wdlitm-ćw-4 - handouts

Relacje
Relacje
Pary uporządkowane i iloczyny kartezjańskie
Relacje i ich własności
Składanie relacji i relacje odwrotne
Pary uporządkowane
Wstęp do logiki i teorii mnogości
dr Artur Woike
Ćwiczenia
Parę uporządkowaną a, b będziemy oznaczać przez ha, bi.
Fundamentalna własność dla par uporządkowanych:
ha, bi = hc, di ⇐⇒ (a = c ∧ b = d).
Definicja Kuratowskiego pary uporządkowanej:
df
Relacje
dr Artur Woike
Relacje
ha, bi = {{a} , {a, b}} .
dr Artur Woike
Wstęp do logiki i teorii mnogości
Pary uporządkowane i iloczyny kartezjańskie
Relacje i ich własności
Składanie relacji i relacje odwrotne
Pary uporządkowane
Relacje
Wstęp do logiki i teorii mnogości
Pary uporządkowane i iloczyny kartezjańskie
Relacje i ich własności
Składanie relacji i relacje odwrotne
Definicja relacji
Niech n ­ 2 będzie dowolne i niech A, B, A1 , . . . , An będą dowolnymi zbiorami.
Iloczynem kartezjańskim A × B zbiorów A i B nazywamy zbiór:
df
A × B = {ha, bi ; a ∈ A ∧ b ∈ B} .
Dla każdego n > 2 kładziemy
df
ha1 , . . . , an i = hha1 , . . . , an−1 i , an i ,
Niech A, A1 , . . . , An będą dowolnymi zbiorami.
Relacją w zbiorze A1 ×. . .×An będziemy nazywać dowolny podzbiór
S ⊆ A1 × . . . × An .
Relacją n-argumentową na zbiorze A nazywamy dowolny podzbiór
S ⊆ An .
Jeżeli S ⊆ A1 ×. . .×An i ha1 , . . . , an i ∈ S, to piszemy S(a1 , . . . , an ).
Jeżeli natomiast S ⊆ A2 = A×A i ha, bi ∈ S, to wtedy piszemy aSb.
gdzie ha1 , . . . , an i jest nazywane n-ką uporządkowaną.
Iloczynem kartezjańskim zbiorów A1 , . . . , An nazywamy zbiór
df
A1 × . . . × An = {ha1 , . . . , an i ; a1 ∈ A1 ∧ . . . ∧ an ∈ An } .
dr Artur Woike
Wstęp do logiki i teorii mnogości
dr Artur Woike
Wstęp do logiki i teorii mnogości
Relacje
Pary uporządkowane i iloczyny kartezjańskie
Relacje i ich własności
Składanie relacji i relacje odwrotne
Własności relacji
Relacje
Pary uporządkowane i iloczyny kartezjańskie
Relacje i ich własności
Składanie relacji i relacje odwrotne
Własności relacji - zadania
Zbadać własności następujących relacji:
Niech A będzie dowolnym zbiorem oraz niech S ⊆ A × A będzie
relacją dwuargumentową. Mówimy, że relacja S jest:
df
a) zwrotna ⇐⇒ ∀a∈A aSa,
df
1) ∼m ⊆ Z2 (m ­ 1),
∀a,b∈Z a ∼m b ⇔ m|a − b
2) S ∈ N2
∀x,y ∈N xSy ⇔ 2|x + y
df
3) S ∈ N2
∀x,y ∈N xSy ⇔ (x 6= y ∧ x|y )
df
df
df
4) S ∈ (N \ {0})2
df
5) S ∈ Z2
∀x,y ∈Z xSy ⇔ (x = 1 ∧ y = −1)
6) S ∈ Z2
∀x,y ∈Z xSy ⇔ (x = 2 ∧ y = 2)
7) S ∈ R2
∀x,y ∈R xSy ⇔ 2x 2 = y 2
8) S ∈ R2
∀x,y ∈R xSy ⇔ x 2 6= 3y 2
9) S ∈ R2
∀x,y ∈R xSy ⇔ x 3 = 8y 3
b) symetryczna ⇐⇒ ∀a,b∈A (aSb ⇒ bSa),
c) przechodnia ⇐⇒ ∀a,b,c∈A [(aSb ∧ bSc) ⇒ aSc] ,
df
d) antysymetryczna ⇐⇒ ∀a,b∈A [(aSb ∧ bSa) ⇒ a = b] ,
df
e) liniowa (spójna) ⇐⇒ ∀a,b∈A (aSb ∨ bSa ∨ a = b).
