1 Lista 5.

Lista 5.
Drgania
1. Ciało o masie 0,01kg wykonuje drgania harmoniczne opisywane zaleŜnością: x(t) = 2cos(π t/2+π/6) (x w
metrach, t w sekundach). W chwili gdy wychylenie masy z połoŜenia równowagi wynosi x = −1m obliczyć
przyspieszenie oraz energię kinetyczną i potencjalną. Ile wynosi maksymalna siła działająca na masę?
2. Na spręŜynie jest zawieszona szalka wagi z odwaŜnikami. Okres drgań pionowych jest wówczas równy
T1. Po obciąŜeniu szalki dodatkowymi odwaŜnikami okres drgań pionowych wynosi T2. O ile wydłuŜyła się
spręŜyna pod wpływem dodatkowego obciąŜenia?
3. Na poziomym doskonale gładkim stole leŜy, przymocowany spręŜyną do ściany drewniany kloc o masie
1kg. W ciało to trafia pocisk o masie 10g lecący poziomo z prędkością 300m/s i zostaje w nim. Po zderzeniu
ciało wraz z pociskiem wykonuje drgania harmoniczne z amplitudą 20cm. Wyznaczyć częstość tych drgań.
4. Platforma wykonuje drgania pionowe o amplitudzie 5cm. Jaka moŜe być maksymalna częstość drgań
platformy, by leŜące na niej ciało nie oderwało się?
5. Płytka wykonuje drgania harmoniczne w kierunku poziomym o okresie T. Spoczywający na tej płytce
przedmiot zaczyna poruszać się po powierzchni płytki z chwilą, gdy amplituda drgań osiąga wartość A. Jaki
jest współczynnik tarcia pomiędzy płytką a przedmiotem ?
6. Areometr o masie 0.2kg pływa w cieczy. Gdy zanurzy się go w cieczy i puści, zacznie wykonywać
drgania z okresem 3,4s. Przyjmując, Ŝe drgania są nietłumione, znaleźć gęstość cieczy, w której pływa
areometr. Średnica pionowej walcowej rurki areometru 0,01m.
7. JeŜeli wagon jest w spoczynku, to częstotliwość drgań wahadła matematycznego znajdującego się w tym
wagonie wynosi 0,5 Hz. Oblicz częstotliwość drgań tego wahadła w wagonie poruszającym się po torze
poziomym z przyspieszeniem 5 m/s2. Płaszczyzna drgań wahadła jest równoległa do kierunku ruchu wagonu.
8. Na cienkiej nici o długości l zawieszano kulę o promieniu R = 0,1l. Wyznaczyć błąd względny ε, jaki
zostanie popełniony przy obliczaniu okresu drgań, jeśli potraktuje się ten układ jako wahadło matematyczne.
9. Na pionowo wiszącej spręŜynie zawieszono cięŜarek, co spowodowało wydłuŜenie spręŜyny o 10 cm.
CięŜarek ten wprawiono w drgania, odciągając go w dół i puszczając. Oblicz jaką wartość powinien mieć
współczynnik tłumienia β, aby:
a) drgania ustały po 10s (przyjąć, Ŝe drgania ustają, gdy ich amplituda zmaleje do 1% wartości początkowej),
b) cięŜarek powrócił aperiodycznie do połoŜenia równowagi,
c) logarytmiczny dekrement tłumienia był równy λ = 6.
10. Wahadło matematyczne o długości 80 cm, wyprowadzone z połoŜenia równowagi wychyla się podczas
pierwszego wahnięcia o 5cm, a podczas drugiego (w tę samą stronę) o 4cm. Ile wynosi amplituda kolejnego
wahnięcia? Znaleźć czas relaksacji , tj. czas, w ciągu którego amplituda wahań zmaleje e razy (e podstawa logarytmów naturalnych).
11. Logarytmiczny dekrement drgań tłumionych wahadła równa się 0,02. Obliczyć ile razy zmniejszy się
amplituda drgań po 100 całkowitych wahnięciach.
12. Określić logarytmiczny dekrement drgań tłumionych wahadła o długości 50 cm, jeŜeli w ciągu 8 min.
wahań traci ono 99% swojej energii.
13. Po drodze gruntowej przejechał ciągnik pozostawiając ślady w postaci wgłębień w odległości 30cm od
siebie. Po tej drodze przejechał wózek dziecinny o cięŜarze 100N, mający dwa resory, kaŜdy resor ugina się
o 2 cm pod wpływem siły 10N. Z jaką prędkością jechał wózek, jeŜeli wskutek wstrząsów wpadł w
rezonans.
14. Wagon kolejowy o cięŜarze 2 104 N jest zawieszony na 4 resorach. Przy zwiększeniu obciąŜenia 104 N
resor ugina się o 0,016 m. Dla jakiej prędkości pociągu mogą wystąpić rezonansowe drgania wagonu pod
wpływem uderzeń kół o złącza szyn? Długość szyn wynosi 12,5 m.
1
Fale
15. Równanie fali poprzecznej propagującej się wzdłuŜ naciągniętej długiej struny ma postać (w SI)
y ( x , t ) = 0,04 cos [0,05π ⋅ x + 6π ⋅ t ].
Wyznacz lub oblicz: amplitudę, długość, częstotliwość, prędkość fazową, kierunek rozchodzenia się fali,
maksymalną prędkość poprzeczną elementów struny. Jakie jest wychylenie elementów struny o
współrzędnej x = 0,038 m w chwili t = 0,37 s?
16. Prędkość dźwięku w powietrzu wynosi 343m/s. Źródłem dźwięku o częstotliwości 300 Hz jest syrena
wozu policyjnego. (a) Wóz porusza się z prędkością 45 m/s.
a) Obliczyć częstotliwość i długość fal przed i za wozem.
b) Za wozem jadą dwa samochody: jeden w tym samym kierunku z prędkością 30m/s, a drugi w
przeciwnym kierunku z prędkością 15m/s. Jakie częstości fal słyszą pasaŜerowie samochodów?
17. Dwa głośniki G1 i G2 są podłączone do tego samego generatora sygnału
harmonicznego (sinusoidalnego) o częstotliwości 2200 Hz. Głośniki ustawiono w
odległości 1,7 m od siebie, a mikrofon w punkcie B – jak na rysunku. Zestaw
znajduje się w powietrzu, w którym prędkość dźwięku wynosi 340 m/s. Głośniki i
mikrofon są bardzo małe.
a) WykaŜ, wykonując obliczenia, Ŝe efektem nałoŜenia na siebie fal dźwiękowych
w B jest ich wzmocnienie.
b) Zmieniono biegunowość przyłączenia głośnika G2 do generatora. Po tej zmianie,
gdy membrana G1 porusza się w przód, membrana G2 cofa się i odwrotnie. Opisz
zmianę natęŜenia dźwięku w punkcie B podaj jej przyczynę.
2