Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki

Transkrypt

Macierze. Działania na macierzach.
Wyznacznik macierzy.
Układy Cramera
Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki
Macierze i wyznaczniki
Układy Cramera
Treść wykładu
Własności wyznacznika.
Układy Cramera.
Układy Cramera
Definicja macierzy
Niech K będzie ciałem (najczęściej R lub C).
Układy Cramera
Definicja macierzy
Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j),
1 ¬ i ¬ m, 1 ¬ j ¬ n jest przyporządkowany dokładnie jeden
element aij ciała K,
to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = [aij ] typu
m × n.
Układy Cramera
Definicja macierzy
m × n.
Macierz zapisujemy w postaci tablicy, np.:




A=
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...................
am1 am2 · · · amn



.

Układy Cramera
Definicja macierzy
m × n.
Macierz zapisujemy w postaci tablicy, np.:




A=
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...................
am1 am2 · · · amn



.

Rzędy poziome tej tablicy nazywamy wierszami, a rzędy pionowe
— kolumnami.
Układy Cramera
Rodzaje macierzy
Gdy m = n macierz nazywamy kwadratową.
Układy Cramera
Rodzaje macierzy
O elementach aii macierzy kwadratowej A mówimy, że tworzą
przekątną główną.
Układy Cramera
Rodzaje macierzy
O elementach aii macierzy kwadratowej A mówimy, że tworzą
przekątną główną.




A=
2
6
1
9
4
4
1
8
0
5
3
7
9
1
5
6



.

Układy Cramera
Rodzaje macierzy
Macierz, w której aij = 0 dla i < j (odpowiednio: aij = 0 dla i > j)
nazywamy dolnotrójkątną (odpowiednio: górnotrójkątną).
Układy Cramera
Rodzaje macierzy




A=
2
6
0
9
0
4
1
8
0
0
3
7
0
0
0
6



.

Układy Cramera
Rodzaje macierzy




A=
2
6
0
9
0
4
1
8
0
0
3
7
0
0
0
6



.

Jeśli aij = 0 dla i 6= j, to macierz nazywamy diagonalną.
Układy Cramera
Macierz transponowana
Jeśli w macierzy A zamienimy wiersze z kolumnami, to otrzymamy
macierz, którą nazywamy macierzą transponowaną macierzy A i
oznaczamy AT .
Układy Cramera
Jeśli w macierzy A zamienimy wiersze z kolumnami, to otrzymamy
macierz, którą nazywamy macierzą transponowaną macierzy A i
oznaczamy AT .
Jeśli A = [aij ] jest typu m × n, to AT = [aji ] jest typu n × m.
Układy Cramera


1 0
3 2


0 4 ,
A= 2 3
0 5 −1 5
Układy Cramera


1 0
3 2


0 4 ,
A= 2 3
0 5 −1 5




AT = 
1
0
3
2
2
0
3
5
0 −1
4
5



.

Układy Cramera
Dodawanie macierzy
Sumę A + B dwóch m-wierszowych i n-kolumnowych macierzy
A = [aij ] i B = [bij ] otrzymujemy po dodaniu odpowiadających
sobie wyrazów:
Układy Cramera
Dodawanie macierzy
sobie wyrazów:
A + B = [aij + bij ].
Układy Cramera
Dodawanie macierzy
sobie wyrazów:
A + B = [aij + bij ].
Działanie to jest łączne, przemienne, i ma element neutralny O (O
oznacza macierz, której wszystkie elementy są zerami):
A + O = O + A = A,
Układy Cramera
Dodawanie macierzy
sobie wyrazów:
A + B = [aij + bij ].
Działanie to jest łączne, przemienne, i ma element neutralny O (O
oznacza macierz, której wszystkie elementy są zerami):
A + O = O + A = A,
oraz dla każdej macierzy A istnieje element odwrotny względem
dodawania.
Układy Cramera
Mnożenie macierzy przez liczbę
Iloczyn cA macierzy A przez skalar c ∈ K określamy jako macierz
[caij ].
Układy Cramera
[caij ]. Oczywiście
1·A = A,
Układy Cramera
1·A = A,
c(dA) = (cd)A,
Układy Cramera
1·A = A,
c(dA) = (cd)A,
(c + d)A = cA + dA,
Układy Cramera
1·A = A,
c(dA) = (cd)A,
(c + d)A = cA + dA,
c(A + B) = cA + cB.
Układy Cramera
Iloczyn macierzy
Niech A(m × n) i B(n × p) będą macierzami.
Układy Cramera
Iloczyn macierzy
Niech A(m × n) i B(n × p) będą macierzami. Iloczynem AB
nazywamy macierz C(m × p) taką, że
cik =
n
X
aij bjk .
j=1
Układy Cramera
Iloczyn macierzy
Niech A(m × n) i B(n × p) będą macierzami. Iloczynem AB
nazywamy macierz C(m × p) taką, że
cik =
n
X
aij bjk .
j=1
Warunkiem istnienia iloczynu AB jest, by macierz A miała tyle
kolumn, ile macierz B ma wierszy.
Układy Cramera
Macierz jednostkowa
Macierz




