Aksjomatyzacja - prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF

o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF
51-611 Wrocław, ul. Wieniawskiego 38
www.piotr-liszka.strefa.pl
+ Aksjomatyzacja ambiwalentna „Spośród różnych procedur wiedzotwórczych
– obok rozumowań nie wprost czy ambiwalentnego charakteru
aksjomatyzacji – ks. Lubański szczególną uwagę poświęca analizie
metodologicznej pojęć analogii i interpretacji. Przez analogię rozumie się
pewnego rodzaju podobieństwo pomiędzy danymi obiektami, strukturami czy
układami. Z określeniem analogii wiąże się własność symetrii; analogia
między układami może mieć wiele różnych aspektów. Z kolei interpretacja
oznacza przyporządkowanie, przy spełnieniu określonych warunków,
wyrażeniom
języka
przedmiotów
pewnej
dziedziny.
Stwierdzając
analogiczność obiektów, przechodzimy od konkretnych tworów do warunków
ogólnych. Szukamy ich realizacji, a więc klasy różnych ich interpretacji. Tu
droga postępowania polega na przejściu od danych warunków do wskazania
konkretnych tworów spełniających je, a tym samym analogicznych. W ten
sposób czynność doszukiwania się analogii między obiektami oraz czynność
interpretowania danych warunków stanowią procedury wiedzotwórcze idące
niejako w przeciwnych kierunkach. Analogia prowadzi do sformułowania
pewnych warunków, interpretacja danych warunków wiedzie do analogii. Ta
ostatnia, zwłaszcza w postaci wnioskowania przez analogię, jest powszechnie
stosowana w naszym myśleniu, w nauce. Analogia jako droga od
rzeczywistości do myśli jest nierozerwalnie związana z interpretacją jak droga
od myśli do rzeczywistości. To upoważnia Autora do wniosku na temat ścisłej
łączności ontologii z teorią poznania. Interesującym przykładem ukazania
metodologiczno-heurystycznej roli analogii jest wprowadzenie pojęcia infonu.
W dzisiejszym obrazie świata da się wyróżnić aspekt kwantowy i
informacyjny. Materia i energia są kwantowane i jeżeli w odniesieniu do nich
można mówić o jednostkach elementarnych (kwantach), to przez analogię
narzuca się przyjęcie jednostki informacji, infonu. Infon byłby cząstka
zawierającą informację o zerowej masie i energii. Przykład ten może być
przyczynkiem do rozwoju heurystyki zajmującej się powstawaniem myśli
oraz poszukiwaniem metod i reguł służących dokonywaniu odkryć” /A.
Latawiec, A. Lemańska, Sz. W. Ślaga, Poglądy filozoficzne profesora
Mieczysława Lubańskiego, „Studia Philosophiae Chrisianae” ATK, 1994, t.
30, z. 2, 11-64, s. 15.
+ Aksjomatyzacja Boga odrzucone przez Objawienie „Gdy piszę o Trójcy,
piszę raczej o naszym chrześcijańskim doświadczeniu Boga, gdyż zgodnie z
naszą wiarą, kiedy mówimy, że wierzymy w Boga, pod słowem Bóg
rozumiemy Ojca, Syna i Ducha Świętego. Poza tym potrójnym wyznaniem
wiary nie mamy żadnego doświadczenia Boga. I w ten sposób dla nas
chrześcijan nasze doświadczenie Trójcy i nasza wiara w Boga istnieją lub
giną razem. Fakt ten przypomina nam, że nasze pojęcie Boga nie jest
bynajmniej czymś, co możemy po prostu z góry założyć. Jedną z
największych trudności wiary jest wytłumaczenie tego, co się dokładnie
rozumie pod pojęciem Boga” /J. J. O’Donell, Tajemnica Trójcy Świętej (The
Mystery of the Triune God, Paulist Press, New York/Mahwah 1990, tłum.
