E(X).
Zadanie 6. Zmienna losowa X ma gęstość
(
α·
0
f (x) =
√
x gdy x ∈ [0, 1]
gdy x ∈
/ [0, 1]
Oblicz E(X).
Definicja 3. Załóżmy, że E(X) = m. Jeżeli E((X − m)2 ) < ∞, to tę liczbę nazywamy wariancją
zmiennej losowej X o wartościach rzeczywistych i oznaczamy:
D2 X = E((X − m)2 )
Zadanie 7. Pokazać, że
D2 X = E(X 2 ) − E 2 (X)
Własności 3. Mamy następującą własność:
a) dla zmiennej o rozkładzie normalnym:
D2 X =
X
X
i∈I
i∈I
(xi − m)2 pi =
x2i pi − m2
b) dla zmiennej o rozkładzie ciągłym o gęstości f :
D2 X =
Z +∞
(x − m)2 f (x)dx =
Z +∞
x2 f (x)dx − m2
−∞
−∞
Zadanie 8. Obliczyć wariancję i odchylenie standardowe liczby oczek otrzymanych przy jednokrotnym rzucie kostką.
Zadanie 9. Wyznaczyć wariancję zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym na odcinku:
a) [0, 1]
b) [a, b]
Zadanie 10. Zmienna losowa X ma gęstość
(
f (x) =
Obliczyć:
a) parametr α
b) dystrybuantę zmiennej losowej X
c) wartość oczekiwaną EX
d) wariancję D2 X
e) dystrybuantę zmiennej losowej Y = eX
f) gęstość zmiennej losowej Y = eX
α · x gdy x ∈ [0, ln(3)]
0
gdy x ∈
/ [0, ln(3)]
3
g) prawdopodobieństwo P (X < 0)
h) prawdopodobieństwo P (Y < 1)
Zadanie 11. Zmienna losowa X ma gęstość
(
f (x) =
α
x3
0
gdy x > 1
gdy x ¬ 1
Obliczyć α, a następnie EX. Czy istnieje D2 X? (Dlaczego?).