Soum rachunek

Matematyka dyskretna
© Andrzej Łachwa, UJ, 2013
[email protected]
7/15
Rachunek różnicowy
Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora pochodnej jest operator różnicowy , zdefiniowany dla dowolnej funkcji rzeczywistej f jako Operator ten będziemy jednak rozważać tylko dla funkcji określonych na zbiorze liczb naturalnych (czyli dla ciągów). Rozważając funkcję liczb naturalnych nie mamy możliwości badać granicy występującej w definicji pochodnej; w zamian za to rozważamy przy najmniejszej możliwej wartości stosowny iloraz przyrostu x, czyli wartości 1.
Przykłady działania operatora różnicowego
•
Dla funkcji mamy • Niech f(x) = (x!)2 dla xN
(Δf)(x) = Δ(x!)2= [(x+1)!]2 – (x!)2 = (x!) 2∙((x+1) 2 – 1)) = (x!) 2∙(x 2 +2x)
• Niech f(x) = ax dla xN
Δax = ax+1–ax = ax(a–1)
• Niech f(x) = x3 dla xN
Δ x3 = (x+1)3 – x3 = 3x2 + 3x + 1
Operator nazywamy n‐tą iteracją operatora różnicowego , gdzie
Przykład Dla funkcji mamy: ,


