files/I N niestacjonarne/websitelearning-1-03

Rok I
1
2
3
4
Temat 3
WYZNACZNIKI. MACIERZE C.D.
Definicja wyznacznika
Własności wyznaczników
Macierz odwrotna
Rząd macierzy
Definicja
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = [aij ]n × n stopnia n nazywamy wielomian
zmiennych aij przyporządkowany tej macierzy. Jeżeli elementy macierzy A są liczbami
wówczas wyznacznik tej macierzy jest liczbą.
Wyznacznik oznaczamy symbolami:
a11
a21
a12
a22
. . . a1n
. . . a2 n
.
a n1
.
. . . .
. . . ann
an 2
det A,
,
A , (determinant – łac. wyznacznik)
Wyznacznik det A macierzy A definiujemy indukcyjnie w następujący sposób:
1. n = 1, A = [ a11 ]
det A = a11 .
n
2. n > 1
det A =
∑a
∗
1i A 1i
i =1
n
=
∑ (− 1)
1+ i
a1i A 1i .
i =1
Wzór ten nazywamy rozwinięciem wyznacznika macierzy A względem elementów
i+ j
pierwszego wiersza. A ∗ij = (− 1) A ij nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu aij
macierzy A, natomiast A ij – podwyznacznikiem (minorem) stopnia n − 1 macierzy A
otrzymanym przez skreślenie elementów i-tego wiersza oraz j-tej kolumny macierzy A.
Dla n = 2 otrzymujemy
det A =
a11 a12
1+ 1
1+ 2
∗
∗
= a11A 11
+ a12 A12
= a11 ( − 1) A11 + a12 (− 1) A12 =
a21 a22
= a11A11 − a12 A 12 = a11 a22 − a12 a21 = a11a22 − a12 a21
Sposób Sarrusa
Wyznacznik stopnia trzeciego możemy obliczyć według następującego schematu. Z prawej
strony wyznacznika dopisujemy pierwszą i drugą kolumnę (lub pod wyznacznikiem
dopisujemy pierwszy i drugi wiersz). Następnie (rys. 1) obliczamy iloczyny elementów z
odpowiednim znakiem
a11
a12
a13
a11
a12
a21 a22
a23
a21 a22
det A =
= a11a22 a33 +...− a12 a21a33
a31 a32
−
−
a33
a31 a32
−
+
+
+
Rys. 1
Własności wyznaczników ułatwiające ich obliczanie.
1. Wyznacznik możemy rozwijać względem dowolnego wiersza (kolumny)
a11
.
a12
.
det A = ai1 ai 2
.
.
an1 an 2
. . . a1n
. . . .
n
. . . ain =
. . . .
. . . ann
∑
n
aij A ∗ij =
j =1
∑ (− 1)
i+ j
aij A ij
(i = 1, 2, ... n)
j =1
2. Wyznacznik danej macierzy A równa się wyznacznikowi macierzy transponowanej
det A = det A T
3. Jeżeli macierz B utworzona jest z macierzy A przez przestawienie miejscami dwóch
wierszy (kolumn), to wyznacznik zmienia wartość na przeciwną
det B = − det A
4. Wyznacznik macierzy mającej wiersz (kolumnę) złożoną z samych zer równa się zeru.
5. Mnożenie wyznacznika przez liczbę λ
polega na mnożeniu elementów jednego
dowolnego wiersza (kolumny) przez tę liczbę.
6. Wyznacznik macierzy, w której dwa wiersze (kolumny) są równe lub proporcjonalne
równa się zeru.
7. Wartość wyznacznika nie zmienia się, gdy do dowolnego wiersza (kolumny) dodamy inny
wiersz (kolumnę) pomnożony przez liczbę.
Twierdzenie
Suma iloczynów elementów wiersza (kolumny) i przez dopełnienia algebraiczne elementów