I=
1 0 ... 0
0 1 ... 0
............
0 0 ... 1



.

nazywamy macierzą jednostkową.
Układy Cramera
Iloczyn macierzy – własności
1) Mnożenie macierzy jest łączne, tj. (AB)C = A(BC).
Układy Cramera
2) Dla macierzy A typu (m × n) i macierzy I stopnia n mamy
AI = A.
Układy Cramera
AI = A.
3) Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania, tj.
(A + B) · C = AC + BC,
A(B + C) = AB + AC.
Układy Cramera
AI = A.
(A + B) · C = AC + BC,
A(B + C) = AB + AC.
4) (aA) · B = a(AB), a(b(A)) = (ab)(A).
Układy Cramera
AI = A.
(A + B) · C = AC + BC,
A(B + C) = AB + AC.
4) (aA) · B = a(AB), a(b(A)) = (ab)(A).
5) Iloczyn macierzy transponujemy według wzoru
(AB)T = BT AT .
Układy Cramera
AI = A.
(A + B) · C = AC + BC,
A(B + C) = AB + AC.
4) (aA) · B = a(AB), a(b(A)) = (ab)(A).
5) Iloczyn macierzy transponujemy według wzoru
(AB)T = BT AT .
Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne.
Układy Cramera
Jeżeli A jest macierzą kwadratową, to można określić potęgę
A0 = I,
An = An−1 · A, n ∈ N.
Układy Cramera
A0 = I,
An = An−1 · A, n ∈ N.
Następnie dla dowolnego wielomianu
f (x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0
można obliczać jego wartość na macierzy A jako
f (A) = an An + an−1 An−1 + · · · + a1 A + a0 I.
Układy Cramera
A0 = I,
An = An−1 · A, n ∈ N.
f (x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0
f (A) = an An + an−1 An−1 + · · · + a1 A + a0 I.
"
Np. dla f (x) = 2x 2 − 3x + 4 i A =
1 2
−3 0
#
mamy
Układy Cramera
A0 = I,
An = An−1 · A, n ∈ N.
f (x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0
f (A) = an An + an−1 An−1 + · · · + a1 A + a0 I.
"
Np. dla f (x) = 2x 2 − 3x + 4 i A =
1 2
−3 0
#
mamy
f (A) = 2A2 − 3A + 4I =
Układy Cramera
A0 = I,
An = An−1 · A, n ∈ N.
f (x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0
f (A) = an An + an−1 An−1 + · · · + a1 A + a0 I.
"
Np. dla f (x) = 2x 2 − 3x + 4 i A =
1 2
−3 0
#
mamy
f (A) = 2A2 − 3A + 4I =
"
=2
−5
2
−3 −6
#
"
−3
1 2
−3 0
#
"
+4
1 0
0 1
#
"
=
−9 −2
3 −8
#
Układy Cramera
Twórcy rachunku macierzowego
Arthur Cayley (1821-1895)
James J. Sylvester (1814-1897)
Układy Cramera
Definicja wyznacznika
1) Jeżeli A = [a] jest macierzą stopnia 1, to jej wyznacznikiem
nazywamy liczbę a.
Układy Cramera
nazywamy liczbę a.
Piszemy
det A = a
lub
|A| = a.
Układy Cramera
nazywamy liczbę a.
Piszemy
det A = a
lub
|A| = a.
"
#
a11 a12
2) Jeżeli A =
jest macierzą stopnia 2, to jej
a21 a22
wyznacznikiem nazywamy liczbę
det A = a11 a22 − a12 a21 .
Układy Cramera
nazywamy liczbę a.
Piszemy
det A = a
lub
|A| = a.
"
#
a11 a12
2) Jeżeli A =
jest macierzą stopnia 2, to jej
a21 a22
wyznacznikiem nazywamy liczbę
det A = a11 a22 − a12 a21 .
Piszemy także
a
11
a21
a12
a22
= a11 a22 − a12 a21 .
Układy Cramera
3) Jeżeli