1
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
Piotr Wilczek), WAM, Kraków 1993, s. 7/. “Bóg Arystotelesa jest niezmienną
“myślą myślącą siebie”. To pojęcie ogromnie wpłynęło na świat, w którym
chrześcijaństwo najpierw przeżyło swój rozkwit. Z drugiej strony mentalność
hebrajska wiąże Boga z wydarzeniem historycznym. Chrześcijaństwo idzie
nawet dalej, twierdząc, że Bóg utożsamił się całkowicie z częścią historii, a
mianowicie z życiem Jezusa z Nazaretu. Bóg stał się istotą czasową w tym
człowieku. Poza tym chrześcijaństwo ośmiela się twierdzić, że Bóg utożsamił
się z cierpieniem i krzyżem tego człowieka. Stąd więc Bóg i cierpienie nie są
pojęciami sprzecznymi. Jednym z największych wyzwań dla chrześcijaństwa
jest myślenie o Bogu z związku z doczesnością i zniszczalnością /Zob. E.
Jüngel, God as the Mystery of the World, Edynburg 1983, s. 184 nn./’.
/Ibidem 8/. „On jest istotą, która wchodzi w głębokie osobiste związki ze
swymi stworzeniami” /N. Clarke, A New Look at the Immutability of God, w:
God Knowable and Unknowable, adited by R. Roth, New York 1973, s. 44/.
„W świetle tych trudności niektórzy współcześni filozofowie zrezygnowali z
tradycyjnego pojęcia Boga i zastąpili je Bogiem, który jest z trakcie stawania
się wraz z resztą rzeczywistości. […] Whitehead i Harsthorne” /Ibidem 10.
+ Aksjomatyzacja definicji zbioru sprawia, że definicja ta staje się
abstrakcyjna.
„Przez długi okres uniwersalnym
fundamentem
matematyki wydawała się teoria zbiorów. Twórca tej teorii, G. Cantor,
rozumiał przez zbiór wielość elementów, która da się pomyśleć jako
jedność. Później, w wersji zaksjomatyzowanej, pojęcie zbioru nabrało
abstrakcyjnego charakteru o takiej ogólności, że wszystko, z czym
matematyka miała do czynienia, czy może raczej należałoby powiedzieć
– wszystko, z czym matematyka chciała mieć do czynienia, było
zbiorem. Wprawdzie pojęcie to napotkało od razu na szereg
niepokojących antynomii, wszelako przewagi, jakie posiadało, były tak
przygniatające, że matematycy patrzyli na te usterki z pewną – rzec
można – wyrozumiałością. Nawet dzisiaj, kiedy teoria kategorii stanowi
dlań pewną alternatywę, wielu nadal nie chce się zgodzić na
pozbawienie
teorii
mnogości
jej
metodologicznego
monopolu.
Fundamentalna rola teorii zbiorów w matematyce była silnie związana z
panującym w przyrodoznawstwie redukcjonizmem, nic więc dziwnego,
że była adresatem podobnych zastrzeżeń, z jakimi spotkał się
redukcjonizm. Przypomnijmy je raz jeszcze. Przede wszystkim nie
wszystko w przyrodzie daje się potraktować jako zbiór. Istnieją poważne
wątpliwości, czy zbiór punktów jest adekwatnym modelem dla
kontinuów takich np., jak przestrzeń fizyczna czy płynąca ciecz, nie
mówiąc już o takich tworach, jak żywa komórka, twarz ludzka czy
utwór muzyczny. Po drugie, elementy zbioru są z jednej strony różne, z
drugiej zaś, ponieważ ani nie mają żadnej treści wewnętrznej, ani nie
różnią się położeniem w zbiorze, są, jak dwa ziarnka piasku, całkowicie
nierozróżnialne” /R. Molski, O filozoficznych źródłach matematycznej teorii
kategorii, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E.
Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu,
Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 61-82, s. 73.
+ Aksjomatyzacja geometrii według Hilberta D. „Następnym – istotnym i
zasadniczym – krokiem w kierunku pojmowania geometrii jako abstrakcyjnego i
niezinterpretowanego systemu aksjomatycznego była praca Davida Hilberta
2
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
Grundlagen der Geometrie z roku 1899. Inspiracją dla Hilberta był wykład
H.Wienera na zjeździe przyrodników w Halle w 1891 roku pod tytułem
Grundlagen und Aufbau der Geometrie. Wiener mówił w nim o geometrii jako
„abstrakte Wissenschaft” (nauce abstrakcyjnej). Po raz pierwszy dał Hilbert
publicznie wyraz swym pomysłom związanym z aksjomatyzacją geometrii
chyba w drodze powrotnej z tego zjazdu, w poczekalni dworca w Berlinie,
mówiąc do swych towarzyszy podróży (którymi byli prawdopodobnie dwaj
geometrzy: A. Schoenflies i E. Kótter) w czasie dyskusji o podstawach
geometrii: „Zawsze musi być możliwe podstawienie 'stołów', 'krzeseł' czy 'kufli' za
'punkty', 'proste' czy 'płaszczyzny' w systemie aksjomatów geometrii” (por. O.
