Prawdopodobieństwo-własności 1. Wyznaczyć P(AB) znając P(A) i

Prawdopodobieństwo-własności
1. Wyznaczyć P (AB) znając P (A) i P (AB).
2. Wykazać, że jeśli P (A) = 1 i P (B = 1), to P (AB) = 1.
3. Wykazać, że jeżeli P (B) > 0, to
P (A|B) > 1 −
P (A)
.
P (B)
4. Wiadomo, że P (A) = 0.9, P (B) = 0.8. Wykazać, że P (A|B) > 0.875.
5. Niech A i B będą zdarzeniami losowymi. Wykazać, że
P (A) + P (A ∩ B) = P (B) + P (A ∩ B).
6. Zdarzenia A, B, C, D są niezależne. Obliczyć P (D) jeśli: P (A∩B∩C ∩D) = 1/24, P (A) =
2P (B) = 3P (C) = 4P (D). Obliczyć p-stwo P (D).
7. Są dwie loterie fantowe. P-stwo wygrania na pierwszej loterii wynosi 0.65, a na drugiej
0.7. Kupiliśmy po jednym losie na każdej loterii. Jakie jest p-stwo wygrania: a) na obu
loteriach; b) przynajmniej na jednej loterii.
8. Trzech myśliwych oddało po jednym strzale do dzika. P-stwa zabicia przy jednym strzale
są dla myśliwych odpowiednio równe 0.2, 0.4, 0.3. Obliczyć p-stwo, że dzik został zabity.
Prawdopodobieństwo geometryczne
1. W kwadrat o boku a wpisano koło. Obliczyć p-stwo tego, że trzy przypadkowo wybrane
punkty kwadratu są punktami koła.
2. W przypadkowych momentach odcinka [0, T ] mogą nadejść do odbiornika dwa sygnały.
Odbiornik zostaje uszkodzony, jeśli różnica w czasie pomiędzy dwoma sygnałami jest
mniejsza niż τ (τ < T ). Obliczyć p-stwo uszkodzenia odbiornika w ciągu czasu T .
3. Obliczyć p-stwo tego, że wybrany losowo punkt kwadratu |x| < 1, |y| < 1 jest punktem
leżącym wewnątrz okręgu o równaniu x2 + y 2 = 1.
4. Z przedziału (0, 1) wybrano losowo dwa punkty x, y. Wyznaczyć prawdopodobieństwo
zdarzenia, że xy ≥ 2.
5. Niech Ω = {(x, y) : 0 < x < 9, 0 < y < 9}, A = B = {(x, y) : 1 < x < 4, 0 < y < 9},
C = {(x, y) : 3 < x < 6, 0 < y < 9}. Wykaż, że
a) P (A ∩ B ∩ C) 6= P (A)P (B)P (C),
b) P (A ∩ B) 6= P (A)P (B),
c) P (A ∩ C) = P (A)P (C).
6. Losowo wybrano 2 dodatnie liczby x i y takie, że każda z nich jest nie większa od jedynki.
Znaleźć p-stwo, że x + y < 1 i xy > 0.09.
1