Lista_3

Metody
Ilościowe w
Zarządzaniu
Lista zadań nr 3
Zmienna losowa ciągła
dr Adam SOJDA
Słowa kluczowe:
• zmienna losowa, wartość oczekiwana, wariancja, dystrybuanta
• jednostajny, wykładniczy, normalny
Wiadomości wstępne:
ZADANIE 3.1. ✍
matematyka - pochodna, całka Czas świecenia żarówki można opisać za pomocą rozkładu wykładniczego. Jeśli
wiadomo, że średni czas świecenia żarówek tego typu to 1400 godzin, wyznaczyć
prawdopodobieństwo, że:
(a) żarówka będzie świeciła się dłużej niż 1500 godzin,
(b) żarówka nie będzie świeciła dłużej niż 1200 godzin,
(c) czas świecenia żarówki będzie pomiędzy 1350 a 1650 godzin.
Wyznaczone prawdopodobieństwo zaznaczyć na wykresie funkcji gęstości i
dystrybuanty.
ZADANIE 3.2. ✍
Z pewnego przystanku tramwaj odjeżdża co 15 minut. Niech zmienna losowa X
oznacza czas oczekiwania na przyjazd tramwaju, przy założeniu, że przyjście na
przystanek jest w każdym momencie jest jednakowo możliwe. Wyznaczyć funkcję
gęstości i jej wykres, wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe,
dystrybuantę i jej wykres. Na wykresie funkcji gęstości i dystrybuanty zaznacz
wyznaczone prawdopodobieństwo, że czas oczekiwania na przyjazd tramwaju
będzie dłuższy niż 8 minut. ZADANIE 3.3. 💻
Wykonaj na jednym wykresie funkcje gęstości dla rozkładu normalnego:
niebieski N(120,10), czerwony N(100,30), zielony N(180,10).
Warunki zaliczenia:
umiejętność rozwiązania
zadań 3.1 - 3.6
Rozwiązanie zadania
indywidualnego 3.7
część projektu
ZADANIE 3.4 ✍ 📖
Zmienna losowa określająca wagę jabłka klasy I ma rozkład normalny z parametrami:
wartość oczekiwana 150 g, odchylenie standardowe 10 g.
(a) wyznaczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrane jabłko ma wagę:
(a)(a)poniżej 145 g,
(a)(b)powyżej 175 g,
(a)(c)od 140 do 165 g,
(b) wyznaczyć prawdopodobieństwo, waga 10 losowo wybranych jabłek będzie:
(b)(a)poniżej 1,49 kg
(b)(b)powyżej 1,6 kg,
(b)(c)od 1,46 do 1,54 kg.
Wyznaczone prawdopodobieństwo zaznaczyć na wykresie funkcji gęstości i
dystrybuanty dla właściwego rozkładu normalnego jak i dla rozkładu
standaryzowanego N(0,1)
ZADANIE 3.5 ✍ 📖
Badając strony maszynopisu pod względem liczby popełnionych błędów i czasu
przepisywania, stwierdzono, że w próbie losowej:
• średnia liczba błędów popełnianych na jednej stronie wynosiła 2;
• średni czas przepisywania jednej strony wyniósł 15 minut, wariancja określająca
zróżnicowanie stron pod względem czasu przepisywania wynosiła 4.
Na podstawie informacji należy zbadać (zakładając rozkład Poissona i normalny) czy
bardziej prawdopodobne jest bezbłędne przepisanie strony, czy też przepisanie
strony w czasie krótszym od 10 min ( e = 2.72 ). ZADANIE 3.6. ✍
📖
Zmienna losowa określająca wagę jabłka klasy I ma rozkład normalny z parametrami:
wartość oczekiwana 150 g, odchylenie standardowe 10 g.
(a) wyznaczyć prawdopodobieństwo, że średnia waga jabłka wyznaczona na
podstawie próby złożonej z 9 losowo wybranych jabłek jest:
(a)(a)poniżej 145 g,
(a)(b)powyżej 175 g,
(a)(c)od 140 do 165 g,
(b) wyznaczyć prawdopodobieństwo, że średnia waga jabłka wyznaczona na
podstawie próby złożonej z 25 losowo wybranych jabłek jest:
(b)(a)poniżej 1,49 kg
(b)(b)powyżej 1,6 kg,
(b)(c)od 1,46 do 1,54 kg.
Wyznaczone prawdopodobieństwo zaznaczyć na wykresie funkcji gęstości i
dystrybuanty dla właściwego rozkładu normalnego jak i dla rozkładu
standaryzowanego N(0,1)
ZADANIE 3.7 ✍🏠 📄
- parametry J, K - ostatnie
numery albumu: chx34567,
to J=6, K=7
A. Zmienna losowa określająca wagę jabłka klasy I ma rozkład normalny z
parametrami: wartość oczekiwana (165+10K+J) g, odchylenie standardowe
(30+J+K) g. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że waga losowo wybranego
jabłka będzie większa niż (160+10K+J) g. Wyznaczone prawdopodobieństwo
zaznaczyć na wykresie funkcji gęstości i dystrybuanty odpowiedniej zmiennej
losowej.
B. Zmienna losowa określająca wagę jabłka klasy I ma rozkład normalny z
parametrami: wartość oczekiwana (165+10K+J) g, odchylenie standardowe
(30+J+K) g. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że średnia waga (10+K+J)
losowo wybranych jabłek będzie mniejsza niż (170+10K+J) g. Wyznaczone
prawdopodobieństwo zaznaczyć na wykresie funkcji gęstości i dystrybuanty
odpowiedniej zmiennej losowej.
C. Zmienna losowa określająca wagę jabłka klasy I ma rozkład normalny z
parametrami: wartość oczekiwana (165+10K+J) g, odchylenie standardowe
(30+J+K) g. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że średnia waga (10+K+J)
losowo wybranych jabłek będzie większa niż (160+10K+J) g. Wyznaczone
prawdopodobieństwo zaznaczyć na wykresie funkcji gęstości i dystrybuanty.
Metody Ilościowe w Zarządzaniu dr Adam SOJDA
LISTA III
Strona 2 z 2