CWICZENIA Z ALGEBRY LINIOWEJ I GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ĆWICZENIA Z ALGEBRY LINIOWEJ I GEOMETRII ANALITYCZNEJ
Zestaw III: macierze, wyznaczniki, macierze odwrotne
1. Dla danych macierzy wyznaczyć A + B, A − C, A + B + C, A − 2B + 3C, AT B, AT A,
AAT , B T C.
"
A=
#
2 5 −1
5 6 5
"
B=
1 1 2
1 −1 0
#
"
C=
1 −5 − 12
2
−1 1
3
#
3
−1
2
5

2. Dane sa, macierze:
"
A=
1 1 0
−1 2 1



2 −1 1 2
1
1 5 
B=
 3

−1 2 −1 1
#



C=




Sprawdzić, czy (AB)C = A(BC). Czy istnieje macierz BAC?
3. Obliczyć wartość wielomianu f (X) = 3X 2 − 5X 1 + 2X 0 dla


−2 3
1

5 −2 
A= 4

2 −1 0
gdzie X 0 = E.
4. Wyznaczyć macierze A, dla których zachodza, równości:
"
1 1
2 1
#
"
A=A
"
1 1
2 1
1 1 2
0 1 1
#
#
"
"
A=
7 3
2 1
1 3
1 2
#
"
X=
1 0 1
0 1 1
#
"
A2 =
0 0
0 0
#
#
5. Czy w zbiorze macierzy kwadratowych stopnia n prawdziwe sa, wzory (udowodnić dla
n = 2 lub wskazać kontrprzyklad):
a) (AB)2 = A2 B 2 ,
b) (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 ,
c) (AB)T = B T AT ,
d) (A + B)T = AT + B T ,
e) (A + E)2 = A2 + 2A + E,
f ) AAT = 0 → A = 0.
Wyznaczniki, macierz odwrotne
1. Obliczyć wyznaczniki:
3 1 2
−1 5 1
6 1 2
3
3
3
3
1
3
3
3
1
1
3
3
,
1
1
1
3
1 −1 2
0 6 1
2 −2 4
,
1
5
4
8
2
6
3
7
3
7
2
6
,
4
8
1
5
,
1 −1 2 3
0 5 7 9
2 −3 4 7
3 1 13 19
2
2
2
2
5
2
2
2
5
2
2
2
5
2
2
2
5
2
2
2
= 0.
2. Nie rozwijajac
, wyznaczników wykazć równości:
a b+c m
a − b m − n r − s b) b c + a m
a) b − c n − p s − t = 0,
c a+b m
c−a p−m t−r ,
5
2
2
2
2
,
3 −3 4
1 −1 2
2 1
0
3 0 −5
2
2
6
2
1
0
3
0
5
0
2
3
4
0
0
0
3
0
0
0
4
3
2
0
,
5
0
3
0
1
Nie rozwijajac
równanie i nierówność:
, wyznaczników rozwiazać
,
a)
1
1
1
1
−1 1 − x −1 −1
= 0,
2
2
2+x 2
3
3
3
x
b)
1
1
3
x
1
1
2
3
x
1
1 1 1 1 x 2 x −1 0 < 0,
x x2 0 1 2 1 Znaleźć zbiór tych liczb zespolonych z, dla których macierz:


1
0
z


A= 0 1+z 0 
z
0
1
jest nieosobliwa. Obliczyć A−1 dla z = i.
Korzystajac
, z definicji macierzy odwrotnej znaleźć macierz odwrotna, do macierzy:


2 0 0


 3 5 0 
4 2 6
Za pomoca, przeksztalceń elementarnych znaleźć macierz odwrotna, do macierzy:





0
0
0
3
0
0
2
0
1
1
0
0
0
1
0
0



,



1 −1 0


 0 −1 1  ,
1 0 1
Rozwiazać
równanie za pomoca, macierzy odwrotnej:
,


"
#
−1 1 2
8 4 0


a) X ·  1 1 0  =
,
−4 8 4
0 1 −1




1 1
2
1




b)  1 −1 −1  · X =  1  .
2 1 −1
2
W zbiorze macierzy kwadratowych n - tego stopnia rozwiazać
uklad równań macierzowych:
,
(
X −A·Y =E
,
A−1 · X + Y = E
gdzie A - macierz nieosobliwa stopnia n. Odp.X = 12 (A + E), Y = 12 (E − A−1 ).
Wykazć, że dla macierzy nieosobliwych zachodzi wzór:
(A · B)−1 = B −1 · A−1
Wsk. skorzystać z wlasności grup.