dr Artur Woike
Relacje
df
df
df
df
Wstęp do logiki i teorii mnogości
df
dr Artur Woike
Pary uporządkowane i iloczyny kartezjańskie
Relacje i ich własności
Składanie relacji i relacje odwrotne
Własności relacji - zadania
∀x,y ∈N\{0} xSy ⇔ (x|y ∧ x 6= 2y )
Relacje
Wstęp do logiki i teorii mnogości
Pary uporządkowane i iloczyny kartezjańskie
Relacje i ich własności
Składanie relacji i relacje odwrotne
Składanie relacji
df
10) S ∈ N2
∀x,y ∈N xSy ⇔ (x > y ∨ y > x)
11) S ∈ R2
∀x,y ∈R xSy ⇔ x − y ∈ Q
12) S ∈ Q2
∀x,y ∈Q xSy ⇔ x − y 6∈ Z
13) S ∈ R2
∀x,y ∈R xSy ⇔ x − y 6∈ N
14) S ∈ C2
∀x,y ∈C xSy ⇔ 2Rex = 3Imy
15) S ∈ N2
∀x,y ∈N xSy ⇔ 5x = 15y
16) S ∈ Q2
∀x,y ∈Q xSy ⇔ y = x − 7
17) S ∈ C2
∀x,y ∈C xSy ⇔ ∃a,b∈N x − y = a + bi
18) S ∈ N2
∀x,y ∈N xSy ⇔ xy = 24
df
df
df
df
df
Niech A, B i C będą dowolnymi zbiorami oraz niech S1 ⊆ A × B i
S2 ⊆ B × C będą dowolnymi relacjami.
Złożeniem relacji S1 i S2 nazywamy relację S2 ◦ S1 ⊆ A × C zdefiniowaną nastepująco:
df
∀a∈A ∀c∈C ha, ci ∈ S2 ◦ S1 ⇐⇒ ∃b∈B (ha, bi ∈ S1 ∧ hb, ci ∈ S2 ) .
df
df
df
dr Artur Woike
Wstęp do logiki i teorii mnogości
dr Artur Woike
Wstęp do logiki i teorii mnogości
Pary uporządkowane i iloczyny kartezjańskie
Relacje i ich własności
Składanie relacji i relacje odwrotne
Relacje
Składanie relacji - zadania
Relacje
Pary uporządkowane i iloczyny kartezjańskie
Relacje i ich własności
Składanie relacji i relacje odwrotne
Relacje odwrotne
Wyznaczyć następujące złożenia relacji:
1) A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4}, C = {3, 4},
S1 = {h1, 2i , h1, 4i , h2, 3i , h3, 2i , h4, 2i , h4, 3i} ⊆ A × B,
S2 = {h2, 3i , h3, 3i , h3, 4i , h4, 3i} ⊆ B × C
2) A = {a, b, c}, B = {d, e}, C = {g , h},
S1 = {ha, di , hb, di , hb, ei , hc, ei} ⊆ A × B,
S2 = {hd, g i , he, g i , he, hi , h4, 3i} ⊆ B × C
3) S1 , S2 ⊆
df
N2 ,
∀x,y ∈N xS1 y ⇔ 2|x + y ,
Niech A i B będą dowolnymi zbiorami oraz niech S ⊆ A × B będzie
dowolną relacją.
Relacją odwrotną do relacji S nazywamy relację S −1 ⊆ B × A zdefiniowaną nastepująco:
df
∀a∈A ∀b∈B hb, ai ∈ S −1 ⇐⇒ ha, bi ∈ S.
df
∀x,y ∈N xS2 y ⇔ x + 1|y
df
4) S1 , S2 ⊆ N2 ,
∀x,y ∈N xS1 y ⇔ x + 1|y ,
df
∀x,y ∈N xS2 y ⇔ 2|x + y
dr Artur Woike
Relacje
Wstęp do logiki i teorii mnogości
Pary uporządkowane i iloczyny kartezjańskie
Relacje i ich własności
Składanie relacji i relacje odwrotne
Relacje odwrotne - zadania
Wyznaczyć relacje odwrotne do następujących relacji:
1) A = {1, 2, 3}, B = {4, 5},
S = {h1, 4i , h2, 4i , h3, 5i} ⊆ A × B
2) A = {a, b, c}, B = {d, e, f },
S = {ha, di , hb, di , hb, f i , hc, ei} ⊆ A × B
df
3) S ⊆ N2 ,
∀x,y ∈N xSy ⇔ 2|x + y
4) S ⊆ N2 ,
∀x,y ∈N xSy ⇔ x + 1|y
5) S ⊆ R2 ,
∀x,y ∈R xSy ⇔ 2x = 3y − 1
df
df
dr Artur Woike
Wstęp do logiki i teorii mnogości
dr Artur Woike
Wstęp do logiki i teorii mnogości