7.3. Ciąg geometryczny

7. 3. CIĄG GEOMETRYCZNY
Definicja ciągu geometrycznego
Ciąg
(an ) jest ciągiem geometrycznym
⇔ dla kaŜdego n ∈ N + zachodzi a n +1 = a n ⋅ q ,
gdzie q ∈ R
q – stały iloraz ciągu geometrycznego
Przykład 7.3.1. Oblicz cztery początkowe wyrazy w ciągu geometrycznym , wiedząc, Ŝe
a) a1 = −3, q = 2
Rozwiązanie
a1 = −3
a 2 = −3 ⋅ 2 = −6
a3 = −6 ⋅ 2 = −12
a 4 = −12 ⋅ 2 = −24
Odp. –3, -6, -12, -24
b) a1 = 3, a 2 =
Komentarz
W ciągu geometrycznym kaŜdy wyraz , oprócz
pierwszego powstaje przez pomnoŜenie wyrazu
poprzedniego przez liczbę q , czyli
a2
a3
a4
a5
= a1 ⋅ q
= a2 ⋅ q
= a3 ⋅ q
= a 4 ⋅ q ......
1
2
Rozwiązanie
a 2 = a1 ⋅ q
1
= 3⋅ q
2
1
3q = / : 3
2
1
q=
6
1 1 1
a3 = ⋅ =
2 6 12
1 1 1
a4 = ⋅ =
12 6 72
1 1 1
Odp. 3, , ,
2 12 72
Komentarz
Wykorzystując zaleŜność a 2 = a1 ⋅ q obliczamy
iloraz ciągu q
Obliczmy trzeci i czwarty wyraz mnoŜąc
poprzedni wyraz przez liczbę q.
5
Przykład 7.3.2. Udowodnij, Ŝe ciąg a n =
jest ciągiem geometrycznym.
3n
Rozwiązanie
a n +1 = a n ⋅ q
a
q = n +1
an
5
an =
3n
5
a n +1 =
n +1
3
a n +1
q=
an
Zapisujemy n –ty wyraz ciągu.
Wyznaczamy wyraz następny .
3n
5 3n 1
=
⋅
=
3 n + 1 3 n 3 n +1 5 3 n ⋅ 3 5 3
Odp. Ciąg (a n ) jest geometryczny.
q=
5
:
Komentarz
Aby wykazać ,Ŝe ciąg jest geometryczny
musimy udowodnić ,Ŝe iloraz q jest liczbą stałą .
5
=
5
Badamy iloraz q .
Iloraz q jest liczbą stałą , zatem ciąg jest
geometryczny.
⋅
Wzór ogólny ciągu geometrycznego a n = a1 ⋅ q n −1
Przykład 7.3.3. Wyznacz dziesiąty wyraz ciągu geometrycznego , w którym a1 = 18, q =
Rozwiązanie
a10 = a1 ⋅ q
10 −1
9
512
512 1024
2
a10 = 18 ⋅   = 18 ⋅
= 2⋅
=
19683
2187 2187
3
1024
Odp. Dziesiąty wyraz ciągu jest równy
.
2187
2
3
Komentarz
Wykorzystujemy wzór
a n = a1 ⋅ q n −1
Przykład 7.3.4. Ciąg (bn ) jest monotonicznym ciągiem geometrycznym, którego drugi wyraz
jest równy – 4 , a szósty wyraz – 64 . Wyznacz ten ciąg.
Rozwiązanie
b2 = b1 ⋅ q 2 −1
b6 = b1 ⋅ q 6 −1
− 4 = b1 ⋅ q

