Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyklad 14
Formy kwadratowe I
Wielomian n-zmiennych x1 , . . . , xn postaci
n
X
aij xi xj ,
(1)
i,j=1
gdzie aij ∈ R oraz aij = aji dla wszystkich i, j = 1, . . . , n nazywamy forma, kwadratowa,
n-zmiennych.
Forme, kwadratowa, (1) można też zapisywać w postaci
n
X
i=1
aii x2i +
X
2aij xi xj .
(2)
i<j
Przyklad 14.1. (a) Postacia, ogólna, formy kwadratowej jednej zmiennej jest wyrażenie ax21 ,
gdzie a ∈ R.
(b) Postacia, ogólna, formy kwadratowej dwóch zmiennych jest wyrażenie ax21 + bx22 + 2cx1 x2 ,
gdzie a, b, c ∈ R.
(c) Postacia, ogólna, formy kwadratowej trzech zmiennych jest wyrażenie a1 x21 + a2 x22 + a3 x23 +
2ax1 x2 + 2bx1 x3 + 2cx2 x3 , gdzie a1 , a2 , a3 , a, b, c ∈ R. 2
Macierz A = [aij ] ∈ Mn (R) nazywamy macierza, formy (1), r(A) nazywamy rzedem
formy
,
(1), zaś det(A) nazywamy wyróżnikiem tej formy.
Z definicji formy kwadratowej wynika, że jej macierz A spelnia warunek A = AT , czyli A jest
macierza, symetryczna.
, Na odwrót, każda macierz symetryczna jest macierza, pewnej formy
kwadratowej.
Przyklad 14.2. Macierza, formy kwadratowej x21 + x22 − 3x1 x2 − 3x1 x3 trzech zmiennych
1 − 23 − 23

 3
x1 , x2 , x3 jest A =  − 2
1
0 . Zatem wyróżnik tej formy det(A) = (−1)3+1 · (− 32 ) ·
− 32
0
0
−3 −3 2
2 = (− 3 ) · (−(− 3 )) = − 9 6= 0, skad jej rzad wynosi 3. 2
,
,
2
2
4
1
0 Na forme, kwadratowa, (1) możemy też patrzeć jak na funkcje, n-zmiennych F : Rn → R dana,
wzorem
n
X
F ([x1 , . . . , xn ]) =
aij xi xj ,
(3)
i,j=1
gdyż funkcja F jest wyznaczona jednoznacznie przez wspólczynniki aij , bo aij =
εj ) − F (εi ) − F (εj )] dla wszystkich i, j ∈ {1, . . . , n}.
1
1
2
· [F (εi +
Utożsamiajac
, macierz [a] ze skalarem a ∈ R uzyskamy,
 że
a11

 a21
[x1 , . . . , xn ] · A · [x1 , . . . , xn ]T = [x1 , . . . , xn ] · 
 ..
 .

=
"
h


i 

x1 , . . . , x i , . . . , x n · 



n
X
a12
a22
..
.
. . . a1n
. . . a2n
..
..
.
.
. . . ann



x1

  . 
 ·  .. 


xn
=
an1 an2

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn

..

" n
#
n
.

X
X

[xi ·
aij xj ] =
ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + ain xn  =

i=1
j=1
..

.