wiersza (kolumny) j równa się wartości wyznacznika, gdy i = j oraz równa się zeru gdy
i ≠ j:
det A, i = j,
*
*
*
ai1 A j1 + ai 2 A j 2 + ... + ain A jn = 
i ≠ j.
0,
det A, i = j,
*
*
*
a1i A1 j + a2i A2 j + ... + ani Anj = 
i ≠ j.
0,
Twierdzenie (tw. Cauchy’ego)
Wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych A i B równa się iloczynowi wyznaczników
tych macierzy.
det( AB) = det A det B
Definicja
Macierz kwadratową A = [aij ]nxn nazywamy macierzą nieosobliwą, gdy det A ≠ 0 .
Jeżeli det A = 0 , to macierz A nazywamy macierzą osobliwą.
Twierdzenie
Macierz odwrotna A−1 do macierzy kwadratowej A istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy A
jest macierzą nieosobliwą.
Definicja
Macierzą dołączoną A D macierzy kwadratowej A = [ aij ]nxn nazywamy macierz
*
*
A D = [ Aij ]T , gdzie [ Aij ] jest macierzą dopełnień algebraicznych elementów aij
macierzy A.
Twierdzenie
Jeżeli A jest macierzą nieosobliwą (det A ≠ 0) , to A−1 =
1
AD .
det A
Twierdzenie
Jeżeli A i B są macierzami kwadratowymi nieosobliwymi tego samego stopnia, to
( A ⋅ B) −1 = B −1 A −1 .
Twierdzenie (wybrane własności macierzy odwrotnej)
1. ( A −1 )T = ( AT ) −1 ,
1
2. det A −1 =
,
det A
3. (det −1 ) −1 = A .
Rząd macierzy
Definicja
Rzędem macierzy A = [ aij ] nxm nazywamy najwyższy stopień jej dowolnego
podwyznacznika (minora) różnego od zera.
Rząd macierzy A oznaczamy symbolem R(A) (lub (r(A)). Z definicji rzędu macierzy wynika,
że
0 ≤ R ( A) ≤ min(n, m) .
Definicja
Jeżeli macierz B = [bij ]nxm powstaje w wyniku dokonania skończonej liczby operacji
elementarnych na wierszach (kolumnach) macierzy A = [aij ]nxm , to A i B nazywamy
macierzami równoważnymi (oznaczamy A~B).
Twierdzenie
Macierz A i B są równoważne wtedy tylko wtedy, gdy ich rzędy są równe, czyli
A~B ⇔ R ( A) = R ( B )
Jeżeli macierz B równoważna macierzy A powstała w wyniku wielokrotnego wykonywania
operacji elementarnych na wierszach (kolumnach) macierzy A składa się z maksymalnej
liczby zer, wówczas rząd macierzy A ( R ( B ) = R ( A) ) równa się ilości kolumn (wiemy)
macierzy B, w których są elementy różne od zera.
Przykłady
1. Na podstawie definicji obliczyć wyznacznik macierzy A = aij
[ ]
3x 3
stopnia trzeciego.
Rozwiązanie
a11
det A = a21
a12
a22
a31 a32
= a11
a13
∗
∗
∗
+ a12 A 12
+ a13 A 13
= a11A 11 − a12 A 12 + a13 A 13 =
a23 = a11A 11
a33
a22
a23
a32
a33
− a12
a21 a23
a31
a13
+ a13
a21 a22
a31 a32
Ostatecznie (po obliczeniu wyznaczników stopnia drugiego) otrzymujemy
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a13
a23 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 +
a33
− a11a23a32 − a12 a21a33 − a13a22 a31
2. W oparciu o własności wyznacznika obliczyć wyznacznik macierzy
1
2

