uniwersytet wrocławski

UNIWERSYTET WROCŁAWSKI
Instytut Matematyczny
Pl. Grunwaldzki 2/4
50-384 Wrocław
Prof. Ryszard Szekli
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA A, LISTA 9/2013
UWAGA: zadania oznaczone (+) mogą być punktowane na ćwiczeniach (po zrobieniu
przy tablicy). Pozostałe zadania są obowiązkowe do samodzielnego rozwiązania. Nieznajomość rozwiązania generuje punkty ujemne.
Łańcuchy Markowa, przykłady.
1. (+) Jeśli (Xn , n ­ 1) jest łańcuchem Markowa, pokaż, że Yn = X2n , też jest łańcuchem Markowa.
2. (+) Jeśli (Xn , n ­ 1) jest łańcuchem Markowa, pokaż, że Yn = (Xn , Xn+1 ) jest
łańcuchem Markowa. Jakie są jego prawdopodobieństwa przejść?
3. (+) Jeśli (Xn , n ­ 1) jest łańcuchem Markowa, pokaż, że Yn = |Xn | nie musi być
łańcuchem Markowa.
4. Znak drogowy stoi w pozycji łatwej do zniszczenia. Każdego dnia niezaleznie od
innych dni, znak jest z prawdopodobieństwem q niszczony przez nieostrożnych kierowców. W tym przypadku, konserwator naprawia znak pod konies dnia. Na koniec
n− tego dnia, niech Xn oznacza liczbę dni od czasu kiedy nowy znak został zainstalowany. Pokaż, że (Xn , n ­ 1 jest łańcuchem Markowa, znajdź wartości pij oraz
(k)
pij .
5. W modelu Ehrenfestów dla N cząstek

 0




P =





1
N
1
0
0
0
N −1
N
0
0
...
...
0
N −2
N
0 N2
... ...
0 0
0 0

..
. 0 

..
. 0 


..
. 0 


... ... 
1 
0 N 
1 0
...
N −1
N
...
Znajdź rozkład π taki, że π = πP .
6. (Łańcuch: kot zjada mysz zjada ser)




P =


0
1
2
0
1
3
0
1
2
0
0
0
0
0
1
2
1
1
3
0
1
2
0
0
0
0
0
0
0





1 

3
1
Zakładając, że łańcuch startuje z 1, policz prawdopodobieństwo, że łańcuch dojdzie
do 5 (mysz zje ser nie zjedzona przez kota).
7. Niech

0
 0

P =

1
2
1
3
0
0
0
1
2
1
2
0
0
1 

1
3
1
3
0
1
2



Znajdź rozkład π taki, że π = πP . Przedstaw ewolucję łańcucha jako wędrówkę po
grafie. (+)
8. (proces urodzin i śmierci) Macierz przejść jest rozmiaru (n+1)×(n+1) dla pi +qi = 1,
pi , qi ∈ (0, 1), i = 1, . . . , n − 1.

 0

 q1


P =
 0

 ...

 0
0
1
0
0
p1
0
0
q2 0
p2
... ...
...
0 . . . qn−1
0 0
...
..
.
0
..
.
0
..
.
0
...
...
0 pn−1
1
0












Znajdź rozkład π taki, że π = πP . Czy rozkład niezmienniczy zmieni się, gdy na
przekątnej zanajdą się dodatnie liczby ri takie, że pi + ri + qi = 1? Jaka będzie
postać π, gdy macierz P rozszerzymy do macierzy nieskończonej dla pewnych ciągów
(pi , ri , qi )i­1 . Czy π wtedy zawsze istnieje?