konspekt ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny
 WZÓR OGÓLNY CIĄGU GEOMETRYCZNEGO
Ciąg geometryczny, to ciąg, którego kolejne wyrazy powstają poprzez mnożenie poprzednich
wyrazów przez liczbę, którą nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego i oznaczamy: q
Do opisu ciągu geometrycznego, oprócz ilorazu, tak jak w przypadku ciągu arytmetycznego
potrzebujemy wartości pierwszego wyrazu ciągu: a1
Przykład 1.
Dla danego ciągu iloraz ciągu, czyli liczba przez jaką mnożymy dany wyraz, aby uzyskać
następny, wynosi 2, a wartość pierwszego wyrazu wynosi 3.
Znając iloraz i wartość pierwszego wyrazu, możemy zapisać wzór ciągu.
Dla rozpatrywanego przykładu, wzór ogólny będzie miał postać:
Przykładowo, dla rozpatrywanego ciągu, obliczymy jego dziesiąty wyraz.
1
Ciąg geometryczny

MONOTONICZNOŚĆ CIĄGU GEOMETRYCZNEGO
Ciąg geometryczny nie zawsze jest monotoniczny.
Umiejętność określania monotoniczności ciągu geometrycznego ze wzoru nie jest jednak
wymagana na poziomie maturalnym podstawowym, więc nie będziemy tego rozpatrywać.
W prosty sposób można natomiast ocenić monotoniczność ciągu geometrycznego mając do
dyspozycji kilka pierwszych wyrazów ciągu.
Przykład 1.
Dany jest ciąg 1, 2, 4, 8, 16 . . .
Powyższy ciąg jest rosnący, bo każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego.
Przykład 2
Dany jest ciąg : 2, -6, 18, -54, 162 . . .
Powyższy ciąg nie jest monotoniczny. Kolejne jego wyrazy są na przemian większe i
mniejsze.
 SPRAWDZANIE CZY CIĄG JEST GEOMETRYCZNY
sposób 1: mając dane kilka początkowych wyrazów ciągu: iloraz dwóch kolejnych
wyrazów ciągu zawsze musi wynosić tyle samo, tzn. drugi wyraz dzielony przez
pierwszy musi się równać trzeciemu wyrazowi dzielonemu przez drugi itd.
Przykład .
Czy podany ciąg, jest ciągiem geometrycznym?
Odpowiedź: Ciąg jest geometryczny.
sposób 2: mając dany wzór ciągu, musimy wykonać dzielenie: an+1 / an . Dany ciąg
jest geometryczny, jeżeli otrzymamy wartość liczbową
Przykład .
Czy ciąg,
jest ciągiem geometrycznym?
Zapisujemy wyrażenie
2
Ciąg geometryczny
Otrzymaliśmy wartość liczbową, a więc ciąg jest geometryczny.
Przykład 1.
Czy podany ciąg, jest ciągiem geometrycznym?
Odpowiedź: Ciąg nie jest geometryczny.
Gdy mamy podane więcej niż trzy wyrazy ciągu, równanie będzie kilkuczłonowe (musimy
sprawdzić zgodność dla wszystkich wyrazów).
Przykład 2.
Czy podany ciąg, jest ciągiem geometrycznym?
Odpowiedź: Ciąg nie jest geometryczny.
3
Ciąg geometryczny
 SPRAWDZANIE DLA JAKIEJ WARTOŚCI „X” PODANE WYRAŻENIA SĄ
KOLEJNYMI WYRAZAMI CIĄGU GEOMETRYCZNEGO
Zapisujemy i rozwiązujemy równanie:
Przykład.
Dla jakiej wartości „x” dane wyrażenia stanowią kolejne wyrazy ciągu geometrycznego?
Odpowiedź: Podane wyrażenia stanowią kolejne wyrazy ciągu geometrycznego dla x = 1
lub x = 9.
 PRZYKŁADY ZADAŃ
Wszelkie zadania związane z ciągiem geometrycznym, sprowadzają się w istocie do
obliczenia wartości pierwszego wyrazu oraz ilorazu ciągu.
Przy rozwiązywaniu zadań z ciągu geometrycznego warto wykorzystywać poniższy schemat:
a1
a2
a3
a4
a5
itd.
Wnioski logiczne z powyższego schematu:
1. a2 = a1
2. a3 = a1
3. a5 = a2
itd.
4
Ciąg geometryczny
Przykład 1 .
Oblicz jedenasty wyraz ciągu geometrycznego, jeżeli pierwszy wyraz ma wartość 2, a
czwarty ma wartość 54.
UWAGA: Należy uważać na tym etapie rozwiązania. Gdyby wykładnik przy „q” był parzysty
(2, 4, 6 …), wtedy mielibyśmy dwa rozwiązania (ujemne i dodatnie) i resztę obliczeń
wykonywalibyśmy osobno dla tych dwóch rozwiązań.
Przykład 2 .
Podaj wzór ogólny ciągu geometrycznego:
20
Ciąg geometryczny
Przykład 3.
Podaj wzór ogólny ciągu geometrycznego, którego iloraz wynosi -2, a trzeci wyraz ma
wartość -4.
Przykład 4.
Podaj wzór ogólny ciągu geometrycznego, jeżeli jego drugi wyraz ma wartość 1, a szósty ma
wartość 81.
21
Ciąg geometryczny
 SUMA WYRAZÓW CIĄGU GEOMETRYCZNEGO
Sumę wyrazów ciągu geometrycznego obliczamy ze
wzoru:
22
Ciąg geometryczny
Aby obliczyć sumę potrzebujemy więc: wartość pierwszego wyrazu (a1), wartość ilorazu (q)
oraz numer (n) (numer ostatniego wyrazu).
Przykład .
Oblicz sumę jedenastu pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego, którego pierwszy wyraz
ma wartość -1, a iloraz wynosi 2.
Gdy w zadaniu brakuje nam którejś z wymaganych wielkości, należy w pierwszej kolejności
je obliczyć. Kiedy brakuje nam wartości pierwszego wyrażenia lub ilorazu, obliczamy je,
tak jak pokazano w powyższych przykładach.
23