tensory - MarDruk

INSTYTUT MATEMATYKI
POLITECHNIKA KRAKOWSKA
Dr Margareta Wiciak, Dr Monika Herzog
e-mail: [email protected], [email protected]
1. Elementy rachunku tensorowego
zad.1. Wykazać, że układ wektorów
a) (1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0);
√
√
√
√
√
√
b) ( 2/2, 2/2, 0), ( 2/2, 0, 2/2), (0, 2/2, 2/2);
√
√
√
√
√
c) (1, 0, 0), ( 2/2, 2/2, 0), ( 3/3, 3/3, 3/3);
√
√
√
d) (1, 0, 0), (0, 0, 1), ( 3/3, 3/3, 3/3)
tworzy bazę ortonormalną w R3 .
zad.2. Współrzędne tensora t w R3 tworzą macierz A. Określić rząd p tensora t i podać formę p-liniową
odpowiadającą tensorowi t, jeśli






3
0 √
1
1 2 3
0 1 1
7 
0
5
a) A = [ 1 2 3 ] b) A = [ 0 1 1 ] c) A =  4 5 6  d) A =  1 1 0  e) A =  √
7 8 9
0 0 1
2 4 3
zad.3. Określić, jak zmieniają się współrzędne tensora t przy przejściu od bazy kanonicznej
(e1 , e2 , e3 ) = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) do bazy (e10 , e20 , e30 ) = ((0, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0)),
jeśli forma p-liniowa odpowiadająca t jest postaci
a) T (x) = x1 + 2x2 + 3x3 ;
b) T (x) = x2 + x3 ;
c) T (x, y) = x1 y1 + 2x1 y2 + 3x1 y3 + 4x2 y1 + 5x2 y2 + 6x2 y3 + 7x3 y1 + 8x3 y2 + 9x3 y3 ;
d) T (x, y) = x1 y2 + x1 y3 + x2 y1 + x2 y2 + x3 y3 .
zad.4. Tensor t, którego współrzędne tworzą macierz








1
7
6
1 −1 1
1 2 3
−1 2 1
a) [aij ] =  4 5 6  b) [aij ] =  2 0 3  c) [aij ] =  1 1 8  d) [aij ] =  −7 2 −2 
4 10 3
1 −2 1
7 8 9
−3 3 0
przedstawić w postaci sumy tensora symetrycznego a(ij) i antysymetrycznego a[ij] .
zad.5. Zdiagonalizować

1 −2
a) [aij ] =  −2 0
2
0
tensor symetryczny aij rzędu 2, jeśli jego współrzędne tworzą macierz







2
3 2 1
1 2 1
0 1
1
0  b) [aij ] =  2 3 1  c) [aij ] =  2 −5 2  d) [aij ] =  1 0 −1 
2
1 1 4
1 2 1
1 −1 0
zad.6. Dany jest tensor aij rzędu 2 oraz tensory xi , yj rzędu 1.


1 2 3
a) [aij ] =  4 5 6 , [xi ] = [ 1 2 3 ], [yj ] = [ 0 1 0 ];
7 8 9


0 1 1
b) [aij ] =  1 1 0 , [xi ] = [ 1 0 1 ], [yj ] = [ 7 8 9 ].
0 0 1
Obliczyć iloczyny tensorów aij xj , aij xi yj .