Wstęp do logiki i teorii mnogości Definicja mocy zbioru i

Moc zbioru i równoliczność zbiorów
Moc zbioru i równoliczność zbiorów
Moc i równoliczność zbiorów
Zadania
Definicja mocy zbioru i równoliczności zbiorów
Wstęp do logiki i teorii mnogości
dr Artur Woike
Ćwiczenia
Moc zbioru i równoliczność zbiorów
dr Artur Woike
Moc zbioru i równoliczność zbiorów
Każdemu zbiorowi przyporządkowujemy tak zwaną liczbę kardynalną
lub moc zbioru w sposób nastepujący:
1) jeśli zbiór A jest skończony, to mocą zbioru A jest poprostu liczba
jego elementów;
2) jeśli zbiory A i B są równoliczne (A ∼ B), to moc zbioru A jest równa
mocy zbioru B i na odwrót (jeśli dwa zbiory sa równoliczne, to mają
taką samą moc);
przy czym równoliczność zbiorów A i B definiujemy następująco:
df
A ∼ B ⇐⇒ istnieje bijekcja typu A → B.
Zatem warunek 2) możemy zapisać w postaci A ∼ B ⇐⇒ |A| = |B|,
gdzie |A| i |B| oznaczają odpowiednio moc zbioru A i B.
Wstęp do logiki i teorii mnogości
dr Artur Woike
Moc i równoliczność zbiorów
Zadania
Własności
Moc zbioru i równoliczność zbiorów
Wstęp do logiki i teorii mnogości
Moc i równoliczność zbiorów
Zadania
Zadania
Następujące warunki są równoważne dla dowolnych zbiorów A i B:
1) |A| ¬ |B|;
2) istnieje injekcja typu A → B;
3) istnieje surjekcja typu B → A.
1) A = ha, bi, B = hc, di, a, b, c, d ∈ R, a < b, c < d;
2) A = ha, b), B = (c, di, a, b, c, d ∈ R, a < b, c < d;
Twierdzenie Cantora-Bernsteina: Jeśli α i β są dowolnymi liczbami
kardynalnymi, to zachodzi:
(α ¬ β ∧ β ¬ α) ⇒ α = β.
dr Artur Woike
Wykazać, że zbiory A i B są równoliczne:
Wstęp do logiki i teorii mnogości
3) A = {x ∈ N; x ¬ 5}, B = x ∈ N; 1 < x 2 ¬ 60
4) A = {hr1 , ϕi ; ϕ ∈ h0, 2π)}, B = {hr2 , ϕi ; ϕ ∈ h0, 2π)},
r1 , r2 ∈ R+ ;
5) A = {hr , ϕi ; r ∈ h0, r1 i ∧ ϕ ∈ h0, 2π)},
B = {hr , ϕi ; r ∈ h0, r2 i ∧ ϕ ∈ h0, 2π)}, r1 , r2 ∈ R+ .
dr Artur Woike
Wstęp do logiki i teorii mnogości