x , dla 0 x < 1

Ćwiczenia 3. Zmienna losowa ciągła. Rozkład normalny.
1. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości
f (x) =



x




,
dla 0 ¬ x < 1,
,
dla 1 ¬ x < 2,
0
,
poza tym.
2−x






(a) Narysować wykres funkcji gęstości.
(b) Wyznaczyć dystrybuantę i narysować jej wykres.
(c) Obliczyć prawdopodobieństwo P
1
2
¬X<
3
2
(na dwa sposoby: z funkcji gęstości i dystrybuanty;
zinterpretować za pomocą wykresu funkcji gęstości i dystrybuanty).
(d) Obliczyć EX, M o, M e, Q3 .
2. Zmienna losowa ciągła X ma rozkład o gęstości
f (x) =


1



6 (x + 2)


1
− 12 (x − 4)






0
,
dla x ∈ (−2, 0],
,
dla x ∈ (0, 4],
,
poza tym.
(a) Narysować wykres funkcji gęstości.
(b) Wyznaczyć dystrybuantę i narysować jej wykres.
(c) Obliczyć prawdopodobieństwo P (−1 < X < 1) (na dwa sposoby: z funkcji gęstości i z dystrybuanty; zinterpretować na wykresie funkcji gęstości i dystrybuanty).
(d) Obliczyć: EX, M o, M e, Q1 , Q3 .
3. Zmienna losowa X ma rozkład N (2, 15; 5). Obliczyć prawdopodobieństwa: P (X > 4), P (0 < X < 3).
4. Niech zmienna losowa X ma rozkład N
3
2, 2
. Obliczyć prawdopodobieństwa: P (X < 2, 5),
P (X > −0, 5), P (0, 5 < X < 2).
5. Automat produkuje części, których długość jest zmienną losową o rozkładzie N (2; 0, 2) (w cm).
Wyznaczyć prawdopodobieństwo otrzymania braku, jeśli dopuszczalne długości części powinny zawierać się w przedziale (1, 7; 2, 3).
6. Automat produkuje odważniki 10-gramowe. Błędy pomiarów masy tych odważników mają rozkład
normalny o wartości oczekiwanej µ = 0 g i odchyleniu standardowym σ = 0, 01 g. Obliczyć prawdopodobieństwo, że pomiar masy będzie przeprowadzony z błędem nieprzekraczającym 0, 02 g.