zobacz też

Ergodyczność procesów filtracji
Łukasz Stettner, IMPAN
Typową sytuacją z jaką spotykamy się często w praktyce jest niedokładna
obserwacja procesu stanu układu X = (xt ), który jest procesem Markowa.
Rt
Załóżmy więc, że obserwujemy proces Y = (yt ), gdzie yt = 0 h(xs )ds + wt
lub yt = h(xt ) + ξt w zależności od tego czy mamy ciągły czy dyskretny
czas, przy czym wt to niezależny od X ruch Browna, zaś (ξt ) to ciąg
niezależnych od X zmiennych i.i.d.. Proces Y tworzy σ ciało obserwacji
Yt = σ {ys ; s ≤ t}. Z nieobserwowanym procesem X możemy związać tkz.
proces filtracji (πt ), który jest procesem o wartościach w przestrzeni miar
probabilistycznych i dla dowolnego zbioru mierzalnego A z przestrzeni stanów procesu X mamy
P {xt ∈ A|Yt } = πt (A)
Można pokazać, że proces (πt ) jest procesem Markowa. Naturalnym pytaniem jest czy dobre własności ergodyczne procesu X są dziedziczone przez
proces (πt ) np. czy jedyność miary niezmienniczej dla X implikuje jedyność
miary niezmienniczej dla (πt ). Ten fakt wydawał się być rozwiązany w pełni
przez H. Kunitę w fundamentalnej pracy [1] z 1971 roku, w której podano
następujące twierdzenie:
Twierdzenie Załóżmy, że istnieje jedyna miara niezmiennicza µ dla procesu X. Wtedy proces (πt ) ma jedyną miarę niezmienniczą wtedy i tylko
wtedy gdy dla dowolnej mierzalnej ograniczonej funkcji f mamy
Z
lim sup |Ex {f (xn )} − µ(f )|µ(dx) = 0.
n→∞
Dowód tego twierdzenia okazał się błędny. Przy pewnej singularnej strukturze obserwacji znaleziono kontrprzykład. Od 2001 roku wyjaśnienie problemu ergodyczności procesu filtracji wydaje się to być podstawowym problemem teorii systemów, nierozwiązanym mimo usilnych prac nad nim kilku
centrów naukowych. W referacie będą przedstawione wyniki z pracy [2] podające równoważne sformułowania problemu i warunek dostateczny ergodyczności procesu filtracji za pomocą metryki Hilberta, oraz z pracy [3] w
której przedstawione jest oryginalne podejście oparte na pewnych technikach z teorii sterowania.
Literatura:
[1] H. Kunita, Asymptotic behaviour of the nonlinear filtering errors of
Markov process, J. Multivariate Anal. 1 (1971), 365–393.
[2] G. Di Masi, L. Stettner, Ergodicity of Hidden Markov Models, Math.
Control Signals Systems 17 (2005), 269-296,
[3] G. Di Masi, L. Stettner, Ergodicity of filtering process by vanishing
discount approach, Systems and Control Letters, przyjęta do druku