Teoria mocy II - Maciej Bendkowski

MFI
Metody Formalne Informatyki: Zestaw 8
Semestr zimowy 2016/2017
Kraków
7 grudnia 2016
Teoria mocy II
Zadanie 1. Wyznacz moc poniższych zbiorów:
(i) Zbiór wszystkich przeliczalnych ciągów liczb rzeczywistych,
(ii) (?) Zbiór wszystkich funkcji ciągłych zmiennej rzeczywistej,
(iii) Zbiór wszystkich funkcji monotonicznych zmiennej rzeczywistej,
(iv) (?) Zbiór wszystkich funkcji różnowartościowych zmiennej rzeczywistej.
Zadanie 2. (?) Czy zbiór miejsc zerowych funkcji ciągłej f : R → R może być nieprzeliczalny, gdy funkcja f nie jest stała na żadnym przedziale?
Zadanie 3. Niech A będzie rodziną zbiorów taką, że dla każdego A ∈ A istnieje zbiór
S
B ∈ A, który nie jest równoliczny z żadnym podzbiorem zbioru A. Udowodnij, że A nie
jest równoliczna z żadnym podzbiorem zbioru z A.
Zadanie 4. (?) Dana jest rodzina okręgów A taka, że dla dowolnego x ∈ R istnieje okrąg
w A taki, że należy do niego punkt (x, 0). Sprawdź, czy w takim przypadku istnieją dwa
różne okręgi w A, które się przecinają.
Zadanie 5. (?) Niech A ⊆ R2 będzie takim zbiorem punktów na płaszczyźnie, dla ktorego
odległości pomiędzy dowolnymi punktami z A są wymierne. Wyznacz moc A.
Zadanie 6. Wykaż, że dowolny zbiór przeliczalny można podzielić na skończoną rodzinę
parami rozłącznych, niepustych zbiorów przeliczalnych.
Zadanie 7. Udowodnij, że dla dowolnego zbioru X ⊆ R zbiór
{x ∈ X | ∃ε > 0 (x − ε, x + ε) ∩ X = {x}}
jest co najwyżej przeliczalny.
Zadanie 8. Udowodnij, że dla każdego ciągu (fn )n∈N , którego wyrazy należą do zbioru
NN istnieje ciąg g ∈ NN taki, że
∀n ∈ N ∃m ∈ N ∀k ∈ N (k > m) → fn (k) < g(k).
Zadanie 9. Rozważmy zbiór wielomianów stopnia n o współczynnikach wymiernych.
Udowodnij, że rozważany zbiór jest przeliczalny. Podaj moc zbioru wszystkich pierwiastków wielomianów o współczynnikach wymiernych.
Zadanie 10. Wykaż, że na płaszczyźnie R2 da się umieścić co najwyżej przeliczalnie
wiele rozłącznych obiektów w kształcie litery T . Czy istnieje litera alfabetu łacińskiego
dla której umieścimy nieprzeliczalnie wiele obiektów w R2 ?
Strona 1/2
MFI
Metody Formalne Informatyki: Zestaw 8
Semestr zimowy 2016/2017
Kraków
7 grudnia 2016
Zadanie 11. Niech A ⊆ [0, 1]. Rozważmy następującą grę dwuosobową. Alicja oraz Bob
naprzemiennie wybierają cyfry dziesiętne (0, 1, . . . , 9) tworząc dwa ciągi x0 , x1 , . . . oraz
y0 , y1 , . . .. Alicja wygrywa grę, jeżeli liczba 0.x0 y0 x1 y1 . . . ∈ A. W przeciwnym wypadku
wygrywa Bob. Wykaż, że Bob posiada strategię wygrywającą pod warunkiem, że A jest
przeliczalny.
Zadanie 12. (?) Niech (r)n∈N będzie ciągiem wszystkich liczb wymiernych. Sprawdź, czy
dla dowolnego ciągu (x)n∈N liczb wymiernych istnieją permutacje π1 , π2 spełniające:
∀n ∈ N : xn = rπ1 (n) + rπ2 (n)
Zadanie 13. Na zbiorze NN dana jest relacja R określona następująco:
f Rg ↔ ∀n∈N f (2n) = g(2n).
(i) Pokaż, że R jest relacją równoważności.
(ii) Jaka jest moc klasy [{f ∈ NN : f (n) = 2n}]R ?
(iii) Pokaż, że dowolne dwie klasy tej relacji są równoliczne i mają moc c.
(iv) Pokaż, że moc zbioru klas abstrakcji wynosi c.
Zadanie 14. Niech A będzie rodziną okręgów na płaszczyźnie, dla których dowolne dwa
albo nie mają punktów wspólnych albo są styczne. Pokaż, że zbiór punktów, w których
stykają się dwa okręgi z A jest przeliczalny.
Zadanie 15. Zbiór A zawarty w płaszczyźnie R2 nazwiemy widelcem, gdy jest on sumą
trzech różnych odcinków o wspólnym końcu. Pokaż, że każda rozłączna rodzina widelców
jest przeliczalna.
Zadanie 16. Rozważmy następującą indukcyjną konstrukcję ciągu (I)n∈N . Niech I0 =
[0, 1]. Załóżmy, że mamy skonstruowany In i chcemy skonstruować zbiór In+1 . Dzielimy
każdy spójny przedział i zbioru In na trzy równe przedziały Li , Si , oraz Ri takie, że Li
oraz Ri są obustronnie domknięte, a Si jest zbiorem obustronnie otwartym. Do zbioru
In+1 bierzemy sumę wszystkich Li oraz Ri . Mając ciąg (I)n∈N definiujemy zbiór Cantora
T
jako n∈N In . Wykaż, że tak skonstruowany zbiór Cantora jest nieprzeliczalny.
Strona 2/2