− 64 = b1 ⋅ q 5
− 4 = b1 ⋅ q / : q

− 64 = b1 ⋅ q 5
Komentarz
Aby wyznaczyć ciąg geometryczny naleŜy obliczyć jego
pierwszy wyraz b1 i iloraz q.
Wykorzystujemy wzór
a n = a1 ⋅ q n −1 i zapisujemy układ
równań .
Rozwiązując układ równań obliczamy b1 , q .
−4

b1 = q


− 64 = − 4 ⋅ q 5

q
−4

b1 = q


4
− 64 = −4 ⋅ q
−4

b1 = q

 4
q = 16
−4

b1 =
q

 q = 4 ∨ q = −4

b1 = −1
b1 = 1
lub 

q = 4
q = −4
Podając odpowiedź uwzględniamy warunek, Ŝe ciąg
(bn ) jest
monotoniczny.
b1 = −1
Odp. 
q = 4
b1 = 1
otrzymujemy ciąg :1, -4, 16, -64.... .Nie jest to
q = −4
Dla 
ciąg monotoniczny.
Dla
b1 = −1
otrzymujemy ciąg :-1, -4, -16, -64.... . Jest to

q = 4
ciąg malejący.
ZaleŜność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego
JeŜeli a , b, c są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego , to zachodzi
b2 = a ⋅ c
Przykład 7.3.5. Uzasadnij, Ŝe liczby
ciąg geometryczny.
2 − 1,1, 2 + 1 tworzą w podanej kolejności
Rozwiązanie
a = 2 −1
b =1
Komentarz
Sprawdzamy czy podane liczby spełniają
2
warunek: b = a ⋅ c
c = 2 +1
b2 = a ⋅ c
12 =
(
)(
2 −1
)
2 +1
1 = 4 −1
1=1
Odp. Liczby 2 − 1,1, 2 + 1 tworzą w
podanej kolejności ciąg geometryczny.
Liczby
2 − 1,1, 2 + 1 spełniają warunek:
b2 = a ⋅ c
Przykład 7.3.6. Trzy róŜne liczby, których suma wynosi 93 tworzą ciąg geometryczny.
Liczby te są jednocześnie pierwszym, drugim i siódmym wyrazem pewnego ciągu
arytmetycznego. Znajdź te liczby.
Rozwiązanie
a, b, c – szukane liczby
Komentarz
Wypisujemy warunki zadania.
1) a + b + c = 93
2) a, b, c – ciąg geometryczny
⇒ b2 = a ⋅ c
3)
a = a1
b = a 2 = a1 + r
c = a7 = a1 + 6r
Do zapisania pierwszego, drugiego i siódmego
wyrazu ciągu arytmetycznego stosujemy wzór:
a n = a1 + (n − 1) ⋅ r
a + b + c = 93
 2
b = a ⋅ c
a1 + a1 + r + a1 + 6r = 93

(a1 + r )2 = a1 (a1 + 6r )
3a1 + 7 r = 93
 2
a1 + 2a1r + r 2 = a12 + 6a1r
Zapisujemy i rozwiązujemy układ równań .
93 − 7r

