Macierze odwrotne i układy ro wnan

Macierze odwrotne i układy ro wnan
1. Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy:
1 −2 3
a) 𝐴 = [3 1 4];
2 5 1
1
b) 𝐵 = [1
0
0 1
1 3].
1 3
2. Za pomocą macierzy odwrotnej rozwiązać równanie:
1
a) [2
2
2 1
1 0
1 3] ∙ 𝑋 = [ 0 1] ;
−1 4
1 2
c) 𝐴 ∙ 𝑋 ∙ 𝐴−1 = 𝐵, jeśli 𝐴 = [
1 3
b) 𝑋 ∙ [1 2
1 1
1 2
3
], 𝐵 = [
3 4
9
6
2 4
3] = [
5 9
1
7
];
14
−1
].
−3
3. Wykazać, że dla dowolnych macierzy kwadratowych 𝐴 i 𝐵 (tego samego stopnia) prawdziwa jest
1 2
3 −2
równość (𝐴 ∙ 𝐵)−1 = 𝐵 −1 ∙ 𝐴−1. Sprawdzić ten wzór dla 𝐴 = [
]i 𝐵 =[
].
4 9
−1 1
4. Czy istnieją takie macierze odwracalne 𝐴 i 𝐵, że (𝐴 + 𝐵)−1 = 𝐴−1 + 𝐵−1 ?
(Zadanie z egzaminu na ocenę celującą doc. Z. Skoczylasa)
5. Stosując wzory Cramera rozwiązać układ równań:
𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 3
a) { 2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 5 ;
𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 13
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 2𝑡 = 0
−2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 + 3𝑡 = 2
b) {
.
2𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 0
3𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 − 𝑡 = 0
6. Metodą eliminacji rozwiązać układ równań:
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 1
a) { −𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 3 ;
2𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 11
𝑥+𝑦+𝑧 = 2
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 1
b) {
;
2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 3
3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 + 𝑡 = 1
c) {2𝑥 + 7𝑦 + 3𝑧 + 5𝑡 = 4 ,
𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 + 4𝑡 = 2
𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 + 4𝑡 = 1
d) {3𝑥 + 5𝑦 + 13𝑧 + 10𝑡 = 9 .
𝑥 + 4𝑦 + 9𝑧 + 𝑡 = 10
𝑝𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 3
7. Określić liczbę rozwiązań układu równań { 𝑥 + 𝑝𝑦 + 𝑧 = 3 w zależności od parametru 𝑝.
𝑥+𝑦 + 𝑧 =2
8. Obliczyć pole części wspólnej czterech kół, których środki znajdują się w wierzchołkach kwadratu
o boku 𝑎 = 1, o promieniach równych długości boku tego kwadratu.