Mocna własnosc Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne

Mocna własność Markowa procesu Wienera
Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka
MAP1126
21 maja, 2012
Mocna własność Markowa (”strong Markov property”)
Mocna własność Markowa
W = (W1 , . . . , Wd ) oznaczać będzie proces Wienera o wart. w Rd ,
tzn. {Wi (t)} - układ niezależnych procesów Wienera o wart. w R1 .
Przyjmujemy, że ”punkt startu” procesu W , tzn. W (0) = x ∈ Rd .
Niech Fs = σ{W (t); t ≤ s}. {Wt+s − Ws ; t ≥ 0} jest procesem
Wienera, niezal. od Fs , dla dow. s ≥ 0. Pokażemy, że czas s
można zastąpić przez dowolny czas zatrzymania τ względem Ft .
Mocna własność Markowa procesu Wienera
Niech {W (t); t ≥ 0} będzie procesem Wienera o wartościach w Rd
(startującym z 0) oraz τ - czasem zatrzymania względem W ,
określonym na Ω. Niech Yt = Wτ +t − Wτ . Dla każdego A ∈ Fτ i
dowolnych Ai - borelowskich w Rd zachodzi
P{(Yt1 ∈ A1 , . . . , Ytk ∈ Ak )∩A} = P(A)P(Wt1 ∈ A1 , . . . , Wtk ∈ Ak).
Zatem {Y (t); t ≥ 0} jest procesem Wienera o wartościach w Rd
(startującym z 0), niezależnym od Fτ .
Mocna własność Markowa (”strong Markov property”)
Dowód mocnej własności Markowa
1. Załóżmy, że τ przyjmuje przeliczalnie wiele wartości, powiedzmy
{s1 , s2 , . . . , }. NiechSEj = τ −1 {sj }. Zachodzi Ej ∈ Fτ , Ei ∩ Ej = ∅,
dla i 6= j oraz Ω = ∞
j=1 Ej . Niech A ∈ Fτ . Zachodzi
Tk
P
Tk
P( i=1 {Yti ∈ Ai } ∩ A) = ∞
j=1 P( i=1 {Yti ∈ Ai } ∩ A ∩ Ej )
P
Tk
= ∞
j=1 P( i=1 {Wti +sj − Wsj ∈ Ai } ∩ A ∩ Ej )
P
Tk
Tk
= ∞
j=1 P( i=1 {Wti ∈ Ai })P(A ∩ Ej ) = P( i=1 {Wti ∈ Ai })P(A).
2. Gdy τ - dow. moment zatrzymania, to niech τn = k/n, gdy
(k − 1)/n < τ ≤ k/n. τn jest ciągiem momentów zatrzymania,
zbieżnym do τ z prawd. 1. Mamy τ ≤ τn < τ + 1/n więc
Fτ ⊆ Fτn , dla każdego n. Ponieważ A ∈ Fτ więc A ∈ Fτn , dla
(n)
każdego n. Niech Yt = Wt+τn − Wτn . Na mocy punktu 1
Tk
T
(n)
otrzymujemy P( i=1 {Yti < xi } ∩ A) = P( ki=1 {Wti < xi })P(A).
(n)
Z ciągłości trajektorii limn Yt = Yt , z prawd. 1 więc korzystając
ze zbieżności odp. indykatorów zbiorów w L1 (P) otrzymujemy tezę.
Mocna własność Markowa (”strong Markov property”)
Zasada odbicia dla procesu Wienera
Niech W = (Wt )t≥0 będzie procesem Wienera w R1 (startującym
z 0) oraz τ - czasem zatrzymania wzgl. W . Definiujemy
Wt ,
t ≤ τ,
ρτ Wt =
2W τ − Wt , t > τ.
Zasada Odbicia: ρτ Wt jest procesem Wienera
Dowód. Niech C0 [0, ∞) będzie przestrzenią funkcji ciągłych f ,
f (0) = 0 oraz niech T > 0. Definiujemy odwzorowanie
ϕ
(f , T , g ) −→ < f , T , g > ∈ C0 [0, ∞):
f (t),
0 ≤ t ≤ T,
< f , T , g > (t) =
f (t) + g (t − T ), T < t < ∞.
W C0 [0, ∞) rozważamy topologię zbieżności niemal jednostajnej
(jednostajnej na zb. ogr.) oraz strukturę borelowską względem tej
topologii. Odwzorowanie ϕ jest ciągłe (produktowo) w tej
topologii, więc borelowskie.
Mocna własność Markowa (”strong Markov property”)
Zasada Odbicia
Definiujemy f (t, ω) = Wt∧τ , g (t, ω) = Wt+τ − Wτ . f , τ są
Fτ -mierzalne, zaś g jest niezależne od (f , τ ) i ma rozkład W .
Połóżmy h = −g . Z symetrii procesu Wienera h ma taki sam
rozkład (=W ) i jest niezależne od (f , τ ). Stąd, rozkłady (f , τ, g ) i
(f , τ, h) są identyczne, więc także rozkład < f , τ, g > jest taki sam
jak < f , τ, h >. Jednak < f , τ, g > = Wt , < f , τ, h >= ρτ Wt .