A=
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
..................
an1 an2 · · · ann



 jest macierzą stopnia n,

Układy Cramera
3) Jeżeli


a11 a12 · · · a1n
 a

 21 a22 · · · a2n 
A=
 .................. 
Mik oznacza wyznacznik stopnia n − 1 powstały przez
skreślenie w macierzy A i-tego wiersza i k-tej kolumny,
Układy Cramera
3) Jeżeli


a11 a12 · · · a1n
 a

 21 a22 · · · a2n 
A=
 .................. 
Aik = (−1)i+k Mik ,
Układy Cramera
3) Jeżeli


a11 a12 · · · a1n
 a

 21 a22 · · · a2n 
A=
 .................. 
to określamy
det A =
n
X
a1k A1k
k=1
Układy Cramera
3) Jeżeli


a11 a12 · · · a1n
 a

 21 a22 · · · a2n 
A=
 .................. 
to określamy
det A =
n
X
a1k A1k
k=1
Tę równość nazywamy rozwinięciem Laplace’a.
Układy Cramera
Liczbę Mik nazywamy podwyznacznikiem lub minorem macierzy
A, natomiast Aik — to dopełnienie algebraiczne elementu aik
macierzy A.
Układy Cramera
Liczbę Mik nazywamy podwyznacznikiem lub minorem macierzy
A, natomiast Aik — to dopełnienie algebraiczne elementu aik
macierzy A.
Piszemy także:
det A = a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
..................
.
Układy Cramera
Twierdzenie Laplace’a
Twierdzenie
Dla dowolnego 1 ¬ i ¬ n:
det A =
n
X
aij Aij
j=1
Układy Cramera
Twierdzenie
det A =
n
X
aij Aij
j=1
(rozwinięcie Laplace’a według i-tego wiersza)
Układy Cramera
Twierdzenie
det A =
n
X
aij Aij
j=1
(rozwinięcie Laplace’a według i-tego wiersza) oraz
det A =
n
X
aij Aij
i=1
Układy Cramera
Twierdzenie
det A =
n
X
aij Aij
j=1
(rozwinięcie Laplace’a według i-tego wiersza) oraz
det A =
n
X
aij Aij
i=1
(rozwinięcie Laplace’a według j-tej kolumny).
Układy Cramera
Laplace jest m.in. autorem dzieła
Exposition du systeme du monde
(1799). Według często
powtarzanej anegdoty, zapytany
przez Napoleona, dlaczego w tak
wielkim dziele o Wszechświecie
ani razu nie wspomniał o jego
Stwórcy, Laplace miał
odpowiedzieć: Najjaśniejszy
Panie, nie potrzebowałem tej
hipotezy.
Pierre-Simon de Laplace
(1749-1827)
Układy Cramera
Wyznacznik:
1
−4
−2
2
3
5
6
−1 −1
Układy Cramera
Wyznacznik:
1
−4
−2
2
3
5
6
−1 −1
można rozwinąć według pierwszego wiersza, otrzymując:
Układy Cramera
Wyznacznik:
1
−4
−2
2
3
5
6
−1 −1
5
6
1 · (−1)2 · −1 −1
Układy Cramera
Wyznacznik:
1
−4
−2
2
3
5
6
−1 −1
5
6
1 · (−1)2 · −1 −1
−4
6
+ 2 · (−1)3 · −2 −1
Układy Cramera
Wyznacznik:
1
−4
−2
2
3
5
6
−1 −1
5
6
1 · (−1)2 · −1 −1
+ 2 · (−1)3 · 4 + 3 · (−1) · +
−4
5 = ...
−2 −1 −4
6
−2 −1
Układy Cramera
Wyznacznik:
1
−4
−2
2
3
5
6
−1 −1
5
6
1 · (−1)2 · −1 −1
+ 2 · (−1)3 · 4 + 3 · (−1) · +
−4
5 = ...
−2 −1 −4
6
−2 −1
Ten sam wyznacznik można rozwinąć według drugiej kolumny:
Układy Cramera
Wyznacznik:
1
−4
−2
2
3
5
6
−1 −1
5
6
1 · (−1)2 · −1 −1
+ 2 · (−1)3 · 4 + 3 · (−1) · +
−4
5 = ...
−2 −1 −4
6
−2 −1
−4
6
2 · (−1) · −2 −1
3
+
Układy Cramera
Wyznacznik:
1
−4
−2
2
3
5
6
−1 −1
5
6
1 · (−1)2 · −1 −1
+ 2 · (−1)3 · 4 + 3 · (−1) · +
−4
5 = ...
−2 −1 −4
6
−2 −1
−4
6
2 · (−1) · −2 −1
3
+
1
3
5 · (−1) · −2 −1
4
+
Układy Cramera