Blumenthal, Lebensgeschichte, ss. 402-403). Grundlagen der Geometrie Hilberta
były istotnie ważnym krokiem naprzód. Podczas gdy Pasch obawiał się
wyprowadzania podstawowych pojęć geometrii z doświadczenia, a jednocześnie
postulowania czegoś więcej ponad to, co gwarantuje doświadczenie, Hilbert
zaczyna swe dzieło po prostu tak: „Przedstawiamy sobie (wir denken uns) trzy
rodzaje rzeczy: rzeczy pierwszego rodzaju nazywamy punktami i oznaczamy
[literami] A, B, C,…; rzeczy drugiego rodzaju nazywamy prostymi i oznaczamy
[literami] a, b, c,…; rzeczy trzeciego rodzaju nazywamy płaszczyznami i
oznaczamy [literami] , , , … (...) Punkty, proste i płaszczyzny przedstawiamy
sobie w określonych stosunkach wzajemnych i oznaczamy te stosunki takimi
słowami, jak: leżeć na, między, równoległy, przystający, ciągły; ścisły i dla celów
matematycznych pełny opis tych stosunków osiąga się w aksjomatach
geometrii” (s. 2 – cytat według wydania dziesiątego)” /Murawski R. Filozofia
matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 199.
+ Aksjomatyzacja matematyki metodą aksjomatyczno-dedukcyjną porządkuje
ją i systematyzuje. „Prace Fregego pozostawały przez wiele lat nieznane i
niedoceniane. Jedną z przyczyn tego faktu była oryginalna, lecz skomplikowana symbolika, której używał. Wprowadzenie i używanie tej symboliki
związane było właśnie z ideą redukcji matematyki do logiki – dlatego
symbolika Fregego była zupełnie inna niż symbolika stosowana w
matematyce, co miało pozwolić uniknąć jakichkolwiek nieścisłości i pokazać,
że istotnie redukuje się matematykę do samej tylko logiki. Do grona niewielu
osób, które znały prace Fregego i potrafiły docenić ich znaczenie, należał
matematyk włoski Giuseppe Peano (1858-1932), który sam prowadził
badania m. in. w zakresie logiki matematycznej. Jego zasługą jest w
szczególności stworzenie bardzo dogodnej i przejrzystej symboliki logicznej i
matematycznej (używanej, z niewielkimi zmianami wprowadzonymi głównie
przez B. Russella, do dziś) oraz pokazanie, jak za pomocą metody
aksjomatyczno-dedukcyjnej
można
porządkować
i
systematyzować
matematykę (por. R. Murawski, Giuseppe Peano – Pioneer and Promoter of
Symbolic Logic oraz Giuseppe Peano a rozwój logiki symbolicznej). W
szczególności pokazał on, że całą arytmetykę liczb naturalnych można
wyprowadzić z pięciu podanych przez niego aksjomatów, zwanych dziś
aksjomatami Peana” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów,
Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s.86.
