MATEMATYCZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW BADAŃ

MATEMATYCZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW BADAŃ
GEOLOGICZNO-INśYNIERSKICH
Wyniki badań i pomiarów w geologii inŜynierskiej charakteryzują się
rozrzutem wartości:
Zmienność badanego ośrodka
- Sedymentologia
- Tektonika
- Zjawiska geodynamiczne
Dokładność metod badawczych
- Sposób opróbowania
- Sposób transportu i
przechowywania próbek
- Przygotowanie próbek do badań
- Niedokładność metod
badawczych
- Błędy i zaokrąglenia wyników
Celem matematycznego opracowania wyników badań geologicznoinŜynierskich jest określenie bezpiecznych wartości ocenianych parametrów
oraz określenie ich przedziałów zmienności.
Prowadzona jest ocena parametrów (właściwości gruntów – np.: c, φ, ID)
w populacji (ośrodku gruntowym) na podstawie próby statystycznej (wyników
badań na pobranych próbkach gruntów).
Próba statystyczna – wyniki oznaczeń danej cechy gruntu określone na
wszystkich próbkach z danej warstwy geotechnicznej.
Liczebność próby statystycznej:
n <30 – próba mała
n =>30 – próba duŜa
1
CHARAKTERYSTYKA PRÓBY JEDNEJ ZMIENNEJ
W kaŜdym z 10 otworów badawczych odwierconych na obszarze badań pobrano
z tej samej warstwy geotechnicznej po 3 próbki gruntów do oceny wilgotności
naturalnej Wn%. Uzyskano 30 róŜnych wartości Wn% - jaka wartość Wn%
najlepiej charakteryzuje stan faktyczny? Jaka wartość będzie bezpieczną z
punktu widzenia przyszłego obiektu inŜynierskiego?
WARTOŚĆ ŚREDNIA wartość mianowana
1 n
X = ⋅ ∑ xi
n i =1
Wartość cechy
HISTOGRAM I KRZYWA ROZKŁADU
1. Określenie minimalnej i maksymalnej wartości wyników oznaczeń, podział
tego zakresu na równe klasy
2. Zliczenie ilości obserwacji mieszczących się w poszczególnych klasach
ni – liczebność obserwacji w klasach
ki – częstość obserwacji w klasach
ki =
ni
⋅ 100%
n
∑ i
2
3. Wykonanie rysunku – histogram i krzywa rozkładu
ni
ki
4. Wstępna ocena rodzaju rozkładu w próbie statystycznej
symetryczny
modalny
asymetryczny
amodalny
wielomodalny
KRZYWA KUMULACYJNA
Σni - liczebność skumulowana
Σki - częstość skumulowana
Σni
Σki
klasy
3
MEDIANA Me
wartość mianowana
Jeśli wyniki oznaczeń zostaną uporządkowane rosnąco lub malejąco, to wartość
centralna tak uporządkowanego ciągu jest medianą
MODA M
wartość mianowana
Wartość badanej cechy, która pojawia się najczęściej lub klasa histogramu, w
której występuje najwięcej obserwacji jest wartością modalną
WARIANCJA S2 wartość mianowana, dodatnia
Średnie kwadratowe odchylenie badanej cechy od wartości średniej
s2 =
1 n
2
(
)
x
−
x
∑
i
n i =1
1
n
)
2
s2 =
(
x
−
x
)
∑
i
n − 1 i =1
próba duŜa
próba mała – wariancja skorygowana
Wartość cechy
ODCHYLENIE STANDARDOWE S wartość mianowana, dodatnia
Średnie odchylenie wartości badanej cechy od wartości średniej
)
)
s = s2
s = s2
próba mała
próba duŜa
4
WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI υ wyraŜony w %
Miara względnego rozproszenia badanej cechy w próbie statystycznej
)
s
ν ′ = ⋅ 100 %
x
ν =
próba mała
s
⋅ 100%
x
próba duŜa
Wyniki oznaczeń
Wn%
średnia
wariancja
Odchylenie
standardowe
Współczynnik
zmienności
Próba 1
1%; 2%; 3%; ....