Wyznacznik:
1
−4
−2
2
3
5
6
−1 −1
5
6
1 · (−1)2 · −1 −1
+ 2 · (−1)3 · 4 + 3 · (−1) · +
−4
5 = ...
−2 −1 −4
6
−2 −1
−4
6
2 · (−1) · −2 −1
3
1
3 5 · (−1) · +
−2 −1 1 3 + (−1) · (−1)5 · = ...
−4 6 +
4
Układy Cramera
Korzystnie jest rozwijać wyznacznik według wiersza (kolumny) z
dużą liczbą zer.
Układy Cramera
dużą liczbą zer.
4 −2
3 0 4
0 −5 6 =
2 −3 −1 0 0
0 −2 0 Macierze i wyznaczniki
Układy Cramera
dużą liczbą zer.
4 −2
3 0 4 −2
3
4
0 −5 6 6 = 6 · (−1) · 2 −3 −1
2 −3 −1 0 0
0 −2
0
0 −2 0 Macierze i wyznaczniki
=
Układy Cramera
dużą liczbą zer.
=
4 −2
3 0 4 −2
3
4
0 −5 6 6 = 6 · (−1) · 2 −3 −1
2 −3 −1 0 0
0 −2
0
0 −2 0 4 −2
6 · (−2) · (−1)6 · 2 −3
=
=
Układy Cramera
dużą liczbą zer.
=
4 −2
3 0 4 −2
3
4
0 −5 6 6 = 6 · (−1) · 2 −3 −1
2 −3 −1 0 0
0 −2
0
0 −2 0 4 −2
6 · (−2) · (−1)6 · 2 −3
=
= − 12(−12 + 4) = 96.
Układy Cramera
dużą liczbą zer.
=
4 −2
3 0 4 −2
3
4
0 −5 6 6 = 6 · (−1) · 2 −3 −1
2 −3 −1 0 0
0 −2
0
0 −2 0 4 −2
6 · (−2) · (−1)6 · 2 −3
=
= − 12(−12 + 4) = 96.
Rozwinęliśmy według IV kolumny; równie dobre byłoby rozwinięcie
według IV wiersza.
Układy Cramera
Własności wyznacznika
Układy Cramera
1) Wyznacznik macierzy dolnotrójkątnej (górnotrójkątnej,
diagonalnej) jest iloczynem elementów przekątnej głównej.
Układy Cramera
2) Wyznacznik macierzy A równy jest wyznacznikowi macierzy AT ,
det A = det AT .
Układy Cramera
det A = det AT .
3) Jeżeli macierz A ma wiersz (kolumnę) złożony z samych zer, to
det A = 0.
Układy Cramera
det A = det AT .
det A = 0.
4) Zamiana dwóch wierszy (kolumn) macierzy zmienia znak jej
wyznacznika.
Układy Cramera
det A = det AT .
det A = 0.
4) Zamiana dwóch wierszy (kolumn) macierzy zmienia znak jej
wyznacznika.
5) Jeżeli dwa wiersze (dwie kolumny) wyznacznika macierzy A są
równe, to det A = 0.
Układy Cramera
6) Wspólny czynnik wszystkich elementów jednego wiersza (jednej
kolumny) można wynieść przed znak wyznacznika.
Układy Cramera
6) Wspólny czynnik wszystkich elementów jednego wiersza (jednej
kolumny) można wynieść przed znak wyznacznika.
7) Jeżeli dwa wiersze (dwie kolumny) wyznacznika macierzy A są
proporcjonalne, to det A = 0.
Układy Cramera
8)
=
a11
a12
···
a1n
a21
a22
···
a2n
................................. ∗
∗
∗ =
ai1 + ai1
ai2 + ai2
· · · ain + ain
................................. an1
an2
···
ann
a11 a12 · · · a1n a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + ∗
∗
∗ ai2
· · · ain
ai1 ai2 · · · ain ai1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a
··· a . a
a
··· a a
n1
n2
nn
n1
n2
nn
Układy Cramera
9) Jeżeli do elementów jednego wiersza (jednej kolumny)
wyznacznika dodamy odpowiednie elementy innego wiersza (innej
kolumny) pomnożone przez dowolną liczbę, to wartość
wyznacznika nie ulegnie zmianie.
Układy Cramera
Układ równań liniowych
Równanie postaci:
a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b
Układy Cramera
Równanie postaci:
a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b
nazywamy równaniem liniowym o n niewiadomych x1 , x2 , . . . , xn .
