Matematyka ekonomiczna

Matematyka ekonomiczna
Lista 4
Zad. 1. Niech zmienne losowe X i Tx oznaczają odpowiednio czas trwania życia noworodka oraz przyszły czas
życia x–latka. Zinterpretować poniższe zapisy i rozstrzygnąć, które są równoważne:
a) Pr(X ¬ x)
b) Pr(X > x)
c) s(x), s(t)
d) F (z) − F (x)
e) Pr(x < X ¬ z)
f) s(z) − s(x)
g) X
h) Pr(Tx > t)
i) Pr(Tx ¬ t)
j) Pr(x < X ¬ z|X > x)
k) T0
l)
m) Pr(T0 > t)
r) Pr(T0 > x + t|T0 > x)
n) Pr(X > x + t|X > x)
s) Pr(u < Tx ¬ u + t)
o) t qx
t) t px+u
v) Pr(Tx > u + t|Tx > u)
w) Pr(Tx ¬ u + t|Tx > u)
z)
s(x) − s(z)
s(x)
p) t px
u) t qx+u
u|t qx
Zad. 2. Obliczyć prawdopodobieństwo zgonu w ciągu roku osoby 50 letniej, jeśli funkcja trwania życia dana jest
wzorem:
x
s(x) = 1 − ,
0 ¬ x ¬ c.
c
O ile razy wzrośnie prawdopodobieństwo zgonu tej osoby w ciągu t lat?
Zad. 3. Zakładając, że jest spełnione: Pr(Tx > t) ≡ Pr(T0 > x + t|T0 > x) (hipoteza jednorodnej populacji)
pokazać, że:
• t p0 = s(t)
• t px =
s(x+t)
s(x)
• µt = µ ⇒ qx = 1 − exp(−µ)
• µx+t = µ ⇒ t px = exp(−µt)
Zad. 4. Pokazać, że gęstość zmiennej losowej Tx można wyrazić jako iloczyn funkcji przeżycia t px i natężenia
zgonów µx+t – czyli fx (t) = t px µx+t .
Zad. 5. Mając daną funkcję natężenia zgonów:
µx =
1
,
100 − x
x < 100
obliczyć prawdopodobieństwo, że 40 latek przeżyje więcej niż 10 lat. ( Wskazówka: wiemy, że µx+t =
fx (t)
1−Fx (t) ,
x (t))
więc µx+t = − ∂ log(1−F
.Wystarczy scałkować obustronnie)
∂t
Zad. 6. Natężenie zgonów opisuje funkcja µx = x/100. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że osoba w wieku 15
lat umrze miedzy 35 a 45 rokiem życia. Dodatkowo narysować wykres zależności tego prawdopodobieństwa
od wieku osoby.
Zad. 7. Zinterpretować poniższe wzory:
lx+t
lx
lx − lx+t
t qx =
lx
lx+u − lx+u+1
dx+u
=
u|1 qx ≡ u| qx =
lx
lx
lx+u − lx+u+t
= u px − u+t px
u|t qx =
lx
t px
=
(1)
(2)
(3)
(4)
Zad. 8. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że osoby w wieku: 10, 30, 50 i 70 lat przeżyją więcej niż 10 lat, jeśli
rozkład trwania życia osoby nowo narodzonej podlega prawu Gompertza, o funkcji trwania życia:
B x
s(x) = exp −
(c − 1) ,
B > 0, c > 1, x ­ 0.
ln c
Do obliczeń przyjąć oszacowania parametrów B = 5.2967∗10−5 i c = 1.0926. Porównać obliczenia z tablicami
trwania życia (dokonać ponownego obliczenia na nich podstawie).