Lista 2. Łańcuchy Markowa z czasem dyskretnym.
Transkrypt
Lista 2. Łańcuchy Markowa z czasem dyskretnym.
Lista 2. Łańcuchy Markowa z czasem dyskretnym. 1. Możliwe stany łańcucha X to 1,2,3, a jego macierz przejcia to 0, 2 0 0, 8 P = 0, 7 0, 3 0 . 0 0, 4 0, 6 Obliczyć a) P (X2 = 1), o ile P (X0 = 1) = 1, b) P (X3 = 1), o ile P (X0 = 2) = 1, c) P (X2 = 2), jeżeli start z dowolnego stanu jest jednakowo prawdopodobny. 2. Poklasyfikować stany łańcucha (istotne-nieistotne, pochłaniające, powracające-chwilowe), znaleźć wszystkie zamknięte zbiory stanów i zbadać, czy łańcuchy są nieprzywiedlne, jeżeli dane są macierze przejścia tych łańcuchów: 0, 2 0 0, 8 a) 0, 7 0, 3 0 , 0 0, 4 0, 6 0 0 1 1 0 0 b) 0, 5 0, 5 0 0, 3 0, 3 0, 4 0 0 , 0 0 c) 0, 3 0, 7 0 0 0 0, 7 0, 3 0 0 0 0 0 0, 2 0 0, 8 0 0 0, 2 0, 2 0, 6 0 0 0, 5 0 0, 5 . 3. W pierwszej urnie są 4 białe kule, a w drugiej urnie - 4 czarne. W każdym kroku losujemy po jednej kuli z każdej urny i zamieniamy je miejscami. Niech stan procesu oznacza liczbę białych kul w pierwszej urnie. Opisać macierz przejścia tego łańcucha. Rozwiązać analogiczne zadanie, gdy każda urna zawiera N kul. 4. Załóżmy, że możliwymi stanami łańcucha (Yn ) sa̧ tylko 0 i 1, a macierz przejścia wygla̧da nastȩpuja̧co: 1−α α P = , α + β > 0. β 1−β Niech P (Y0 = 0) = p. Wykazać, że β β n + (1 − α − β) p − . P (Yn = 0) = α+β α+β Jak można „fizycznie” opisać proces o takiej macierzy przejścia? 5. W cia̧gu prób Bernoulliego mówimy, że w chwili n ≥ 2 układ jest w stanie E1 , gdy doświadczenia o numerach n − 1 oraz n dały cia̧g SS (sukces, sukces). Podobnie stany E2 , E3 oraz E4 określone sa̧ przez SP, P S, P P . Wyznaczyć macierz przejścia P oraz P 2 tego łańcucha. 6. Cząsteczka z położenia i ∈ Z skacze do i + 1 z prawdopodobieństwem p lub do i − 1 z prawdopodobieństwem 1 − p. Obliczyć p00 (3), p00 (4) oraz p00 (n). 7. Załóżmy, żę łączny kapitał graczy A i B wynosi k zł. W pojedynczej grze gracz A wygrywa złotówkę od gracza B z prawdopodobieństwem p, a przegrywa z prawdopodobieństwem 1−p. Za każdym razem gdy dany gracz przegrywa ostatnią złotówkę przeciwnik oddaje mu ją z prawdopodobieństwem α. Znaleźć macierz przejścia dla łańcucha, który opisuje kapitał gracza A. Załóżmy, że na początek 1 , 0 ≤ i ≤ k. Jakie jest prawdopodobieństwo ruiny gracz A dostaje i zł z prawdopodobieństwem k+1 gracza A w dwóch grach? 8. Pokazać z definicji, że wszystkie stany łańcucha z zadania 5 są powracające. 9. Cząstka porusza się między stanami 0,1,2,3,4 w taki sposób, że: -ze stanu 1 może przejść do stanów 0,2,4 z prawdopodobieństwem 13 , 1 -ze stanu 2 może przejść do stanów 0,1,3 z prawdopodobieństwem 13 , -ze stanu 3 może przejść do stanów 0,2,4 z prawdopodobieństwem 31 , -ze stanu 4 może przejść do stanów 0,1,3 z prawdopodobieństwem 31 , -po dotarciu do stanu 0 pozostaje w nim na zawsze. a) Napisać macierz przejścia. b) Pokazać z definicji, że stany 1-4 są chwilowe. c) Dla n ≥ 1 obliczyć f10 (n) = P (X1 6= 0, X2 6= 0, ..., Xn−1 6= 0, Xn = 0|X0 = 1). d) Pokazać, że z prawdopodobieństwem 1 stan 0 pochłonie cząstkę. 10. Łańcuch ma nieskończoną przestrzeń stanów S = {s1 , s2 , ...}. Pierwszy wiersz macierzy przejścia P ma postać [a1 a2 ...], a w pozostałych wierszach pi,i−1 = 1, i ≥ 2. Udowodnić, że stan s1 jest powracający. Znaleźć wszystkie ciągi an dla których a) wybrany stan sk jest powracający, b) wszystkie stany są powracajace. 11. Pierwsza kolumna macierzy przejścia P łańcucha o przestrzeni stanów S = {0, 1, 2, ...