an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn
#
aij xi xj
= F ([x1 , . . . , xn ]), a wiec
, wzór (3) można zapisać w postaci:
i,j=1
F ([x1 , . . . , xn ]) = [x1 , . . . , xn ] · A · [x1 , . . . , xn ]T .
(4)
Twierdzenie 14.3. Niech f bedzie
automorfizmem przestrzeni liniowej Rn posiadajacym
w
,
,
bazie kanonicznej macierz B i niech F bedzie
form
a
kwadratow
a
n-zmiennych
o
macierzy
A.
,
,
,
Wówczas F ◦ f też jest forma, kwadratowa, n-zmiennych i jej macierza, jest B T · A · B.
Dowód. Na mocy wzoru (4) (F ◦f )([x1 , . . . , xn ]) = F (f ([x1 , . . . , xn ])) = F ([x1 . . . xn ]·B T ) =
[x1 . . . xn ] · B T · A · ([x1 . . . xn ] · B T )T = [x1 . . . xn ] · (B T · A · B) · [x1 . . . xn ]T . Wystarczy zatem
pokazać, że macierz B T · A · B jest symetryczna. Ale z wlasności transponowania macierzy
(B T · A · B)T = B T · AT · (B T )T = B T · A · B, gdyż macierz A jest symetryczna. 2
Definicja 14.4. Powiemy, że formy kwadratowe F i G, n-zmiennych sa, równoważne, jeżeli
istnieje automorfizm f przestrzeni Rn taki, że G = F ◦ f .
Z twierdzenia 14.3 i ze stwierdzenia 11.15 otrzymujemy od razu nastepuj
ace
,
,
Twierdzenie 14.5. Równoważne formy kwadratowe n-zmiennych maja, takie same rzedy.
2
,
Twierdzenie 14.6. Relacja równoważności form kwadratowych jest relacja, równoważności
w rodzinie wszystkich form kwadratowych n-zmiennych.
Dowód. Niech F , G, H bed
, a, dowolnymi formami kwadratowymi n-zmiennych. Ponieważ
idRn jest automorfizmem przestrzeni Rn oraz F = F ◦ idRn , wiec
, forma F jest równoważna
formie F .
Zalóżmy, że forma F jest równoważna formie G. Wtedy istnieje automorfizm f przestrzeni
n
R taki, że G = F ◦ f . Ale wtedy f −1 też jest automorfizmem przestrzeni Rn oraz F = G ◦ f −1 ,
wiec
, forma G jest równoważna formie F .
Zalóżmy, że forma F jest równoważna formie G oraz forma G jest równoważna formie H.
Wtedy istnieja, automorfizmy f , g przestrzeni Rn takie, że G = F ◦ f i H = G ◦ g. Zatem
H = F ◦ (f ◦ g). Ale f ◦ g jest automorfizmem przestrzeni Rn , wiec
, forma F jest równoważna
formie H. 2
2
Definicja 14.7. Forma, kanoniczna, n-zmiennych nazywamy forme, postaci
c1 x21 + c2 x22 + . . . + cn x2n ,
(5)
dla pewnych c1 , c2 , . . . , cn ∈ R.
Twierdzenie 14.8. Każda forma kwadratowa n-zmiennych jest równoważna pewnej formie
kanonicznej n-zmiennych.
Dowód. Zastosujemy indukcje, wzgledem
n. Przeprowadzone przez nas rozumowanie nazywa
,
sie, metoda, Lagrange’a sprowadzania formy kwadratowej do postaci kanonicznej.
Dla n = 1 teza jest oczywista na mocy przykladu 14.1 (a).
Niech n bedzie
taka, liczba, naturalna, wieksz