Układy Cramera
Równanie postaci:
a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b
Ciąg n liczb (s1 , s2 , . . . , sn ) nazywa się rozwiązaniem tego
równania, jeśli zachodzi
a1 s1 + a2 s2 + . . . + an sn = b.
Układy Cramera
Równanie postaci:
a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b
a1 s1 + a2 s2 + . . . + an sn = b.
Skończony zbiór równań liniowych o niewiadomych x1 , x2 , . . . , xn
nazywa się układem równań liniowych.
Układy Cramera
Równanie postaci:
a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b
a1 s1 + a2 s2 + . . . + an sn = b.
Ciąg n liczb (s1 , s2 , . . . , sn ) nazywa się rozwiązaniem układu, jeśli
jest rozwiązaniem każdego równania tego układu.
Układy Cramera
Równanie postaci:
a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b
a1 s1 + a2 s2 + . . . + an sn = b.
Ciąg n liczb (s1 , s2 , . . . , sn ) nazywa się rozwiązaniem układu, jeśli
jest rozwiązaniem każdego równania tego układu.
Układ, który nie ma rozwiązań, nazywamy sprzecznym.
Układy Cramera
Układ Cramera
Układ n równań o n niewiadomych
Układy Cramera
Układ Cramera
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
............................................
an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn
(1)
Układy Cramera
Układ Cramera
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
............................................
an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn
nazywa się układem Cramera, jeśli
det A = det[aij ] 6= 0.
(1)
Układy Cramera
Układ Cramera
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
............................................
an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn
(1)
Macierz A nazywamy macierzą układu, a det A wyznacznikiem
układu.
Układy Cramera
Układ Cramera
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
............................................
an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn
(1)
Macierz A nazywamy macierzą układu, a det A wyznacznikiem
układu.
Macierz A spełniającą warunek det A 6= 0 nazywamy nieosobliwą.
Układy Cramera
Twierdzenie (Cramera)
Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Układy Cramera
Jest one dane wzorem:
xk =
det Ak
det A
(k = 1, 2, . . . , n)
(2)
Układy Cramera
Jest one dane wzorem:
xk =
det Ak
det A
(k = 1, 2, . . . , n)
gdzie macierz Ak powstaje z macierzy A przez zastąpienie k-tej
kolumny kolumną utworzoną z wyrazów b1 , b2 , . . . , bn .
(2)
Układy Cramera
Lemat
Niech A = [aij ] będzie macierzą kwadratową, Aij dopełnieniem
algebraicznym elementu aij .
Układy Cramera
Lemat
Jeżeli i 6= k, to
n
X
aij Akj = 0.
j=1
Układy Cramera
Lemat
Jeżeli i 6= k, to
n
X
aij Akj = 0.
j=1
Podobnie, jeśli j 6= k, to
n
X
aij Aik = 0.
i=1
Układy Cramera
Dowód: suma
n
P
aij Akj = 0 jest rozwinięciem Laplace’a
j=1
wyznacznika, którego i-ty i k-ty wiersz jest taki sam.
Układy Cramera
Dowód: suma
n
P
j=1
Taki wyznacznik równy jest 0.
Układy Cramera
Dowód: suma
n
P
j=1
