Rozkład dwumianowy (wzór):

Wyklad 4
Schemat Bernoulliego i rozkład dwumianowy
Histogram rozkładu w populacji.
Populacja =”wszystkie” rzuty trzema monetami
Rozkład dwumianowy (n=3,p=0.5)
A
B
C
O
O
O
O
R
R
R
R
O
O
R
R
O
O
R
R
O
R
O
R
O
R
O
R
P-stwo
Zdarzenie P-stwo
3O (0R)
2O (1R)
1O (2R)
0O (3R)
0
n niezależnych powtórzeń tego samego
eksperymentu
dwa możliwe wyniki w każdej próbie - ``sukces’’ i
``porażka’’ (np. O i R, albo 1 i 0)
1
2
3
Rozkład dwumianowy (wzór):
n
P (Y = y ) =   p y (1 − p ) n− y ,
 y
w każdej próbie p-stwo sukcesu wynosi p
n
n!
gdzie   =
,
 y  y!(n − y )!
Rozkład dwumianowy:
0,4
0,3
0,2
0,1
0
y
Schemat Bernoulliego:
Pr(Y=y)
Anita, Beata i Celina rzucają monetą i uzyskują łączną liczbę
orłów Y. Podaj rozkład zmiennej Y
Y = łączna liczba sukcesów w schemacie
Bernoulliego
y = 0,1,..., n
Przykłady: liczba orłów na 5 rzutów, liczba wyzdrowień wśród
10 pacjentów poddanych pewnej kuracji
Niektóre własności symbolu Newtona
Liczba możliwych ciągów y sukcesów i n-y porażek
 n
  =
0
n
1  =
 
 n
 
 y
Ogólnie
n
 =
n
n 
 n − 1 =


W przykładzie A, B, C mamy p=1/2;
 3
 =
0
3
 =
1
 3
 =
 2
3
 =
3
P(Y = 0) =
P(Y = 1) =
P(Y = 2) =
P(Y = 3) =
n  n

 =

 y n− y
Uwaga: Rozkład dwumianowy jest
symetryczny dla p=1/2.
1
Przykład: Efekt uboczny lekarstwa
Rozwiązanie:
20% ludzi dostaje nudności po zażyciu
pewnego lekarstwa
Lekarz przepisał lekarstwo czterem
nowym pacjentom
Y – liczba pacjentów w naszej próbie,
którzy dostali nudności
Podaj rozkład zmiennej Y
Dalsze pytania:
Parametry rozkładu dwumianowego:
P(co najmniej dwóch dostanie nudności) =
= np
Var
Y=np(1-p)
P(co najwyżej jeden dostanie nudności) =
Przykład:
EY
Jakie jest p-stwo, że co najmniej jeden z
nich ma podniesiony poziom cholesterolu?
Ilu średnio mężczyzn na dziesięciu ma
podwyższony poziom cholesterolu?
Jeden na ośmiu dorosłych mężczyzn ma
podniesiony poziom cholesterolu. Losowo
wybieramy 10 mężczyzn z populacji. Jakie
jest p-stwo, że (dokładnie) 2 spośród nich
ma podniesiony poziom cholesterolu ?
2