Wniosek. P(maxs≤t Ws > a) = 2P(Wt > a) = P(|Wt | > a)
Dowód. Niech a > 0. Kładziemy τ = τa = inf{t > 0; Wt > a}
oraz A = (−∞, a). Mamy Wτ = a. Ponadto 2a − A = (a, ∞).
Z Zasady Odbicia P(t > τ ; Wt ∈ A) = P(t > τ ; 2Wτ − Wt ∈ A)
= P(t > τ ; Wt ∈ 2a − A) = P(t > τ ; Wt > a) = P(Wt > a).
Stąd P(Wt > a) = P(τ < t; Wt < a) = P(τ < t; Wt ≤ a) =
P(τ < t) − P(Wt > a) więc ostatecznie P(τ < t) = 2P(Wt > a).
Jednak maxs≤t Ws > a zachodzi dokładnie wtedy, gdy τ < t, co
kończy dowód.
Mocna własność Markowa (”strong Markov property”)
Własność Markowa procesu X
Niech θs : (Ω, Σ) −→ (Ω, Σ) za pośrednictwem procesu Xt :
Xt ◦ θs = Xt+s . Najłatwiej zinterpretować operatory (θs )s>0 na
przestrzeni standardowej (R[0,∞) , ⊗t≥0 BR , µ), gdzie µ -rozkład
procesu X . Wtedy Xt (ω) = ω(t) oraz Xt (ω) ◦ θs = ω(t + s). Dalej,
rozpatrujemy proces dla którego X (0) = Y - dow. zm. losowa
(rozkład początkowy procesu). Wartość oczekiwaną (prawd.)
względem procesu o rozkładzie początkowym Y oznaczamy EY [·],
(P Y (·)). Gdy Y = x ∈ Rd piszemy Ex [·], (P x (·)).
Własność Markowa {Xt ; t ≥ 0}: dla Z ≥ 0, F∞ -mierzalnej
Ex [Z ◦ θt |Ft ] = EXt [Z ],
gdzie Ft = σ{Xs ; s ≤ t}, F∞ = σ{Xs ; s ≥ 0}.
Dowód dla procesu Wienera W : dla Z = 1A (Ws ) otrzymujemy
P(Wt+s ∈ A|Wt ) = E[1A ((Wt+s − Wt ) + Wt )|Wt ] =
E[1A (Ws + y )]|{y =Wt } = EWt [1A (Ws )]. Analogicznie dla iloczynu
indykatorów tej postaci. Dalej aproksymacja funkcjami prostymi.
Mocna własność Markowa (”strong Markov property”)
Mocna własność Markowa procesu X
Mocna własność Markowa {Xt ; t ≥ 0}: dla τ - Ft -momentu
zatrzymania i Z ≥ 0, F∞ -mierzalnej zm. losowej, zachodzi
Ex [Z ◦ θτ |Fτ ] = EXτ [Z ],
gdzie Ft = σ{Xs ; s ≤ t}, F∞ = σ{Xs ; s ≥ 0}.
Uwaga. Dowodzi się, że gdy proces {Xt ; Ft ; t ≥ 0} posiada
własność Markowa
względem Ft , Ft jest prawostronnie ciągła, tzn.
T
Ft = Ft+ = s>t Ft oraz zupełna w sensie miarowym, a Xt jest
normalnym procesem Markowa, to {Xt ; Ft ; t ≥ 0} posiada mocną
własność Markowa.
Normalny proces Markowa - przestrzeń fazowa S jest zwarta,
metryczna i ośrodkowa oraz proces jest fellerowski
R i stochastycznie
ciągły, tzn. Tt zdefiniowane wzorem: Tt f (x) = f (y )Pt (x, dy )
działa na C (S) jako mocno ciągła półgrupa kontrakcji.
Mocna własność Markowa (”strong Markov property”)
Mocna własność Markowa procesu o przyr. niezal.
Uwaga. Dowód mocnej własności Markowa zachodzi dla
stochastycznie ciągłych procesów o przyrostach niezależnych o
prawostronnie ciągłych trajektoriach (ośrodkowy i stochastycznie
ciągły proces o przyrostach niezależnych ma modyfikację o tej
własności).
Przykład. Niech X = {Xt }t≥0 będzie jednorodnym, ośrodkowym
procesem Poissona o intensywności λ i τ1 = inf{t > 0; Xt > 0},
τ0 = 0 oraz τn = inf{t > 0; Xτn−1 +t − Xτn−1 > 0}, dla n > 1. Z
mocnej własności Markowa dla procesu X otrzymujemy, że
(n)
Yt = Xτn−1 +t − Xτn−1 , n ≥ 1, jest ciągiem niezależnych procesów
Poissona o tym samym rozkładzie co X więc {τi }∞
i=1 jest ciągiem
niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym o
średniej 1/λ.
Mocna własność Markowa (”strong Markov property”)