a, od 1, że każda forma kwadratowa (n − 1),
,
zmiennych jest równoważna pewnej formie kanonicznej (n − 1)-zmiennych. Rozważmy dowolna,
forme, kwadratowa, F , n-zmiennych o macierzy A = [aij ] ∈ Mn (R). Jeżeli aij = 0 dla wszystkich
i, j ∈ {1, . . . , n}, to F jest forma, kanoniczna.
, Zalóżmy wiec
, dalej, że akl 6= 0 dla pewnych
k, l ∈ {1, . . . , n}, przy czym k ≤ l. Możliwe sa, teraz tylko dwa przypadki.
Przypadek 1. aii = 0 dla wszystkich i = 1, . . . , n. Wtedy k < l oraz
X
F ([x1 , . . . , xn ]) = 2 ·
aij xi xj =
i<j
=2·
X
aij xi xj + 2 ·
i<j,i6=k,j6=l
X
i<l,i6=k
Rozważmy przeksztalcenie liniowe f :
Rn
→
X
ail xi xl + 2 ·
akj xk xj + 2akl xk xl .
k<j,j6=l
Rn
dane wzorem
f ([x1 , . . . , xk , . . . , xl , . . . , xn ]) = x1 , . . . ,
xk + xl
xk − xl
,...,
, . . . , xn .
2
2
Ponieważ f 2 = idRn , wiec
Rn . Ponadto (F ◦f )([x1 , . . . , xn ]) =
, f jest automorfizmem przestrzeni
X
X
xk − xl
xk −xl
l
F ([x1 , . . . , xk +x
+
,
.
.
.
,
,
.
.
.
,
x
])
=
2
·
a
x
x
+
2
·
ail xi
n
ij
i
j
2
2
2
i<j,i6=k,j6=l
i<l,i6=k
X
xk + xl
xk + xl xk − xl
2·
akj
xj +2akl
·
. Mamy tutaj cztery skladniki, przy czym w pierw2
2
2
k<j,j6=l
szych trzech skladnikach (bed
sumami) nie wystapi
x2k . Ponieważ akl 6= 0, wiec
,
,
, w otrzy, acych
2
manej formie kwadratowej (równoważnej formie F ), xk wystapi
z niezerowym wspólczynnikiem
,
akl
równym 2 . W ten sposób dochodzimy do przypadku 2.
Przypadek 2. ass 6= 0 dla pewnego s = 1, . . . , n. Bez zmniejszania ogólności rozważań
możemy zakladać, że s = n, gdyż dla s < n przy pomocy automorfizmu f przestrzeni Rn
danego wzorem f ([x1 , . . . , xs , . . . , xn ]) = [x1 , . . . , xn , . . . , xs ] możemy forme, F zastapić
forma,
,
F ◦ f , w której wspólczynnik przy xn jest równy ass 6= 0. Niech zatem dalej ann 6= 0. Wtedy
F ([x1 , . . . , xn ]) =
X
aij xi xj + 2 ·
i<j<n
=
i<j<n
aij xi xj + ann
ain xi xn + ann x2n =
i=1
n−1
X
n−1
X
1 X
xn +
ain xi
ann
i=1
3
!2
1
−
ann
n−1
X
i=1
!2
ain xi
.
Niech g bedzie
przekszta
lceniem liniowym przestrzeni
Rn w siebie danym wzorem
,
"
#
n−1
X
1
g([x1 , . . . , xn−1 , xn ]) = x1 , . . . , xn−1 , xn − ann
ain xi ) .
i=1
Wówczas Ker(g) = {θ}, wiec
g jest automorfizmem przestrzeni Rn .
Ponadto
,
2
(F ◦ g)([x1 , . . . , xn ]) = ann xn + G([x1 , . . . , xn−1 ]), gdzie G jest forma, kwadratowa, (n − 1)!2
n−1
X
X
1
zmiennych i G([x1 , . . . , xn−1 ]) =
aij xi xj −
ain xi . Z zalożenia indukcyjnego
ann
i<j<n
i=1
istnieje automorfizm h przestrzeni Rn−1 taki, że (G ◦ h)([x1 , . . . , xn−1 ]) = c1 x21 + . . . + cn−1 x2n−1
dla pewnych c1 , . . . , cn−1 ∈ R. Istnieja, zatem funkcjonaly ϕi : Rn → R dla i = 1, . . . , n − 1 takie,