+ Aksjomatyzacja matematyki Platon o niej nie myślał. „Platon
poszukiwał prawomocnej metody, którą wiązał z dialektyką,
nadrzędną nawet względem matematyki. W Politei (VI-VII) ilustruje on
swój pogląd na metodę matematyki i dialektyki na przykładzie odcinka
3
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
dzielonego dychotomicznie na złudny dział zmysłowy i prawdziwy dział
umysłowy (noetyczny) z analogicznym podpodziałem wewnątrz
obydwu. Warto tu przytoczyć odnośny fragment tekstu: [cz.3] A
pozostałe [sztuki], o których mówiliśmy, że dotykają jakoś bytu –
geometria i jej pochodne – widzimy, że śnią o bycie, na jawie zaś nie
zdołają go dojrzeć, dopóki używając założeń uznają je za niewzruszone, nie mogąc dla nich podać racji. Kto bowiem przyjmuje
zasadę w tym, czego nie zna, a konkluzji i pośrednictw nie zna, z
czego są splecione, jakaż moc uczyni kiedykolwiek z tej zgodności
naukę? (Rcsp. 533b-c)” W powyższych wywodach mowa o dwóch
kierunkach badania: (1) od założeń ku bezzałożeniowej zasadzie, co
odpowiadać ma dialektyce dotyczącej pozazmysłowych idei-form z ideą Dobra na szczycie, oraz (2) od założeń ku konkluzji, co odpowiadać ma opartej
na naoczności matematyce. Występują tu dwa rozróżnione według analogii,
choć nie równorzędne porządki badawcze, noetyczny w dialektyce i
dianoetyczny w matematyce, z uznaniem nadrzędności tego pierwszego”
/M. Wesoły, Analiza w greckiej geometrii i analityce Arystotelesa, w: Między
matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D.
Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo
Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 19-40, s. 28/. „Próby
uzgodnienia tych wywodów z metodą greckiej analizy jako wnioskowania
regresywnego nasuwają szereg wątpliwości /F. M Cornford, Mathcmatics
and Dialectic in the Republic VI-VII, „Mind” XLI, 1932, s. 37-52, 173-190; R.
Robinson, Analysis in Greek Geometry, „Mind” XLV 1936, s. 464-73/. Trudno
też w dialektyce Platona dostrzec zamysł metody aksjomatycznej dla
matematyki greckiej (wbrew temu, co sądzi Jordan,: Z. Jordan, O
matematycznych podstawach systemu Platona, Poznań 1937, s. 166-188)”
Tamże, s. 29.
+ Aksjomatyzacja myśl rosyjskiej dokonana przez I. W. Kirejewskiego.
Wszyscy autorzy rosyjscy kontynuowali założenia myśli rosyjskiej, które
określił I. W. Kirejewskij (1806-1856), jako forma mentis, jako forma
słowiańskiego typu myślenia. B. Schultze widzi w tym przyczynę stałej
obecności tzw. „sentymentalizmu”, czyli chęci zrozumienia rdzenia, korzenia
religii, w sensie wewnętrznym, słowami serca. Substancja religijna człowieka
posiada bowiem zdolność poznania Boga, w naturze ludzkiej jako takiej
znajduje się obraz Boży, w którym działa Bóg Y2 35. Poznanie zależy od
doświadczenia, którego szczytem jest realizm mistyczny. Schultze nazywa to
„nową
gnozą
rosyjską”,
lub
„chrześcijańskim
humanizmem”,
„chrześcijańskim człowieczeństwem”. Poznanie integralne rozpoczyna się
zrozumieniem i doświadczeniem życiowym realności, rozwija się poprzez
poznanie intuicyjne całości uniwersum i spełnia się w poznaniu jednoczącym
rozum, wiarę i doświadczenie Y2 36.
+ Aksjomatyzacja pojęcia zbioru (i teorii mnogości) eliminuje antynomię
Russella. „Russell opublikował antynomię w wydanej w roku 1903 książce
The Principles of Mathematics. Dziś przytacza się ja na ogół w następującej
postaci: O każdy zbiór pytać możemy, czy jest on swoim własnym elementem,
czy nie. […] Antynomia ta pokazuje, że intuicyjne rozumienie pojęcia zbioru
prowadzi do sprzeczności i wymaga sprecyzowania i uściślenia. O próbach
aksjomatyzacji pojęcia zbioru (i teorii mnogości), która pozwoliłaby na
4
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
wyeliminowanie antynomii Russella (jak również innych antynomii) piszemy
w Dodatku l, poświęconym filozoficznym problemom teorii mnogości/. Frege
odpowiedział na list Russella 22 czerwca 1902 roku pisząc m. in.: „Odkrycie
przez Pana sprzeczności było dla mnie wielką niespodzianką i, powiedziałbym
nawet, konsternacją, ponieważ wstrząsnęło to podstawą, na której chciałem
zbudować arytmetykę. Wydaje się, że przekształcenie zdania ogólnego o równości
[funkcji] na zdanie ogólne o równości [ich] przebiegów (§ 9 moich
Grundgesetze) nie zawsze jest dozwolone i że moja reguła V (§ 20, s. 36) jest
fałszywa oraz że moje wyjaśnienia w § 31 są niewystarczające, by zapewnić, że
moje kombinacje znaków mają sens we wszystkich przypadkach. Muszę
jednak pomyśleć jeszcze nad tym zagadnieniem. (...) W każdym jednak razie
Pańskie odkrycie jest godne uwagi i być może okaże się wielkim krokiem
naprzód w logice, choć na pierwszy rzut oka wydawać się może niepożądane”
/R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe
PWN, Warszawa 1995, s. 87.