(Δ2f)(x) = (Δf)(x+1) – (Δf)(x) = (x+2)2 – (x+1)2 = 2x+3,

(Δ3f)(x) = (Δ2f)(x+1) – (Δ2f)(x) = 2(x+1)+3 – 2x–3 = 2,

.
Przykład obliczania wartości różnic dla funkcji wartości dziedziny (dla 0 i dla 1) i dla czterech iteracji:
dla dwóch Twierdzenie
Operator różnicowy jest operatorem liniowym, tzn.: Przykład
Weźmy wcześniej rozważaną funkcję (Δf)(x) = Δ(x2 – 4x + 1) = Δ(x2) – 4Δ(x) + Δ(10) = = (x+1)2 – x2 – 4 + 0 = 2x + 1 – 4 = 2x – 3 . Różniczkowanie jednomianów, czyli wielomianów typu , jest bardzo dla dowolnego . Własność ta nie przenosi się proste: jednak na operator : Dla operatora różnicowego odpowiednikiem wielomianu jest m‐ta dolna silnia x (m‐ta potęga ubywająca, m‐ta potęga krocząca), czyli wielomian zmiennej x, zdefiniowany jako dla oraz m‐ta górna silnia x (m‐ta potęga przybywająca), czyli wielomian zmiennej x, zdefiniowany jako dla Dodatkowo przyjmujemy, że . Zauważmy, że w odróżnieniu od zwykłego potęgowania mamy tu Twierdzenie
Dla zachodzi Policzmy:
Dla m=0 mamy Δ(x0) = (x+1)0 – x0 = 1 – 1 = 0 = 0∙x‐1. Dla m<0 wyprowadzimy ten wzór później.
Wniosek
Δ ( am xm) =  am Δ xm =  am ∙m∙xm‐1 m=1 … k
m=1 … k
m=1 … k
Przykłady
Δ2x = 2x+1 – 2x = 2x(2–1) = 2x
f(x)=Hx (funkcja harmoniczna)
ΔHx = Hx+1 – Hx =  (1/k) –  (1/k) = 1/(x+1) = ...
k=1..x+1
k=1..x
x2 = x(x‐1) x1 = x
x0 = 1
x‐1 = 1/(x+1) x‐2 = 1/(x+1)∙(x+2)
x‐m = 1/(x+1)∙(x+2)∙ … ∙(x+m)
… = x‐1 .
Twierdzenie o przekształceniu wielomianu
Dowolny wielomian k‐tego stopnia p(x) można jednoznacznie przedstawić w postaci , gdzie , , i ogólnie Twierdzenie to jest analogią Twierdzenia Taylora dla wielomianów. Dowód pomijamy w tym wykładzie. Korzysta on z faktu, iż ciąg dolnych silni jest bazą przestrzeni liniowej wielomianów. Wykorzystując powyższe twierdzenie możemy szybko różnicować dowolny wielomian p(x) licząc jedynie kolejne różnice . To z kolei dla wielomianu stopnia k sprowadza się do policzenia . wartości początkowych Przykład Aby policzyć najpierw wyrażamy nasz wielomian jako kombinacje dolnych silni. Do tego potrzebujemy współczynników:
Teraz korzystamy z twierdzenia o przekształceniu wielomianu: by dostać
Twierdzenie o różnicowaniu iloczynu ciągów
Δ(fg) = fΔg + gΔf gdzie g(x)=g(x+1) zwana operatorem przesunięcia
Z uwagi na przemienność mnożenia jest również: Δ(fg) = gΔf + fΔg.
Przykład
Δ (3x(x2+1)) = (x2+1)  Δ3x + 3x+1 Δ(x2+1) = = (x2+1)  (3x+1 – 3x) + 3x+1 ((x+1)2+1 – (x2+1)) =
= (x(x‐1)+1)  3x  (3–1) + 33x ((x+1)x+1 – (x(x‐1)+1)) =
= 2(x2‐x+1)  3x + 33x (x2+x+1 – (x2‐x+1)) =
= 3x2(x2‐x+1) + 3x3(2x) =
= 3x(2x2+4x+2)
Zadanie
Jak to jest możliwe, że Δ(fg) = fΔg + gΔf ,
Δ(gf) = gΔf + fΔg oraz
Δ(fg) = Δ(gf).
Sprawdźmy:
fΔg + gΔf = gΔf + fΔg
fΔg + g(x+1)Δf = gΔf + f(x+1)Δg
(g(x+1)‒g(x)) Δf = (f(x+1)‒f(x))Δg
Δg Δf = ΔfΔg
L=P
Sumy nieoznaczone i oznaczone
W rachunku różniczkowym operatorem odwrotnym do pochodnej jest całka: wtedy i tylko wtedy, gdy W rachunku różnicowym operatorem takim jest suma nieoznaczona:
wtedy i tylko wtedy, gdy gdzie C jest stałą rachunku różnicowego, czyli funkcją taką, że C(x+1)=C(x). W dziedzinie rzeczywistej jest to funkcja okresowa, a w dziedzinie całkowitej jest to funkcja stała.
Zauważmy, że wychodząc od funkcji poprzez i definiując mamy . Moglibyśmy więc zdefiniować sumę nieoznaczoną jako . Ponieważ dla dowolnej stałej , to ‐ podobnie jak w przypadku całki nieoznaczonej ‐ suma nieoznaczona zdefiniowana jest tylko z dokładnością do stałej addytywnej. Tak więc jest klasą funkcji których różnica równa jest . Następujące własności sumy nieoznaczonej wynikają wprost z własności operatora różnicy :
Dla funkcji oraz zachodzi: , , , dla .
Suma oznaczona funkcji o parametrach dla funkcji z klasy , tzn. takiej, że to , czyli . Zauważmy, ze definicja ta jest poprawna, tzn. nie zależy od wyboru funkcji , jako że stała, o którą dwie takie funkcje się różnią, zniesie się przy odejmowaniu. Nie będzie to bardzo zaskakujące po udowodnieniu poniższych własności sumy oznaczonej, które są analogiami własności całki oznaczonej.
Dla dowolnych całkowitych a, b, c zachodzi: ,
,
,
,
, o ile tylko .
Rachunek różnicowy w liczeniu sum skończonych
Wracamy teraz do rozważań o sumach skończonych. Zobaczymy, jak rachunek różnicowy może być pomocny w ich obliczaniu. Widzieliśmy już, to dokładnie , gdzie jest sumą nieoznaczoną że suma funkcji , tzn. . Wystarczy więc wyliczyć sumę nieoznaczoną. A proces ten jest bardzo podobny jak liczenie całek nieoznaczonych. W kolejnych przykładach zobaczymy, jak to można zrobić w praktyce. Przykład Dla policzenia sumy dolnych silni , to . Teraz już oczywiście . Podobnie przy liczeniu , gdzie i dostajemy odnotujmy najpierw, że skoro . , wykorzystujemy fakt, iż Przykład Dla policzenia sumy sześcianów potrzebujemy najpierw znaleźć sumę . W tym celu wykorzystujemy najpierw twierdzenie o nieoznaczoną przekształcaniu wielomianów do przedstawienia wielomianu jako kombinacji liniowej dolnych silni, dla których znamy już sumy nieoznaczone. Liczymy więc współczynniki typu skąd : a zatem Uwalniając się teraz od dolnych silni dostajemy, że to ostatnie wyrażenie wynosi Rozszerzymy teraz pojęcie dolnej silni na ujemne wykładniki kładąc : dla Prawa dla dolnej silni, które odnotowaliśmy dla wykładników naturalnych są zachowane. W szczególności mamy dla dowolnych : , , Δ xm = (x+1)m – xm = = 1 / [(x+2)(x+3)…(x+1–m)] – 1 / [(x+1)(x+2)…(x–m)] = = (x+1–x–1+m) / [(x+1)(x+2)… (x–m+1)] = mxm‐1
, dla .
Zajmiemy się teraz przypadkiem, którego nie potrafimy jeszcze sumować, tzn. wyrażeniem . Oczywiście to . to ‐sza liczba harmoniczna Widzieliśmy, że suma postaci oraz zachowuje się podobnie do logarytmu: Z rachunku całkowego wiemy natomiast, że . Następna obserwacja pokazuje, że podobieństwo to nie jest przypadkowe. oraz .
Mamy skąd natychmiast . Z kolei dyskretnym odpowiednikiem funkcji wykładniczej , która nie zmienia się przy różniczkowaniu, jest funkcja : Dla liczby rzeczywistej oraz W szczególności Istotnie, natychmiast mamy
. oraz .
, skąd (jeśli tylko . ) dostajemy Przykład Używając rachunku różnicowego policzymy teraz sumę skończonego ciągu z ilorazem . geometrycznego Sumowanie przez części
Poprzez analogię do rachunku różnicowego zastosujmy operator różnicowy do iloczynu funkcji Dostajemy stąd natychmiast następującą regułę sumowania przez części .
Przykład Dla policzenia sumy nieoznaczoną Teraz mamy już , wyznaczamy najpierw (przez części) sumę . Jest to łatwe, jako że , więc