Taki wyznacznik równy jest 0.
Analogicznie, druga suma jest wyznacznikiem, który ma dwie
kolumny (j-tą i k-tą) równe.
Układy Cramera
Dowód twierdzenia Cramera.
Krok 1. Wykażemy, że jeśli układ ma rozwiązanie x1 , x2 , . . . , xn ,
to
det Ak
xk =
(k = 1, 2, . . . , n).
det A
Układy Cramera
to
det Ak
xk =
(k = 1, 2, . . . , n).
det A
Załóżmy, że x1 , x2 , . . . , xn jest rozwiązaniem układu.
Układy Cramera
to
det Ak
xk =
(k = 1, 2, . . . , n).
det A
Pomnożymy kolejne równania przez dopełnienia A1k , A2k , . . . , Ank
elementów k-tej kolumny:
Układy Cramera
to
det Ak
xk =
(k = 1, 2, . . . , n).
det A
a11 x1 + a12 x2 + · · ·
+ a1n xn = b1 / · A1k
Układy Cramera
to
det Ak
xk =
(k = 1, 2, . . . , n).
det A
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 / · A1k
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 / · A2k
....................................................
an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn / · Ank
Układy Cramera
a11 x1 · A1k
+ a12 x2 · A1k
+ ···
+ a1n xn · A1k
= b1 A1k
Układy Cramera
a11 x1 · A1k + a12 x2 · A1k + · · · + a1n xn · A1k = b1 A1k
...............................................................
an1 x1 · Ank + an2 x2 · Ank + · · · + ann xn · Ank = bn Ank
Układy Cramera
...............................................................
a następnie dodamy wszystkie równania stronami:
Układy Cramera
...............................................................
a następnie dodamy wszystkie równania stronami:
n
X
!
ai1 Aik x1 + · · · +
i=1
+ ··· +
n
X
i=1
n
X
!
aik Aik xk +
!
ain Aik xn =
i=1
n
X
i=1
(od razu pogrupowaliśmy składniki lewej strony według
niewiadomych).
bi Aik
Układy Cramera
Na podstawie lematu wnioskujemy, że po lewej stronie tylko jeden
składnik jest niezerowy — ten zawierający xk .
Układy Cramera
Współczynnik przy tej niewiadomej wynosi det A.
Układy Cramera
Prawa strona jest rozwinięciem wyznacznika det Ak .
Układy Cramera
Prawa strona jest rozwinięciem wyznacznika det Ak . Zatem
det A · xk = det Ak ,
Układy Cramera
Prawa strona jest rozwinięciem wyznacznika det Ak . Zatem
det A · xk = det Ak ,
skąd
xk =
det Ak
,
det A
k = 1, 2, . . . , n.
Układy Cramera
Krok 2. Wiemy na razie, że jeżeli układ ma rozwiązanie, to jest
ono określone wzorami Cramera.
Układy Cramera
Krok 2. Wiemy na razie, że jeżeli układ ma rozwiązanie, to jest
ono określone wzorami Cramera.
Sprawdzimy, że istotnie liczby xk określone tymi wzorami spełniają
równania układu.
Układy Cramera
Po podstawieniu do s-tego równania otrzymujemy:
Układy Cramera
as1
det A2
det An
det A1
+ as2
· · · + asn
=
det A
det A
det A
Układy Cramera
as1
=
det A2
det An
det A1
+ as2
· · · + asn
=
det A
det A
det A
1 h
as1 (b1 A11 + · · · + bn An1 ) + · · · +
det A
i
+asn (b1 A1n + · · · + bn Ann ) =
Układy Cramera
as1
=
det A2
det An
det A1
+ as2
· · · + asn
=
det A
det A
det A
1 h
as1 (b1 A11 + · · · + bn An1 ) + · · · +
det A
i
+asn (b1 A1n + · · · + bn Ann ) =
=
1 h
b1 (as1 A11 + · · · + asn A1n ) + · · · +
det A
i