+ Aksjomatyzacja teorii mnogości „Do lat pięćdziesiątych większą
popularnością cieszyło się ujęcie teorii mnogości w ramach teorii typów.
Później ujęciem standardowym stało się ujęcie aksjomatyczne, w
szczególności system Zermela-Fraenkla ZF. Dlatego też omówimy tu krótko
ten system /Istnieje bogata literatura na temat teorii mnogości ZermelaFraenkla ZF. Wymieńmy tu tylko monografie: A. A. Fraenkla, Y. Bar-Hillela i A.
Levy'ego Foundations of Set Theory, T. Jecha Set Theory oraz K.
Kuratowskiego i A. Mostowskiego Teoria mnogości/. Jest to system oparty na
rachunku predykatów I rzędu wyrażony w języku zawierającym jako symbole
pozalogiczne predykaty dwuczłonowe: = (identyczność) oraz
(być
elementem) /W pierwotnej wersji Zermela system teorii mnogości
sformułowany był w języku zawierającym jeszcze dodatkowy predykat
jednoczłonowy Z(.), który znaczył: być zbiorem. W wyniku tego można było w
nim mówić o indywiduach (nic będących zbiorami) i o zbiorach (indywiduów).
Obecnie stosowany system Zermela-Fraenkla, który tu opisujemy, nie mówi nic
o przedmiotach nie będących zbiorami. Istnienie takich przedmiotów jest
zupełnie obojętne z punktu widzenia potrzeb czystej matematyki (choć nic jest
obojętne dla zastosowań teorii mnogości w naukach empirycznych)/”
/Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s.
174/. „Jeżeli do systemu tego dołączyć jeszcze aksjomat wyboru AC, to
otrzymany system oznacza się jako ZFC” /Tamże, s. 176.
+ Aksjomatyzacja teorii mnogości utworzonej przez Cantora dokonana
została później. „W pewnym okresie podejrzewano Cantora o tendencje
panteistyczne (potępione formalnie dekretem papieża Piusa IX z 1861 r.).
Wynikało to z faktu, iż Cantor utrzymywał, że jego aktualnie nieskończone
liczby pozaskończone istnieją in concreto, co mogło sprawiać wrażenie, że
próbuje identyfikować nieskończoność in natura naturata z Bożą
nieskończonością, in natura naturans. Cantor rozwiązał ten problem poprzez
dodanie do rozróżnienia nieskończoności in natura naturata i
nieskończoności in natura naturans dodatkowego rozróżnienia: między
Infinitum aeternum increatum sive Absolutum oraz Infinitum creatum sive
Transfinitum. To uspokoiło teologów i filozofów kościelnych, którzy udzielili
dziełom Cantora swoistego imprimatur. Wspomnijmy jeszcze na koniec o
jednym z problemów, które pojawiły się w związku z wprowadzoną przez
5
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
Cantora hierarchią nieskończonych liczb kardynalnych. Chodzi tu o tzw.
