za 10.01.

Teoria mocy
1
Zbiory przeliczalne
Definicja. Zbiór, którego elementy można ustawić w ciąg (skończony lub nieskończony), nazywamy przeliczalnym.
Przykład. Z jest zbiorem przeliczalnym.
Twierdzenie. Q jest zbiorem przeliczalnym.
2
Zbiory nieprzeliczalne
Twierdzenie. Zbiór zawierający zbiór nieprzeliczalny jest zbiorem
nieprzeliczalnym.
Twierdzenie. Jeśli zbiór X ma więcej niż jeden element, to zbiór
wszystkich ciągów nieskończonych o wyrazach z X jest zbiorem
nieprzeliczalnym.
3
Przykład. R jest zbiorem nieprzeliczalnym.
Twierdzenie. Różnica A \ B zbioru nieprzeliczalnego A i zbioru
przeliczalnego B, jest zbiorem nieprzeliczalnym.
Przykład. Zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem nieprzeliczalnym.
4
Równoliczność zbiorów
Definicja. Zbiory A i B nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje
bijekcja f : A → B.
Przykład. Dwa zbiory skończone są równoliczne dokładnie wtedy, gdy mają tę samą liczbę elementów.
Przykład. Dowolne dwa nieskończone zbiory przeliczalne są równoliczne.
5
Przykład. Dowolne dwa spośród następujących zbiorów są równoliczne:
R, R \ {0}, R+, R+ ∪ {0}, (0, 1), [0, 1), [0, 1].
Przykład. Jeśli a < b i c < d, to przedziały (a, b) i (c, d) są
równoliczne.
6
Twierdzenie. Jeżeli zbiór A jest nieskończony, to dla dowolnego
podzbioru skończonego B ⊆ A, zbiory A i A \ B są równoliczne.
Twierdzenie. Jeżeli zbiór A jest nieprzeliczalny, to dla dowolnego
podzbioru przeliczalnego B ⊆ A, zbiory A i A \ B są równoliczne.
Wniosek. Zbiór R \ Q jest równoliczny z R.
7
Liczby kardynalne
Każdemu zbiorowi odpowiada liczba kardynalna nazywana mocą
tego zbioru.
Moc zbioru A oznaczamy symbolami: |A|, A, #A.
Zbiory A i B są równoliczne dokładnie wtedy, gdy ich moce są
równe: |A| = |B|.
8
Moc zbioru liczb naturalnych oznaczamy symbolem "alef zero":
|N| = ℵ0.
Moc zbioru liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem "continuum":
|R| = C.
Przykłady zbiorów mocy continuum: R \ {0}, R+, (a, b), [a, b],
[a, +∞), R \ Q.
9
Nierówności między liczbami kardynalnymi
Definicja. Mówimy, że moc zbioru A nie przekracza mocy zbioru
B, jeśli istnieje funkcja różnowartościowa f : A → B. Oznaczenie:
|A| 6 |B|.
Definicja. Mówimy, że moc zbioru A jest mniejsza od mocy
zbioru B (co zapisujemy: |A| < |B|), jeśli |A| 6 |B| i |A| 6= |B|.
10
Twierdzenie Cantora – Bernsteina. Jeśli |A| 6 |B| i |B| 6 |A|,
to |A| = |B|.
Wniosek. Jeśli |A| 6 |B|, |B| 6 |C| i |A| = |C|, to |A| = |B| = |C|.
Twierdzenie Cantora. Dla dowolnego zbioru A zachodzi nierówność |2A| > |A|.
11
Niech (X, 4) będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Niech
A ⊂ X będzie dowolnym podzbiorem. Element b ∈ X nazywamy
ograniczeniem górnym zbioru A, jeśli
∀a∈A a 4 b.
Lemat Kuratowskiego – Zorna. Jeśli w zbiorze częściowo uporządkowanym (X, 4) każdy podzbiór liniowo uporządkowany posiada ograniczenie górne, to w zbiorze X istnieje element maksymalny.
12
Pewnik wyboru. Dla każdej rodziny zbiorów niepustych i parami
rozłącznych istnieje zbiór, który z każdym ze zbiorów tej rodziny
ma dokładnie jeden element wspólny.
Hipoteza continuum. Dowolny nieskończony podzbiór zbioru R
ma moc ℵ0 lub C.
13