że h([x1 , . . . , xn−1 ]) = [ϕ1 ([x1 , . . . , xn−1 ]), . . . , ϕn−1 ([x1 , . . . , xn−1 ])]. Niech t : Rn → Rn bedzie
,
odwzorowaniem danym wzorem
t([x1 , . . . , xn−1 , xn ]) = [ϕ1 ([x1 , . . . , xn−1 ]), . . . , ϕn−1 ([x1 , . . . , xn−1 ]), xn ]. Wówczas t jest przeksztalceniem liniowym i Ker t = {θ}, czyli t jest automorfizmem przestrzeni Rn . Ponadto
(F ◦ (g ◦ t))([x1 , . . . , xn ]) = c1 x21 + . . . + cn−1 x2n−1 + ann x2n . 2
Przyklad 14.9. Przy pomocy metody Lagrange’a sprowadzimy do postaci kanonicznej
forme, kwadratowa, F ([x1 , x2 , x3 , x4 ]) = x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x4 x1 i znajdziemy automorfizm
liniowy f przestrzeni R4 taki, że F ◦ f jest forma, kanoniczna.
, Mamy tutaj przypadek 1, wiec
,
4 x3 −x4
f1 ([x1 , x2 , x3 , x4 ]) = [x1 , x2 , x3 +x
,
].
Wtedy
2
2
(F ◦ f1 )([x1 , x2 , x3 , x4 ]) =
x3 + x4 x3 + x4 x3 − x4 x3 − x4
+
·
+
x1 =
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
= x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 + x23 − x24 + x2 x4 − x1 x4 =
2
2
4
4
2
2
1
1 2 1
1
1
= x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 + x3 − (x4 − x2 + x1 )2 + (x2 − x1 )2 =
2
2
4
4
4
1
1
1
1
1
1
1
= − (x4 − x2 + x1 )2 + x21 + x22 + x23 + x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 .
4
4
4
4
2
2
2
1 2
Stad
f
([x
,
x
,
x
,
x
])
=
[x
,
x
,
x
,
x
+
x
−
x
].
Zatem
(F
◦
f
◦
f
)([x
,
x
2
1 2 3 4
1 2 3 4
2
1
1
2
1 2 , x3 , x4 ]) = − 4 x4 +
,
1 2
1 2
1 2
1
1
1
4 x1 + 4 x2 + 4 x3 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 2 x2 x3 . Teraz zajmiemy sie, forma, kwadratowa, G1 :
= x1 x2 + x2
1
1
1
1
1
1
G1 ([x1 , x2 , x3 ]) = x21 + x22 + x23 + x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 =
4
4
4
2
2
2
1
1
1
1
= (x23 + 2x1 x3 + 2x2 x3 ) + x21 + x22 + x1 x2 =
4
4
4
2
1
1
1
1
1
= (x3 + x1 + x2 )2 − (x1 + x2 )2 + x21 + x22 + x1 x2 =
4
4
4
4
2
1
= (x3 + x1 + x2 )2
4
Stad
h1 ([x1 , x2 , x3 ]) = [x1 , x2 , −x1 − x2 + x3 ] oraz (G1 ◦ h1 )([x1 , x2 , x3 ]) =
,
f3 ([x1 , x2 , x3 , x4 ]) = [x1 , x2 , x3 − x1 − x2 , x4 ] oraz
1
1
(F ◦ f1 ◦ f2 ◦ f3 )([x1 , x2 , x3 , x4 ]) = x23 − x24 .
4
4
4
1 2
4 x3 .
Zatem
Pozostaje zatem obliczyć f1 ◦ f2 ◦ f3 .
Ponieważ (f2 ◦ f3 )([x1 , x2 , x3 , x4 ]) =
= f2 ([x1 , x2 , x3 −x1 −x2 , x4 ]) = [x1 , x2 , x3 −x1 −x2 , x4 +x2 −x1 ], wiec
, (f1 ◦f2 ◦f3 )([x1 , x2 , x3 , x4 ]) =
1
1
f1 ([x1 , x2 , x3 − x1 − x2 , x4 + x2 − x1 ]) = [x1 , x2 , −x1 + 2 x3 + 2 x4 , −x2 + 21 x3 − 21 x4 ]. Zatem
szukanym automorfizmem liniowym przestrzeni R4 jest
1
1
1
1
f ([x1 , x2 , x3 , x4 ]) = x1 , x2 , −x1 + x3 + x4 , −x2 + x3 − x4 .
2
2
2
2
5