problem kontinuum, czyli o pytanie, czy między mocą zbioru liczb naturalnych a mocą zbioru liczb rzeczywistych istnieją inne jeszcze liczby
kardynalne (por. Dodatek poświęcony filozoficznym problemom teorii
mnogości). Cantor nie potrafił rozwiązać tego problemu. To, że pozostawał on
ciągle otwarty, co w pewnym sensie stało w sprzeczności z platońskimi
poglądami Cantora, spowodowało, że wątpił on nawet w pewnym okresie, czy
teoria mnogości w postaci, jaką jej nadał, da się utrzymać jako teoria
naukowa. Niemożność rozwiązania tego problemu wraz z atmosferą niechęci i
niezrozumienia, z jaką spotykały się jego prace teoriomnogościowe, były
przyczyną załamania nerwowego wiosną 1884 roku i późniejszej choroby
psychicznej, która dawała o sobie znać aż do końca życia. Stworzona przez
Cantora teoria mnogości stała się, po oparciu jej na solidnej bazie
aksjomatycznej, fundamentem matematyki pozwalając na ugruntowanie jej
podstaw – cała bowiem matematyka może być zredukowana do teorii
mnogości (por. współczesną postać logicyzmu)” /R. Murawski, Filozofia
matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s.
72.
+ Aksjomatyzacja teorii mnogości, Zermelo E. „Oba podejścia, tzn. podejście
aksjomatyczne Zermela i podejście teoriotypowe Russella, znalazły licznych
zwolenników, którzy rozwijali ich idee. I tak system Zermela w wyniku
ulepszenia przez Abrahama A. Fraenkla (1891-1965) i Thoralfa A. Skolema
(1887-1963) przyjął postać teorii mnogości Zermela-Fraenkla oznaczanej
krótko symbolem ZF (lub ZFC, jeśli dołączyć aksjomat wyboru). Nieco
odmienne ujęcie aksjomatyczne zaproponował John von Neumann (19031957). W odróżnieniu od Zermela, który upatrywał źródeł antynomii w
istnieniu zbiorów „bardzo dużych”, von Neumann uważał, że nie sam fakt
istnienia takich zbiorów prowadzi do antynomii, lecz raczej to, że dopuszczamy, by zbiory takie były elementami innych zbiorów. Idea ta doprowadziła
do powstania teorii mnogości von Neumanna-Godla-Bernaysa, oznaczanej
zwykle jako GB, w której mamy do czynienia ze zbiorami i klasami, przy czym
klasa X jest zbiorem wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje klasa Y taka, że X Y”
/Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s.
172/. „W teorii tej przyjmuje się też predykatywny aksjomat wyróżniania,
który postuluje istnienie klasy X złożonej dokładnie z tych elementów x,
które spełniają daną własność predykatywną
, tzn. własność nie
zawierającą
kwantyfikatorów
wiążących
zmienne
klasowe,
czyli
kwantyfikatorów typu: „dla każdej klasy X...”, czy „istnieje taka klasa X,
że...” ( może zawierać oczywiście kwantyfikatory wiążące zmienne zbiorowe).
Odrzucenie tego ograniczenia i dopuszczenie w aksjomacie wyróżniania
dowolnych formuł
prowadzi do systemu teorii mnogości M, zwanego
systemem Morse'a /Dodajmy, że rozważanie takiego aksjomatu wyróżniania
zostało po raz pierwszy zasugerowane przez W. V.O. Quine'a w pracy z roku
1940, a następnie przez Hao Wanga (1949) i A. P. Morse'a (1965)/” /Tamże, s.
173.
+ Aksjomatyzacja teorii mnogości. „W roku 1956 Wilhelm Ackermann (18961962) zaproponował jeszcze inne podejście, które opierało się na innych
zasadach i zachowywało jako aksjomaty tylko najsłabsze konsekwencje
doktryny ograniczania rozmiaru, tzn. przyjmowało, że każdy element zbioru i
6
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
każda podklasa zbioru jest również zbiorem. Przy tym w systemie
Ackermanna zakłada się, że pojęcie zbioru jest pochodne i podporządkowane
ogólniejszemu pojęciu klasy. Okazało się, że w systemie Ackermanna A są
dowodliwe te same twierdzenia mówiące o zbiorach (tzn. zdania wyrażone w
języku teorii mnogości Zermela-Fraenkla), co w systemie Zermela-Fraenkla
ZF. W latach sześćdziesiątych grupa matematyków czeskich z Petrem Vopenką
na czele stworzyła tzw. teorię semizbiorów. Jest to aksjomatyczna teoria
mnogości, której uniwersum jest szersze niż w systemach ZF, GB czy M.