} ma postać [q0 q1 ...], natomiast pi,i+1 = 1 − qi dla i = 0, 1, 2, .... Badając stan 0 wykazać, że i+1 to wszystkie stany są chwilowe, a) jeśli qi = 21 1 b) jeśli qi = 2 to wszystkie stany są powracające. 12. Znaleźć wszystkie rozkłady stacjonarne łańcucha o macierzy przejścia 1 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 2 2 3 3 3 3 3 0 1 1 0 1 1 0 1 1 3 0 0 3 3 2 2 3 a) b) 1 c) 4 4 1 4 . 1 1 , 1 1 , 0 0 2 2 3 0 3 3 0 0 5 5 1 1 1 1 1 0 3 3 3 0 0 45 51 0 0 2 2 13. Zbadać kiedy istnieje rozkład stacjonarny dla łańcucha z zadania 10. Znaleźć ten rozkład w przypadku, gdy i a) ai = 12 , i ≥ 1, b) ai = i21+i , i ≥ 1. 14. Dla jakich p łańcuch z zadania 4 jest stacjonarny? Kiedy łańcuch ten jest ergodyczny? Obliczyć E(Y3 ) oraz limn→∞ E(Yn ). 15. Uzasadnić, że dla p, q > 0 takich, że p + q = 1 łańcuch o macierzy przejścia q p 0 q 0 p 0 q p jest ergodyczny i wyznaczyć prawdopodobieństwa ergodyczne. 16. Łańcuch ma macierz przejścia 0, 4 0, 3 P = 0, 1 0, 3 0, 6 0 0 0, 7 0 0 . 0, 5 0, 2 0, 2 0, 3 0, 3 0, 1 Wykorzystując własności stanów obliczyć limn→∞ pij (n) dla wszystkich i, j. 17. W ciągu doświadczeń Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p mówimy, że w chwili n układ znajduje się w stanie 0, gdy n-te doświadczenie dało porażkę, a w stanie k ∈ {1, 2, 3, ..., n}, gdy ostatnia porażka nastąpiła w chwili n − k (zerowe doświadczenie uważamy za porażkę). Innymi słowy, stan w chwili n to długość nieprzerwanej serii sukcesów, kończącej się w chwili n. Obliczyć pj = limn→∞ pij (n). 2 18. Niech P będzie macierzą rozmiaru n × n podwójnie stochastyczną, tzn. taką, w której zarówno suma każdego wiersza jak i każdej kolumny jest równa 1. Znaleźć rozkład stacjonarny łańcucha o takiej macierzy przejścia. Wskazówka - zobacz np. zad. 12 a), b). 19. Niech P będzie macierzą przejścia łańcucha Markowa o n stanach. Pierwszy wiersz tej macierzy składa się z elementów p1 , p2 , ..., pn , a następne wiersze powstają z niego przez cykliczne przesunięcie, tzn. drugi wiersz ma postać pn , p1 , ..., pn−1 , trzeci wiersz ma postać pn−1 , pn , p1 , ..., pn−2 itd, a ostatni ma postać p2 , p3 , ..., pn , p1 . Czy ten łańcuch jest ergodyczny tzn. czy istnieje granica limn→∞ P n ? Jeżeli tak to obliczyć prawdopodobieństwa ergodyczne. 20. W pudełku A jest sześć kul ponumerownych liczbami od 1 do 6, a pudełko B jest puste. Wykonamy 1000000 rzutów kostką i po każdym rzucie przełożymy kulę o wylosowanym numerze do drugiego pudełka. Obliczyć przybliżone prawdopodobieństwo tego, że pudełko A będzie puste. 21. Szachista A jest bardzo odporny psychicznie i niezależnie od wyników poprzednich gier wygrywa kolejną partię z prawdopodobieństwem p, remisuje z prawdopodobieństwem r lub przegrywa z prawdopodobieństwem q. Szachista B jest słabszy psychicznie: -jeżeli poprzednią partię przegrał to wygrywa kolejną partię z prawdopodobieństwem p − ≥ 0, remisuje z prawdopodobieństwem r lub przegrywa z prawdopodobieństwem q + ≤ 1, -jeżeli poprzednią partię zremisował to wygrywa kolejną partię z prawdopodobieństwem p, remisuje z prawdopodobieństwem r lub przegrywa z prawdopodobieństwem q, -jeżeli poprzednią partię wygrał to wygrywa kolejną partię z prawdopodobieństwem p + ≤ 1, remisuje z prawdopodobieństwem r lub przegrywa z prawdopodobieństwem q − ≥ 0. Załóżmy, że gracz B ostatnią partię przed turniejem zremisował. a) Który z graczy w długim turnieju (kilkadziesiąt partii) osiągnie lepszy wynik? b) Jak odpowiedź do a) zależy od ? c) Czy odpowiedź do a) zależy od wyniku ostatniej partii gracza B przed turniejem? 3