A = 3

2
3
2 3
5 1
1 4
1 1
1 −1
4 1
2 1 
1 0

2 5
1 − 1
Rozwiązanie
Ponieważ w kolumnie piątej i wierszu trzecim występuje zero możemy np. otrzymać jeszcze
trzy zera w kolumnie piątej wykonując następujące operacje elementarne na wierszach
macierzy A:
dodajemy wiersz piąty do wiersza pierwszego i drugiego oraz dodajemy do wiersza
czwartego wiersz piąty pomnożony przez 5.
Otrzymujemy wyznacznik
4 3 2 5 0
5 6 0 3 0
det A = 3 1 4 1 0 . Następnie det A rozwijamy względem piątego wiersza kolumny
17 6 − 4 7 0
3 1 −1 1 −1
4 3 2 5
5 6 0 3
det A = −1(−1) 5+5 A55 = −
3 1 4 1
17 6 − 4 7
Stosując operacje elementarne na wierszach możemy otrzymać zera w kolumnie trzeciej.
Mnożymy wiersz drugi przez 2 a następnie odejmujemy go od wiersza trzeciego i dodajemy
do wiersza czwartego i otrzymujemy w kolumnie trzeciej trzy zera.
4
3 2 5
5
6 0 3
det A = −
. Wyznacznik det A rozwijamy względem trzeciej kolumny.
−5 −5 0 −9
25 12 0 17
5
6
3
det A = −2 − 5 − 5 − 9 = 1060.
25 12 17
3 2 1 
3. Wyznaczyć macierz odwrotną A do macierzy A = 4 5 4 .
1 2 3
−1
Rozwiązanie
3 2 1
det A = 4 5 4 = 8 , ponieważ det A ≠ 0 macierz odwrotna do macierzy A istnieje.
1 2 3
Wyznaczamy elementy macierzy dopełnień algebraicznych
*
Aij = (−1) i + j Aij 1 ≤ i , j ≤ 3 .
[ ] [
5
2
4
*
A13 = A13 =
1
3
*
A22 = A22 =
1
2
*
A31 = A31 =
5
3
*
A33 = A33 =
4
*
A11 = A11 =
[A ]
*
ij
]
4
=7,
3
5
=3,
2
1
= 8,
3
1
= 3,
4
2
=7.
5
4
1
2
*
A21 = − A21 = −
2
3
*
A23 = − A23 = −
1
3
*
A32 = − A32 = −
4
*
A12 = − A12 = −
 7 −8 3 
*
= − 4 8 − 4 , A D = Aij
 3 − 8 7 
[ ]
T
4
= −8 ,
3
1
= −4
3
2
= −4 .
2
1
= −8 ,
4
 7 −4 3 
=  − 8 8 − 8,
 3 − 4 7 
1
7
 7 −4 3   8 − 2
1
1
A−1 =
A D = − 8 8 − 8 =  − 1 1
3
det A
8
1
 3 − 4 7  
−
2
 8
7
3 2 1   8
Możemy sprawdzić, że A ⋅ A −1 = 4 5 4 − 1
3
1 2 3 
 8
4
8

4. Obliczyć rząd macierzy A = 4

8
4
3
8
− 1
7

8 
1
2
1
1
−
2
−
3 −8 2 7 
6 − 7 4 2 
3 −5 2 3  .

6 − 1 4 − 6
3 1 2 − 5
3
1 0 0
8  

− 1 = 0 1 0.
7
 0 0 1
8 
Rozwiązanie
Stosujemy np. następujące operacje elementarne na wierszach macierzy A : od wiersza
drugiego i czwartego odejmujemy wiersz pierwszy pomnożony przez 2 oraz odejmujemy
wiersz pierwszy od wiersza trzeciego i piątego i otrzymujemy macierz B ( R ( A) = R ( B ) ):
7 
4 3 − 8 2
0 0 9 0 − 12 


B = 0 0 3 0 − 4  .


0 0 15 0 − 20
0 0 9 0 − 12 
Następnie od trzeciego wiersza macierzy B odejmujemy wiersz drugi pomnożony przez
od czwartego drugi pomnożony przez
Otrzymujemy macierz
4
0

C = 0

0
0
5
3
3
0
0
0
0
1
,
3
oraz od piątego drugi.
−8
9
0
0
0
2 7 
0 − 12
0 0 .

0 0 
0 0 
Ponieważ wiersz pierwszy i drugi macierzy nie zawierają odpowiednich elementów
proporcjonalnych nie otrzymamy kolejnego (pierwszego lub drugiego) wiersza zawierającego
wyłącznie zera. Stąd R (C ) = R ( B ) = R ( A) = 2 .
Zadania
1. Obliczyć wyznaczniki:
3 1 1 1
1 1 3 1
a)
;
1 3 1 1
1 1 1 3
2. Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy:
−1
1 
 1

a) − 38 41 − 34 ;
 27 − 29 24 
3. Określić rząd macierzy:
2 5 8 7 13
1 2 3 4 5 
;
a) 
0 1 2 − 1 3 


1 3 5 3 8 
Odpowiedzi
7
2 5

4  ; 3. a) 2 ;
1. a) − 48 ; 2. a) 6 3
5 − 2 − 3
Lp.
1
2
3
Literatura
Zbiór zadań z matematyki pod red. R. Krupińskiego. Skrypt
dla studentów AM w Szczecinie
Winnicki K., Landowski M.; Wykłady z matematyki. Skrypt
dla studentów AM w Szczecinie
Lassak. M. Matematyka dla studiów technicznych.
Supremum, 2006.
Rozdział
I§2
I § 1.2.
I