Rozważa się w niej mianowicie klasy, zbiory i tzw. semizbiory, gdzie semizbiór
jest podklasą zbioru nie będącą zbiorem (zatem, przeciwnie niż na przykład w
teorii mnogości Gödla-Bernaysa, tutaj podklasa zbioru nie musi być zbiorem)
(por. P. Vopenka, P. Hajek, The Theory of Semisets)” /Murawski R. Filozofia
matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 173.
+ Aksjomatyzacja wartości przez przepisy Prawa, i ich przeciwieństwa. Łaska
identyfikowana z Prawdą, którą jest Chrystus: J 1, 16. „Wielu egzegetów
uważa, ze wyrażenie „łaska i prawda” można rozumieć jako hendiadę, czyli
dwa słowa na oznaczenie jednego pojęcia. Jedni uważają, ze głównym
pojęciem jest łaska, a więc hendiada oznacza „prawdziwą łaskę” czyli
„prawdziwe miłosierdzie”, „wierne miłosierdzie”, miłosierdzie jako dobry czyn
(J. Miranda). Inni sądzą, że podstawowym pojęciem jest prawda i hendiadę
tłumaczą jako „dar prawdy” (S. A. Panimolle, I. de la Potterie). […] W gnozie
walentyńskiej i innych systemach gnostyckich pełnia (plerōma) oznacza
sumę atrybutów Bożych. W sensie gnostyckim interpretuje termin Janowy
np. J. N. Sanders” /S. Mędala, Chrystologia Ewangelii św. Jana, Kraków
1993, s. 183/. Łaska i prawda a Prawo (J 1, 17). „W 1, 17 mamy porównanie
dwóch religii, dwóch systemów. Pod względem formalnym obydwie religie
ukonstytuowane są podobnie (dia – przez): jedna przez Mojżesza, druga przez
Jezusa.
Ale
różnią
się
zasadniczo
pod
względem
treściowym,
soteriologicznym. Uznającym Słowo, wierzącym jest przekazywana łaska i
prawda. Autor porównuje te dobra z darem Prawa. Łaska i prawda nie
przeciwstawiają się Prawu, ale odróżniają się od niego pod różnymi
względami: - Pośrednictwem: z jednej strony Mojżesz, z drugiej strony Jezus;
- Sposobem przekazu: prawo zostało dane (edothē) i jako takie stanowi coś
stałego i do dyspozycji; natomiast łaska i prawda „stały się” (egeneto), są
wydarzeniami, które już zaistniały i które nastąpią; - Skutkami: Prawo
ustanawia obowiązki, aksjomatyzuje wartości i ich przeciwieństwa. Wartości
nakazuje, zakazuje przeciwieństw tych wartości. Prawo otwiera możliwość
działania, ale samo nie jest działaniem ani nawet chęcią działania. Może ono
nawet stać się zabójcze, jeśli nie jest podtrzymywane przez instancje prawdy
(np. sąd). Prawo sąsiaduje więc z „ciemnością”. Natomiast „łaska i prawda”
dotykają bytu i życia podmiotu” /Tamże, s. 184.
+ Aksjonormatywność aspektem pozwalającym analizować elementy, które
ogólnie można nazwać systemami wartości. Aspekty powiązane ze sobą,
według których trzeba analizować obraz świata społecznego przedstawiony w
malarstwie Boscha. Aspekt skupiający uwagę na jednostce zwraca uwagę na
naturę człowieka i formułuje antropologiczny obraz człowieka. Drugim
aspektem jest społeczeństwo, zbiorowość. Zajmuje się strukturą społeczną,
sposobami jej zróżnicowania i zasadami jej funkcjonowania. Problematyka
aksjonormatywna stanowi aspekt pozwalający analizować elementy, które
7
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
ogólnie można nazwać systemami wartości. Aspekt diagnozy i prognozy
społecznej wychodzi poza zakres socjologicznej analizy życia społecznego, ale
wiąże się z poprzednimi aspektami i pozwala wyprowadzić wnioski i
interpretacje, które stanowią uzupełnienie spostrzeżeń wydobytych w świetle
trzech poprzednich aspektów. H69.1 15
8