a1 =
3

2
r − 4 a r = 0
1

r 2 − 4r ⋅
93 − 7 r
= 0 /⋅ 3
3
3r 2 − 372r + 28r 2 = 0
31r 2 − 372r = 0
r (31r − 372) = 0
r = 0 lub 31r − 372 = 0
31r = 372 / : 31
r = 12
r ≠ 0, bo szukane liczby a, b, c są róŜne.
r = 12
93 − 7 ⋅ 12 9
a1 =
= =3
3
3
a = a1 = 3
Obliczamy a,
b, c
b = a 2 = a1 + r = 3 + 12 = 15
c = a7 = a1 + 6r = 3 + 6 ⋅ 12 = 75
Odp. Szukane liczby to : 3, 15, 75.
Suma częściowa ciągu geometrycznego
S n = a1 ⋅
1− qn
1− q
S n = a1 ⋅ n
dla q ≠ 1
dla q = 1
Przykład 7.3.7.Oblicz sumę siedmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:1,-2, 4,...
Rozwiązanie
a
−2
q= 2 =
= −2
a1
1
Komentarz
Wyznaczamy iloraz q ciągu geometrycznego,
wykorzystując zaleŜność: a 2 = a1 ⋅ q
Wypisujemy siedem kolejnych wyrazów ciągu i je
dodajemy.
1 sposób:
a1 = 1
a 2 = −2
a3 = 4
a 4 = 4 ⋅ (− 2 ) = −8
a5 = −8 ⋅ (− 2 ) = 16
a 6 = 16 ⋅ (− 2 ) = −32
a 7 = −32 ⋅ (− 2 ) = 64
S 7 = 1 + (− 2 ) + 4 + (− 8) + 16 + (− 32 ) + 64 = 43
2 sposób:
S7 = 1⋅
1 − (− 2 )7 1 + 128
=
= 43
1 − (− 2 )
3
1− qn
Wykorzystujemy wzór S n = a1 ⋅
1− q
Przykład 7.3.8. Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 5, a iloraz q = 2 .
Ile początkowych wyrazów tego ciągu naleŜy dodać , aby otrzymać 315.
Dane:
a1 = 5
Rozwiązanie
Szukane:
q=2
Komentarz
Wypisujemy dane i szukane .
n=?
S n = 315
1− qn
S n = a1 ⋅
1− q
1 − 2n
315 = 5 ⋅
/ :5
1− 2
63 =
1 − 2n
/⋅ (− 1)
−1
− 63 = 1 − 2 n
2 n = 64
2 n = 26
n=6
Odp. Aby otrzymać 315 naleŜy sumować
sześć wyrazów.
Wykorzystując wzór
1− qn
S n = a1 ⋅
zapisujemy równanie z
1− q
niewiadomą n .
Rozwiązując równanie obliczamy ile wyrazów
ciągu naleŜy zsumować , aby otrzymać 315.
Przykład 7.3.9. Na trzech półkach ustawiono 76 płyt kompaktowych. Okazało się , Ŝe liczby
płyt na półkach górnej, środkowej i dolnej tworzą rosnący ciąg geometryczny. Na
środkowej półce stoją 24 płyty. Oblicz , ile płyt stoi na półce górnej, a ile płyt
stoi na półce dolnej.
Rozwiązanie
Szukane:
Dane:
a 2 = 24
a1 , a3 = ?
S 3 = 76
a 2 = a1 ⋅ q 2 −1
Zapisujemy układ równań stosując wzory:
a n = a1 ⋅ q n −1
n
1 − q3
1− q
24 = a1 ⋅ q


