Wstęp do logiki i teorii mnogości Obraz i przeciwobraz Własności

Obrazy i przeciwobrazy
Obrazy i przeciwobrazy
Definicja obrazu i przeciwobrazu zbioru
Własności obrazów i przeciwobrazów zbiorów
Zadania
Obraz i przeciwobraz
Wstęp do logiki i teorii mnogości
Niech f : A → B, X ⊆ A i Y ⊆ B. Obrazem zbioru X poprzez
funkcję f nazywamy zbiór f (X ) zdefiniowany następująco:
df
f (X ) = {f (a); a ∈ X } .
dr Artur Woike
Ćwiczenia
Przeciwobrazem zbioru Y poprzez funkcję f nazywamy zbiór f −1 (Y )
zdefiniowany następująco:
Obrazy i przeciwobrazy
df
f −1 (Y ) = {a ∈ A; f (a) ∈ Y } .
Oczywiście f (X ) ⊆ B i f −1 (Y ) ⊆ A.
dr Artur Woike
Obrazy i przeciwobrazy
Wstęp do logiki i teorii mnogości
Definicja obrazu i przeciwobrazu zbioru
Własności obrazów i przeciwobrazów zbiorów
Zadania
Własności obrazów i przeciwobrazów
Jeśli f : A → B jest bijekcją i X ⊆ A, to f (X ) = (f −1 )−1 (X ).
Niech f : A → B, X1 , X2 ⊆ A i Y1 , Y2 ⊆ B. Mamy następujące
własności dla obrazów i przeciwobrazów:
2) f (X1 ∩ X2 ) ⊆ f (X1 ) ∩ f (X2 );
3) jeśli f jest injekcją, to f (X1 ∩ X2 ) = f (X1 ) ∩ f (X2 );
4) jeśli X1 ⊆ X2 , to f (X1 ) ⊆ f (X2 );
6)
f −1 (Y1
f −1 (Y1
7) jeśli
∪ Y2 ) = f −1 (Y1 ) ∪ f −1 (Y2 );
∩ Y2 ) = f −1 (Y1 ) ∩ f −1 (Y2 );
Y1 ⊆ Y2 , to f −1 (Y1 ) ⊆ f −1 (Y2 ).
dr Artur Woike
Obrazy i przeciwobrazy
Wstęp do logiki i teorii mnogości
Definicja obrazu i przeciwobrazu zbioru
Własności obrazów i przeciwobrazów zbiorów
Zadania
Zadania
Wyznaczyć obraz zbioru X i przeciwobraz zbioru Y poprzez funkcję
f:
1) f : R → R, ∀x∈R f (x) = 2x + 1, X = h0, 1i, Y = h2, 3i;
1) f (X1 ∪ X2 ) = f (X1 ) ∪ f (X2 );
5)
dr Artur Woike
Wstęp do logiki i teorii mnogości
2) f : R3 [x] → R3 [x], ∀x∈R ∀w ∈R3 [x] (f (w )) (x) = w (2x),
X = R0 [x], Y = R2 [x];
3) f : R → R, ∀x∈R f (x) = x 2 − 3x + 2, X = h0, 2i, Y = h−3, 0i;
4) f : R → R, ∀x∈R f (x) = 2 + sin x, X = 0, π2 , Y = h1, +∞);
5) f : R2 [x] → C, ∀w ∈R2 [x] f (w ) = i · w (2i), X = R0 [x],
Y = {0, i};
dr Artur Woike
Wstęp do logiki i teorii mnogości
Obrazy i przeciwobrazy
Definicja obrazu i przeciwobrazu zbioru
Własności obrazów i przeciwobrazów zbiorów
Zadania
Zadania
6) f : R → Z, ∀x∈R f (x) = E (x) − 1, X = Z, Y = Z;
7) f : C → C, ∀x∈C f (x) = i(Rex + Imx), X = {0, 1, i},
Y = {0, 1, i};
8) f : R → R, ∀x∈R f (x) = x 2 + x − 2, X = (−∞, 1i,
Y = h2, +∞) \ {3};
D
E
9) f : R → h0, 1i, ∀x∈R f (x) = x − E (x), X = 0, 13 ∪
D
D
2
3, 1
E
,
E
Y = 0, 21 ;
10) f : R → R, ∀x∈R f (x) = x 3 − x 2 − x + 1, X = h1, +∞),
Y = h−1, 2i.
dr Artur Woike
Wstęp do logiki i teorii mnogości