2%
1,96
1,4
70%
Próba 2
16%; 18%; 19%;..
17%
1,96
1,4
8%
BŁĄD STANDARDOWY
σx
wartość mianowana, dodatnia
σ x pozwala na ocenę błędu jaki moŜe być popełniony gdy chcemy oszacować
średnią wartość badanej cechy w ośrodku gruntowym za pomocą średniej z
pobranych próbek.
σx
jest odchyleniem standardowym wartości średnich z szeregu prób
statystycznych pobranych z populacji.
σ
x
=
σ
n
n- liczebność próby statystycznej,
σ - odchylenie standardowe (średnie) w całej populacji
Gdy
σ
nie jest znane, moŜna je oszacować za pomocą wartości odchylenia
standardowego
σx≅
s
n
lub
σx≅
sˆ
n
Błąd standardowy pozwala oszacować przedział w jakim zawarta będzie
wartość badanej cechy w populacji
x −σ x ≤ m ≤ x +σ x
m – wartość średnia w populacji
5
USTALANIE WARTOŚCI OBLICZENIOWYCH PARAMETRÓW
GEOLOGICZNO-INśYNIERSKICH
Wartość obliczeniowa parametru (cechy) geologiczno-inŜynierskiego jest to
taka wartość, która uwzględnia moŜliwe odchylenia od wartości średniej
parametru w populacji
- Jako wartość obliczeniową parametru geologiczno-inŜynierskiego
przyjmuje się najbardziej niekorzystną jego wartość, obliczoną jedną z
metod pozwalających określić przedział zmienności parametru
- Jako najbardziej niekorzystną wartość naleŜy przyjmować tę granicę
przedziału zmienności parametru, która z punktu widzenia celu badań
daje gorszą wartość parametru.
- Jako przedział zmienności parametru naleŜy rozumieć przedział, w
którym rzeczywista wartość parametru powinna znaleźć się przy
załoŜonym poziomie ufności
SPRAWOZDANIE
OPRACOWANIE WYNIKÓW BADAŃ GEOLOGICZNO-INśYNIERSKICH
Wykonano 3 otwory badawcze, w których pobrano próbki gruntów. Po
zinterpretowaniu profilu warstw wydzielone zostały warstwy geotechniczne.
NaleŜy przeprowadzić statystyczną analizę wyników oznaczeń wykonanych na
próbkach z jednej warstwy geotechnicznej.
Opracowanie wyników :
1. Na podstawie wartości oznaczeń zestawić tabelę danych (1).
Lp
Wartość parametru (xi)
xi − x
( xi − x )2
1
2
3
4
1.
...
20.
n=20
Σ=
-
Σ=
6
2. Dla wyników oznaczeń przeprowadzić:
- podział na klasy (optymalnie 6 lub 7 klas), określić liczbę obserwacji
w klasach, częstość obserwacji w klasach oraz częstość skumulowaną
- wyniki zestawić w tabeli (2),
Nr klasy
Granice klas
od do
1
-
2
-
3
-
4
-
5
-
6
-
7
-
Liczba
obserwacji
Częstość
obserwacji
[%]
Częstość
skumulowana
[%]
- wykreślić histogram, krzywą rozkładu i skumulowaną krzywą rozkładu,
- obliczyć i zestawić wartości: średniej, mody, mediany, odchylenia
standardowego, wariancji, współczynnika zmienności, błędu
standardowego.
- określić granice przedziału zmienności.
- określić wartość obliczeniową parametru.
Odchylenie standardowe
Średnia
x=
∑x
i
n
Moda
Najczęściej spotykana wartość cechy
Mediana
)
)
s = s2
Współczynnik zmienności
)
s
ν ′ = ∗ 100%
x
uporządkowanego ciągu obserwacji
Błąd standardowy
)
s
δx ≅
n
Wariancja
Granice przedziału zmienności
1
n
)
s2 =
( x i − x )2
∑
i =1
n −1
x −δx ≤ m ≤ x +δx
Wartość cechy dla centralnego punktu
7