Lista6

WPPT - Informatyka, Funkcje Zespolone - Lista 6
Z
63. Niech C będzie dodatnio zorientowanym okręgiem. Obliczyć
f (z)dz, jeśli:
C
z2
a) f (z) =
, C ma równanie |z| = 1/2;
z+i
sin z
b) f (z) =
, C ma równanie |z − 1| = 2;
z
z
c) f (z) = 2
, C ma równanie |z + 2| = 2;
z −1
ez
d) f (z) =
, C ma równanie |z − 3i| = 2.
z(z − 2i)
Z
64. Obliczyć
ze2πz
dz, jeśli C jest dodatnio zorientowaną łamaną zamkniętą o wierzchołz2 + 1
C
kach 0, 1 + 2i, −1 + 2i.
65. Niech
f (z) =
m
X
n
X
Wt
Zs
+
.
z − at s=1 z − bs
t=1
Z
Obliczyć
f (z)dz, jeśli C jest konturem zawierającym punkty a1 , . . . , am wewnątrz, a
C
b1 , . . . , bn
punkty
na zewnątrz. Przypominam, że konturem nazywamy kawałkami gładką,
dodatnio zorientowaną krzywą Jordana.
66. Niech f (z) będzie funkcją holomorficzną wewnątrz i na konturze C i niech na C spełnia
warunek |f (z)| ¬ M . Pokazać, korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego, że nierówność
|f (z)| ¬ M zachodzi również we wnętrzu konturu C. Pokazać dalej, że we wnętrzu C dla
dowolnego n = 1, 2, . . . mamy |f (z)|n ¬ αM n , gdzie α nie zależy od n.
Z
f (z)dz, jeśli:
67. Niech C będzie dodatnio zorientowanym okręgiem. Obliczyć
1
a) f (z) = 2
, C ma równanie |z − 2i| = 2;
(z + 9)2
sin z
b) f (z) = 2
, C ma równanie |z − 3| = 1;
(z − π 2 )2
ln z
c) f (z) =
, C ma równanie |z + 3i| = 2;
(z + 2i)3
ez
d) f (z) =
, C ma równanie |z − πi| = 1;
z(z − πi)3
z
e
e) f (z) =
, C ma równanie |z| = 3.
(z − 2)4
C
68. Obliczyć całkę
Z
dz
,
(z − 1)3 (z + 1)3
C
gdzie C jest dodatnio zorientowanym okręgiem o promieniu r i środku z0 , w następujących
przypadkach:
a) r < 2, z0 = 1;
b) r < 2, z0 = −1;
c) r > 2, z0 = −1;