1 − q3
76
=
a
⋅
1

1− q

S 3 = a1 ⋅

a1 =


76 =

Komentarz
Wypisujemy dane i szukane .
S n = a1 ⋅
1− q
1− q
Rozwiązujemy układ równań.
24
q
24 1 − q 3
⋅
q 1− q
(
76q (1 − q ) = 24 1 − q 3
)
76q − 76q 2 = 24 − 24q 3
24q 3 − 76q 2 + 76q − 24 − 0
3
2
24q − 24 − 76q + 76q = 0
(
)
24(q − 1)(q 2 + q + 1) − 76q (q − 1) = 0
(q − 1)[24(q 2 + q + 1) − 76q ] = 0
(q − 1)(24q 2 − 52q + 24) = 0
24 q 3 − 1 − 76q (q − 1) = 0
Równanie trzeciego stopnia rozwiązujemy
stosując metodę grupowania wyrazów.
Aby rozłoŜyć wyraŜenie
(
q 3 − 1 stosujemy wzór
a 3 − b 3 = (a − b ) a 2 + ab + b 2
)
q − 1 = 0 lub 24q 2 − 52q + 24 = 0 / : 4
q =1
6q 2 − 13q + 6 = 0
a = 6, b = −13, c = 6
∆ = (− 13)2 − 4 ⋅ 6 ⋅ 6 = 25
q1 =
q2 =
Gdyby q = 1 , to na kaŜdej półce stałyby 24
ksiąŜki i wszystkich ksiąŜek byłoby 72, co jest
sprzeczne z treścią zadania. Zatem q ≠ 1
− (− 13) − 25 8 2 Przy rozwiązywaniu równania
=
=
2⋅6
12 3 6q 2 − 13q + 6 = 0 stosujemy wzory :
− (− 13) + 25 18 3
=
=
2⋅6
12 2
∆ = b2 − 4 ⋅ a ⋅ c
−b− ∆
−b+ ∆
x1 =
; x2 =
2a
2a
q=
3
2
a1 =
Gdyby
2
liczba ksiąŜek na
3
poszczególnych półkach tworzyłaby ciąg
malejący, co jest sprzeczne z treścią zadania.
24
3
2
= 24 : = 24 ⋅ = 16
q
2
3
a3 = 24 ⋅
q=
3
= 36
2
Do obliczenia
a3 stosujemy zaleŜność
a3 = a 2 ⋅ q
Odp. Na górnej półce stoi 16 ksiąŜek,
a na dolnej 36.
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 7.3.1. (2pkt.) Wyznacz cztery początkowe wyrazy ciągu geometrycznego (a n ) ,
1
wiedząc, Ŝe a 2 = 3, q = .
2
schemat oceniania
Numer
Odpowiedź
Liczba punktów
odpowiedzi
Podanie pierwszego wyrazu ciągu (a n ) .
1
1
Podanie trzeciego i czwartego wyrazu ciągu (a n ) .
2
1
Ćwiczenie 7.3.2. (2pkt.) Zbadaj , czy ciąg bn =
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
n −1
jest geometryczny .
2
Odpowiedź
1
Podanie wyrazu następnego
2
Podanie ilorazu
bn +1 .
b
q = n +1 i uzasadnienie odpowiedzi.
bn
Liczba punktów
1
1
Ćwiczenie 7.3.3. (2pkt.)Dany jest ciąg geometryczny :3,6,12,24,.... .
Oblicz jedenasty wyraz tego ciągu.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Podanie ilorazu q.
1
2
Podanie a11 .
1
Ćwiczenie 7.3.4. (3pkt.) Podaj wzór ogólny ciągu geometrycznego (a n ) mając dane:
a 2 = 7, a 4 = 28 .
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Obliczenie
przypadku)
q i a1 (uwzględnienie tylko jednego
1
1
Obliczenie
q i a1 (uwzględnienie dwóch przypadków)
2
2
Podanie wzorów ogólnych ciągu.
1
Ćwiczenie 7.3.5. (2pkt.) Oblicz, dla jakiej wartości x liczby x, x + 2, x + 12 są kolejnymi
wyrazami ciągu geometrycznego.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
UłoŜenie równania z niewiadomą x
1
2
Podanie wartości x
1
Ćwiczenie 7.3.6. (3pkt.) Trzy liczby , których suma jest równa 13 , tworzą malejący ciąg
geometryczny . Jeśli od ostatniej odejmiemy 4, to otrzymamy ciąg arytmetyczny.
Wyznacz te liczby.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
UłoŜenie układu równań
1
2
Podanie rozwiązanie układu równań.
1
3
Podanie odpowiedzi uwzględniając wszystkie warunki
zadania.
1
Ćwiczenie 7.3.7. (3pkt.) Wyznacz pierwszy wyraz ciągu (a n ) oraz określ jego
1
monotoniczność jeśli q = , S 5 = −605 .
3
schemat oceniania
Numer
Odpowiedź
Liczba punktów
odpowiedzi
UłoŜenie równania z niewiadomą a1
1
1
2
3
Obliczenie a1
Określenie monotoniczności ciągu
1
1
Ćwiczenie 7.3.8. (4pkt.) Wacek zbiera znaczki i trzyma je w czterech albumach. W trzecim
z nich jest 25 razy więcej znaczków niŜ w pierwszym, a w ostatnim jest 375
znaczków. Oblicz ile znaczków ma Wacek jeŜeli liczby znaczków w poszczególnych
albumach tworzą ciąg geometryczny.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Wypisanie danych i szukanych w zadaniu.
2
UłoŜenie układu równań z niewiadomymi q i
3
Obliczenie q i
a1
1
4
Podanie ile znaczków ma Wacek.
1
1
a1
1