+bn (as1 An1 + · · · + asn Ann ) =
Układy Cramera
as1
=
det A2
det An
det A1
+ as2
· · · + asn
=
det A
det A
det A
1 h
as1 (b1 A11 + · · · + bn An1 ) + · · · +
det A
i
+asn (b1 A1n + · · · + bn Ann ) =
=
1 h
b1 (as1 A11 + · · · + asn A1n ) + · · · +
det A
i
+bn (as1 An1 + · · · + asn Ann ) =
=
1
bs · det A =
det A
Układy Cramera
as1
=
det A2
det An
det A1
+ as2
· · · + asn
=
det A
det A
det A
1 h
as1 (b1 A11 + · · · + bn An1 ) + · · · +
det A
i
+asn (b1 A1n + · · · + bn Ann ) =
=
1 h
b1 (as1 A11 + · · · + asn A1n ) + · · · +
det A
i
+bn (as1 An1 + · · · + asn Ann ) =
=
1
bs · det A = bs .
det A
Układy Cramera
Przykład
x1
2x1
3x1
4x1
+ 2x2
+ x2
+ 2x2
+ 3x2
+ 3x3
+ 2x3
+ x3
+ 2x3
+ 4x4
+ 3x4
+ 2x4
+ x4
=
5
=
1
=
1
= −5 .
Układy Cramera
Przykład
x1
2x1
3x1
4x1
+ 2x2
+ x2
+ 2x2
+ 3x2
+ 3x3
+ 2x3
+ x3
+ 2x3
+ 4x4
+ 3x4
+ 2x4
+ x4
=
5
=
1
=
1
= −5 .
Obliczamy kolejno wyznaczniki:
Układy Cramera
Przykład
x1
2x1
3x1
4x1
+ 2x2
+ x2
+ 2x2
+ 3x2
+ 3x3
+ 2x3
+ x3
+ 2x3
+ 4x4
+ 3x4
+ 2x4
+ x4
=
5
=
1
=
1
= −5 .
Obliczamy kolejno wyznaczniki:
det A = 1
2
3
4
2
1
2
3
3
2
1
2
4
3
2
1
= −20,
Układy Cramera
5
1
det A1 = 1
−5
2
1
2
3
3
2
1
2
4
3
2
1
= 40,
Układy Cramera
5 2
1 1
det A1 = 1 2
−5 3
1
5
2
1
det A2 = 3
1
4 −5
3
2
1
2
3
2
1
2
4
3
2
1
4
3
2
1
= 40,
= −40,
Układy Cramera
det A3 = 1
2
3
4
2
5
1
1
2
1
3 −5
4
3
2
1
= 60,
Układy Cramera
1
2
det A3 = 3
4
1
2
det A4 = 3
4
2
5
1
1
2
1
3 −5
2
1
2
3
4
3
2
1
3
5
2
1
1
1
2 −5
= 60,
= −60.
Układy Cramera
Zatem
x1 =
det A1
= −2,
det A
Układy Cramera
Zatem
x1 =
det A1
= −2,
det A
x2 =
det A2
= 2,
det A
Układy Cramera
Zatem
x1 =
det A1
= −2,
det A
x2 =
x3 =
det A2
= 2,
det A
det A3
= −3,
det A
Układy Cramera
Zatem
x1 =
det A1
= −2,
det A
x2 =
x3 =
det A2
= 2,
det A
det A3
= −3,
det A
x4 =
det A4
= 3.
det A
Układy Cramera
Układ jednorodny
Układ (1) dla b1 = b2 = . . . = bn = 0 nazywamy układem
jednorodnym.
Układy Cramera
Układ jednorodny
jednorodnym.
Jeżeli jest on układem Cramera, to ma tylko rozwiązanie zerowe,
Układy Cramera
Układ jednorodny
jednorodnym.
bo det Ak = 0 dla k = 1, 2, . . . , n.
Układy Cramera
Układ jednorodny
jednorodnym.
bo det Ak = 0 dla k = 1, 2, . . . , n.
Wniosek
Układ jednorodny ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy,
gdy det A = 0.
Układy Cramera
Układ jednorodny
jednorodnym.
bo det Ak = 0 dla k = 1, 2, . . . , n.
Wniosek
Układ jednorodny ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy,
gdy det A = 0.
Wówczas rozwiązań jest nieskończenie wiele.

Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki

Transkrypt

Podobne dokumenty

Lista zadań 3 – Macierze, Wyznaczniki, Układy Równań

Macierze odwrotne i układy ro wnan

Izomacierze

Zestaw 5. 1. Znaleźć macierze odwrotne do macierzy: A = ( 2 3 1 4

CWICZENIA Z ALGEBRY LINIOWEJ I GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ćwiczenia i zadania

Sylabus przedmiotu „Algebra liniowa w geodezji” I semestr studiów

Wykonaj działania na przedstawionych macierzach :

Instrukcja do ćwiczenia