Zadania i zagadnienia do wykªadu O równaniach i zbiorach

Zadania i zagadnienia do wykªadu O równaniach i
zbiorach liczbowych
I. Liczby zespolone
1. Obliczy¢ (tzn. doprowadzi¢ do postaci
a + bi):
1
,
1−i
(2 + i)2 (1 − i),
4+i
,
3 − 2i
(1 − 2i)2
.
3−i
2. Wykaza¢, »e
(cos α + i sin α)(cos β + i sin β) = cos(α + β) + i sin(α + β)
dla
α, β ∈ R.
3. Wykaza¢, »e
(cos α + i sin α)n = cos nα + i sin nα
dla
α ∈ R, n ∈ N
(a nawet dla
n ∈ Z).
4. Moduªem
liczby zespolonej
√
a2 + b2 .
Udowodni¢, »e
5. Ka»d¡ liczb¦ zespolon¡
z = a + bi (a, b ∈ R) nazywa si¦ liczb¦ |z| =
|z · w| = |z| · |w| dla dowolnych z, w ∈ C.
z = a+bi (a, b ∈ R) mozna przedstawi¢ w postaci
trygonometrycznej:
z = |z|(cos α + i sin α).
K¡t
α
speªniaj¡cy powy»szy warunek nazywa si¦ argumentem liczby
z.
Znale¹¢ posta¢ trygonometryczn¡ liczb:
(a)
1,
(b)
1 + i,
√
3 − 2i.
(c)
6. Liczby zespolone mo»na traktowa¢ jako punkty pªaszczyzny (z danym
ukªadem wspóªrz¦dnych prostok¡tnych): uto»samiamy liczb¦ a+ib z punktem o wspóªrz¦dnych
(a, b).
Na przykªad liczba zespolona
i
odpowiada
punktowi (0,1).
Zaªó»my, »e na pªaszczy¹nie zaznaczono punkty odpowiadaj¡ce liczbom
z
oraz
w.
trójk¡ta 0,
Wykaza¢, »e trójk¡t o wierzchoªkach 0,1,z jest podobny do
w, z · w. (T)
7. Poda¢ konstrukcj¦ (przy pomocy cyrkla i linijki) punktu odpowiadaj¡cego
liczbie
(a)
z + w,
(b)
z · w.
8. Znale¹¢ liczby zespolone
(a)
z 2 = 2i,
(b)
z 2 = 3 − 4i,
(c)
z 2 + 2z + 10 = 0.
9. Znale¹¢ liczby zespolone
z
takie, »e
z
speªniaj¡ce równanie
pªaszczy¹nie zespolonej.
wiastki równania
Co widzimy?
z n = 1,
gdzie
n
z 6 = 1.
Zaznaczy¢ je na
Uogólni¢ t¦ obserwacj¦ na pier-
jest dowoln¡ liczb¡ naturaln¡. (T)
II. Inne zagadnienia
1. Wykaza¢, »e liczby
2. Wykaza¢, »e liczba
√
√
i
√
3
2 s¡ niewymierne.
√
2 + 3 jest niewymierna. (T)
5
3. W hotelu Hilberta maj¡cym niesko«czenie wiele pokojów ponumerowanych
liczbami naturalnymi wszystkie pokoje pewnego dnia byªy zaj¦te. Przyje»d»a spó¹niony go±¢ - jak zrobi¢ mu miejsce?
Powi¡za¢ to z nast¦puj¡cym zadaniem: wykaza¢, »e zbiory N
i
N0 = {0, 1, 2, ...} s¡ równoliczne, tzn.
= {1, 2, 3, ....}
istnieje funkcja ró»nowarto±ciowa
f : N0 → N
przeksztaªcaj¡ca
N0 na N.
4. A co mo»na zrobi¢, je±li do hotelu Hilberta z kompletem go±ci przyjedzie
wycieczka maj¡ca niesko«czenie wielu uczestników ponumerowanych liczbami
naturalnymi?
Rozwi¡zanie mo»na skojarzy¢ z faktem, »e zbiory
N
i
Z (Z=
zbiór liczb
caªkowitych) s¡ równoliczne.
5. Wykaza¢, »e zbiory
C
(liczb zespolonych) i
R
(liczb rzeczywistych) s¡
równoliczne. (T)
[(T) oznacza zadanie trudniejsze.]
Wskazówki
I.3: Dla naturalnych
n
dowód przez indukcj¦, zastosowa¢ zadanie 2.
I.6: Zastosowa¢ zadania I.2, I.4.
I.7: Zastosowa¢ zadanie I.6.
I.9: Zastosowa¢ zadanie I.3.
II.2: Je±li
w
w2 tak»e.
rzeczywistych (a, b) trzeba
jest wymierna, to
II.5: Parze liczb
przyporz¡dkowa¢ jedn¡ liczb¦ rzeczy-
wist¡ i zrobi¢ to tak, by przyporz¡dkowanie to byªo ró»nowarto±ciowe. Do tego wykorzysta¢ mo»na zapis dziesi¦tny liczb rzeczywistych i... wyobrazi¢ sobie (niesko«czony)
zamek bªyskawiczny.